111 高普考高考三級 水利工程 土壤力學（包括基礎工程） 考古題詳解

核心觀念

本題考查地下水位下降造成的有效應力增加與黏土壓密沉陷，以及室內壓密試驗如何換算現地壓密時間。孔隙水壓力用 $u=\gamma_w h$ 計算，有效應力為 $\sigma'=\sigma-u$。

黏土壓密沉陷依應力是否跨越預壓密應力 $\sigma'_p$，分別使用回脹性指數 $C_r$ 與壓縮性指數 $C_c$：

壓密時間因子為 $T_v=c_vt/H_{\mathrm{dr}}^2$；同一土層在相同平均壓密度下，$T_v$ 相同，因此時間與排水路徑長度平方成正比。

解題方法

（一）地下水位下降後的壓密沉陷

以黏土層中央深度 $z=10\ \mathrm{m}$ 代表全層，取 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$。

地下水位原在地表下 $2\ \mathrm{m}$，初始總應力及孔隙水壓力為：

地下水位降至地表下 $5\ \mathrm{m}$ 後：

因此有效應力增加約 $18.03\ \mathrm{kPa}$。初始有效應力低於預壓密應力 $100\ \mathrm{kPa}$，最終有效應力高於該值，沉陷分成回脹段與正常壓密段計算：

黏土層壓密完成後，地盤下陷量約為 $3.24\ \mathrm{cm}$。

（二）現地達到 $50\%$ 平均壓密度的時間與孔隙水壓力

室內試體厚度為 $2.5\ \mathrm{cm}$，雙向排水，故室內排水路徑為：

核心觀念

1. 側向土壓力狀態（Lateral Earth Pressure States）：

• 靜止狀態（At-rest State, $K_0$）：擋土結構無任何側向位移時之土壓力。對於正常壓密顆粒性土壤（Normally Consolidated Granular Soil），採用 Jaky 經驗公式： $K_0 = 1 - \sin\phi'$
• Rankine 主動狀態（Active State, $K_a$）：土壤側向向外膨脹位移，水平應力持續折減至極限塑性平衡破壞，此時垂直應力為最大主應力（$\sigma'_1 = \sigma'_v$），水平應力為最小主應力（$\sigma'_3 = \sigma'_{ha}$）： $K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 - \sin\phi'}{1 + \sin\phi'}$
• Rankine 被動狀態（Passive State, $K_p$）：土壤受外力向內擠壓側向壓縮，水平應力持續增大至極限塑性平衡破壞，此時水平應力轉為最大主應力（$\sigma'_1 = \sigma'_{hp}$），垂直應力為最小主應力（$\sigma'_3 = \sigma'_v$）： $K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 + \sin\phi'}{1 - \sin\phi'}$

2. 莫爾圓與極點法（Mohr's Circle & Pole Method / Origin of Planes）：

• 應力點定義為 $(\sigma', \tau)$。在半無限水平地層中，水平面與垂直面均無剪應力（$\tau = 0$），故垂直有效應力 $\sigma'_v$ 與水平有效應力 $\sigma'_h$ 均為主應力，其應力點皆落在 $\sigma'$ 軸上。
• 極點（Pole, $P$）定義：自莫爾圓上任一已知應力點，作一平行於該應力所作用之實體作用面（Physical Plane）的直線，該直線與莫爾圓之交點即為極點 $P$。由極點引線至圓上任一點，該連線之方向即為該應力點所對應作用面之實體方位。

3. 擋土結構穩定性（Retaining Wall Stability）：

• 傳統鋼筋混凝土（RC）擋土牆（如重力式、半重力式、懸臂式、扶壁式）必須同時滿足**外在整體穩定性（External Stability）與內在結構強度穩定性（Internal Stability）**之設計要求。

解題方法

(一) 計算三種狀態之水平土壓力、莫爾圓參數與極點座標

已知條件：

• 凝聚力 $c' = 0$
• 摩擦角 $\phi' = 30^\circ$
• 垂直有效應力 $\sigma'_v = 100\ \mathrm{kPa}$

1. 靜止狀態（At-rest State）

• 側向土壓力係數： $K_0 = 1 - \sin 30^\circ = 1 - 0.5 = 0.5$
• 水平土壓力： $\sigma'_{h,0} = K_0 \sigma'_v = 0.5 \times 100 = 50\ \mathrm{kPa}$
• 莫爾圓幾何特徵：
• 作用面應力：水平面應力點為 $(\sigma'_v, 0) = (100, 0)$；垂直面應力點為 $(\sigma'_{h,0}, 0) = (50, 0)$。
• 圓心座標 $C_0$ 與半徑 $R_0$： $C_0 = \left(\frac{100 + 50}{2}, 0\right) = (75, 0)\ \mathrm{kPa}$ $R_0 = \frac{100 - 50}{2} = 25\ \mathrm{kPa}$
• 極點位置求法：
• 由垂直面應力點 $(50, 0)$ 繪製垂直線（平行於垂直作用面），該直線切於莫爾圓最左端點 $(50, 0)$。
• 檢驗：由水平面應力點 $(100, 0)$ 繪製水平線，亦交於 $(50, 0)$。
• 故靜止狀態極點為： $P_0 = (50, 0)\ \mathrm{kPa}$

2. Rankine 主動破壞狀態（Rankine Active Failure State）

• 主動土壓力係數： $K_a = \tan^2(45^\circ - 15^\circ) = \tan^2(30^\circ) = \frac{1}{3} \approx 0.333$
• 水平土壓力： $\sigma'_{ha} = K_a \sigma'_v = \frac{1}{3} \times 100 = \frac{100}{3}\ \mathrm{kPa} \approx 33.33\ \mathrm{kPa}$
• 莫爾圓幾何特徵：
• 應力點：水平面應力點（大主應力）為 $(100, 0)$；垂直面應力點（小主應力）為 $(33.33, 0)$。
• 圓心座標 $C_a$ 與半徑 $R_a$： $C_a = \left(\frac{100 + 33.33}{2}, 0\right) = (66.67, 0)\ \mathrm{kPa} \quad \left[\text{即 } \left(\frac{200}{3}, 0\right)\right]$ $R_a = \frac{100 - 33.33}{2} = 33.33\ \mathrm{kPa} \quad \left[\text{即 } \left(\frac{100}{3}\right)\right]$
• 檢算包絡線相切：$\sin\phi' = \frac{R_a}{C_a} = \frac{33.33}{66.67} = 0.5 = \sin 30^\circ$（符合破壞準則）。
• 極點位置求法：
• 由垂直面應力點 $(33.33, 0)$ 繪製垂直線，切於莫爾圓最左端點 $(33.33, 0)$。
• 故主動破壞狀態極點為： $P_a = (33.33, 0)\ \mathrm{kPa} = \left(\frac{100}{3}, 0\right)\ \mathrm{kPa}$

3. Rankine 被動破壞狀態（Rankine Passive Failure State）

• 被動土壓力係數： $K_p = \tan^2(45^\circ + 15^\circ) = \tan^2(60^\circ) = 3.0$
• 水平土壓力： $\sigma'_{hp} = K_p \sigma'_v = 3.0 \times 100 = 300\ \mathrm{kPa}$
• 莫爾圓幾何特徵：
• 應力點：水平面應力點（小主應力）為 $(100, 0)$；垂直面應力點（大主應力）為 $(300, 0)$。
• 圓心座標 $C_p$ 與半徑 $R_p$： $C_p = \left(\frac{300 + 100}{2}, 0\right) = (200, 0)\ \mathrm{kPa}$ $R_p = \frac{300 - 100}{2} = 100\ \mathrm{kPa}$
• 檢算包絡線相切：$\sin\phi' = \frac{R_p}{C_p} = \frac{100}{200} = 0.5 = \sin 30^\circ$（符合破壞準則）。
• 極點位置求法：
• 由垂直面應力點 $(300, 0)$ 繪製垂直線，切於莫爾圓最右端點 $(300, 0)$。
• 檢驗：由水平面應力點 $(100, 0)$ 繪製水平線，亦交於最右端點 $(300, 0)$。
• 故被動破壞狀態極點為： $P_p = (300, 0)\ \mathrm{kPa}$

4. 莫爾圓與極點示意圖（$\tau - \sigma'$ 應力平面）

核心觀念

本題考樁基礎軸向承載力：樁尖阻抗力 $Q_p$ 加上樁側阻抗力 $Q_s$，再除以安全係數求容許承載力。樁側阻抗力分別用 $\alpha$、$\beta$、$\lambda$ 三種方法估算；地下水位以下須以有效單位重計算有效應力。

採用 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$。樁外徑 $D=0.50\ \mathrm m$，周長與樁尖面積為

解題方法與計算

（一）Meyerhof（1976）樁尖垂直承載力

飽和黏土以不排水剪力強度計算，樁尖極限單位承載力取 $q_p=N_c c_u$，其中 $N_c=9$。樁尖位於深度 $30\ \mathrm m$ 的 B 層，故 $c_u=100\ \mathrm{kPa}$：

（二）三種樁側阻抗力

樁側穿過 A 層 $10\ \mathrm m$，並進入 B 層 $20\ \mathrm m$。

先計算有效應力。A 層地下水位以上 $0$–$5\ \mathrm m$ 使用 $\gamma=18.8\ \mathrm{kN/m^3}$；地下水位以下 A 層使用 $\gamma'_A=18.8-9.81=8.99\ \mathrm{kN/m^3}$。B 層使用 $\gamma'_B=19.8-9.81=9.99\ \mathrm{kN/m^3}$。

A 層樁側平均有效應力為

B 層樁段為 $10$–$30\ \mathrm m$，其平均有效應力為

各層樁側面積為

1. $\alpha$-method

因此

樁側阻抗力為

核心觀念

本題涵蓋土壤力學中基礎且高頻出現的「土壤物理性質與工程分類」，核心觀念如下：

1. 黏土礦物特性與活性度（Activity, $A$）： 黏土礦物主要由矽氧四面體薄層與鋁氧八面體薄層以不同鍵結方式組成。礦物結晶層間的鍵結強度決定了其吸水性、膨脹潛能及塑性。藉由阿特堡限度試驗與比重計沉降分析，計算斯肯普頓（Skempton）活性指數： $A = \frac{PI}{\% < 2\,\mu\text{m}}$ 可藉此在一般土壤物理性質試驗中快速辨別礦物種類。
2. 工程土壤分類系統（AASHTO 與 USCS）：

• AASHTO（美國公路及運輸官員協會分類法）：評估路基土壤等級，以粒徑篩分析（No. 10、No. 40、No. 200）與通過 No. 40 篩細料之液限（$LL$）、塑性指數（$PI$）為依據，區分為 A-1 至 A-7 群，並搭配群指數（$GI$）修正。
• USCS（統一土壤分類法，ASTM D2487）：土木基礎工程通用分類，以 3 吋、No. 4 篩、No. 200 篩劃分粒徑邊界，粗粒土輔以均勻係數（$C_u = D_{60}/D_{10}$）與曲率係數（$C_c = D_{30}^2 / (D_{10} D_{60})$）判別級配，細粒土則採用卡薩格蘭德（Casagrande）塑性圖依 A 橫線區分粉土與黏土。

3. 角錐貫入儀法（Fall Cone Method）測定液限： 依據英規 BS 1377 或 ISO 17892-6，落錐法利用特定規格之金屬角錐在自重作用下貫入重模土體中歷時 5 秒，以貫入阻力反映土體的未排水剪力強度（約 $1.7 \sim 2.0\text{ kPa}$），改善了傳統卡薩格蘭德碟式液限儀人為操作誤差大的缺點。

解題方法

(一) 最常見的三種黏土礦物及其辨別方式

1. 常見的三種黏土礦物：

• 高嶺石（Kaolinite）：由一層矽氧四面體與一層鋁氧八面體以強氫鍵緊密結合（1:1 型晶體構造），層間水分子無法侵入，具最穩定的晶格結構。
• 伊來石（Illite）：由兩層矽氧四面體夾一層鋁氧八面體組成（2:1 型晶體構造），層間由不可置換的鉀離子（$\text{K}^+$）鍵結，鍵結強度介於高嶺石與蒙脫石之間。
• 蒙脫石（Montmorillonite，或稱膨潤石 Smectite）：亦為 2:1 型晶體構造，但層間以微弱的凡得瓦爾力鍵結，水分子及可置換陽離子極易進入層間膨脹晶格，具有極高的比表面積與親水性。

2. 一般土壤物理性質試驗的辨別步驟： 可藉由進行「比重計分析試驗（Hydrometer Analysis）」與「阿特堡限度試驗（Atterberg Limits Test）」辨別：

• 步驟一：測定細顆粒含量：藉由比重計試驗測得小於 $0.002\text{ mm}$（$2\,\mu\text{m}$）之黏土粒徑重量百分比（$\text{Clay fraction}$）。
• 步驟二：測定阿特堡限度：測定液限（$LL$）與塑性限（$PL$），計算塑性指數 $PI = LL - PL$。
• 步驟三：計算活性指數（Activity, $A$）進行判別： $A = \frac{PI}{\% < 0.002\text{ mm}}$
• 高嶺石：活性最低，$A \approx 0.3 \sim 0.5$（$A < 0.75$，非活性土壤），$LL \approx 30 \sim 60\%$，塑性與膨脹性極低。
• 伊來石：活性中等，$A \approx 0.5 \sim 1.0$（$0.75 \le A \le 1.25$，一般活性土壤），$LL \approx 60 \sim 120\%$，具中等塑性與膨脹性。
• 蒙脫石：活性極高，$A \approx 1.0 \sim 7.0$（$A > 1.25$，高活性土壤），$LL$ 常達 $100\% \sim 900\%$，塑性極大，且具備劇烈膨脹與收縮的特性（可輔以自由膨脹率試驗輔助佐證）。

(二) AASHTO 與 USCS 土壤分類所需資料及必要篩號

分類依據及篩號要求對照如下：

1. AASHTO 分類法：

• 所需資料：

1. 粒徑分析：試樣通過 No. 10、No. 40、No. 200 篩之質量百分比。
2. 阿特堡限度：通過 No. 40 篩細料之液限（$LL$）與塑性指數（$PI$）。
3. 群指數（$GI$）：由通過 No. 200 篩百分比及 $LL$、$PI$ 計算求得。

• 必要篩號：
• No. 10 篩（$2.00\text{ mm}$）：粗砂與細砂分界。
• No. 40 篩（$0.425\text{ mm}$）：細砂與粉土黏土分界，亦為阿特堡限度試驗取樣基準。
• No. 200 篩（$0.075\text{ mm}$）：粗粒料與粉土-黏土材料分界（通過率 $\le 35\%$ 為 A-1 至 A-3 群；$> 35\%$ 為 A-4 至 A-7 群）。

2. USCS 分類法：

• 所需資料：

1. 粒徑分佈曲線及特徵粒徑：測定 $D_{10}$、$D_{30}$、$D_{60}$，並計算均勻係數 $C_u = \frac{D_{60}}{D_{10}}$ 及曲率係數 $C_c = \frac{D_{30}^2}{D_{10} \times D_{60}}$（判別級配良好 W 或級配不良 P）。
2. 阿特堡限度：通過 No. 40 篩細料之液限（$LL$）與塑性指數（$PI$），並對應於卡薩格蘭德塑性圖（A 橫線公式：$PI = 0.73(LL - 20)$）區分粉土（M）與黏土（C）。
3. 有機質性狀：比對試樣於烘乾前與烘乾後之液限比值，以判別有機質土（O）或泥炭土（Pt）。

• 必要篩號：
• 3 吋篩（$75\text{ mm}$）：區分卵石（Cobbles，$> 75\text{ mm}$）與土壤（$\le 75\text{ mm}$）。
• No. 4 篩（$4.75\text{ mm}$）：粗粒料中區分礫石（Gravel，留於 No. 4 篩）與砂土（Sand，通過 No. 4 篩）。
• No. 200 篩（$0.075\text{ mm}$）：區分粗粒土（通過率 $< 50\%$）與細粒土（通過率 $\ge 50\%$）。
• (註：阿特堡限度試樣同樣取通過 No. 40 篩（$0.425\text{ mm}$） 之土壤進行。)

(三) 角錐貫入儀法（Fall Cone Method）量測細顆粒土壤液限

1. 儀器標準規格： 符合英國規範 BS 1377 標準，落錐質量為 $80\text{ g}$（含不銹鋼滑桿），錐頂尖角為 $30^\circ$。
2. 試驗操作步驟：

• 試樣準備：取通過 No. 40 篩之風乾土樣，加入不同量之蒸餾水充分拌勻。
• 填裝土壤：將均勻土膏分層填入圓柱形試杯（直徑約 $55\text{ mm}$、深約 $40\text{ mm}$）中，壓實刮平，避免產生氣泡。
• 對位與歸零：將試杯置於底座上，調整升降微調鈕使錐尖恰好與土壤表面接觸，將貫入深度量錶（百分錶）讀數歸零。