111 高普考高考三級 港灣工程 土壤力學（含樁基礎） 考古題詳解

核心觀念

含水量定義為水的重量與土粒重量之比：

其中 $W_w$ 為水重，$W_s$ 為土粒重。總重量為 $W_t=W_s+W_w$。三相土的體積關係為：

飽和度則為孔隙水體積占總孔隙體積的比例：

解題方法

已知土體總體積為 $1\ \mathrm{m^3}$，濕土總重量為 $2{,}000\ \mathrm{kg}$，含水量 $w=20\%=0.20$。因此：

（一）土壤固體重量及水的重量

（二）固體體積、水體積、空氣體積及飽和度

土粒密度為 $2.65\ \mathrm{Mg/m^3}=2{,}650\ \mathrm{kg/m^3}$，故：

取水的密度為 $1{,}000\ \mathrm{kg/m^3}$，則：

核心觀念

本題考正常壓密黏土在抽水降壓後的有效應力增加，以及由壓縮指數估算黏土壓縮應變與沉陷量。

有效應力原理為：

其中 $\sigma_v$ 是總垂直應力，$u$ 是孔隙水壓。抽水改變下層受壓水層的水頭，會使黏土中的孔隙水壓下降；土層總應力不變，因此有效應力增加。

正常壓密黏土的壓縮應變可由壓縮指數估算：

其中 $e_0$ 是初始孔隙比。

解題方法

依圖判讀，地下水位在地表下 $8\ \mathrm{m}$，黏土層頂端在地表下 $10\ \mathrm{m}$；$a$ 點位於黏土層頂端下 $3\ \mathrm{m}$，也就是地表下 $13\ \mathrm{m}$。黏土層厚 $6\ \mathrm{m}$。

（一）$a$ 點初始與抽水後的有效應力

先計算 $a$ 點的總垂直應力。地表下 $8\ \mathrm{m}$ 的砂土採用 $\gamma=17.3\ \mathrm{kN/m^3}$；地下水位以下 $2\ \mathrm{m}$ 的砂土採用 $\gamma_{\mathrm{sat}}=18.7\ \mathrm{kN/m^3}$；黏土頂端至 $a$ 點的 $3\ \mathrm{m}$ 採用題給黏土單位重 $16.9\ \mathrm{kN/m^3}$：

初始時，下層受壓水層的水頭在地表上方 $2\ \mathrm{m}$。$a$ 點在地表下 $13\ \mathrm{m}$，故初始壓力水頭為 $2+13=15\ \mathrm{m}$：

抽水後，水頭降至黏土層頂端，即地表下 $10\ \mathrm{m}$。因此 $a$ 點的壓力水頭為 $13-10=3\ \mathrm{m}$：

核心觀念

本題以 $\lambda$ 法計算黏土中基樁的軸向承載力。樁身單位摩擦阻力採用

其中 $\sigma'_v$ 為有效垂直應力，$c_u$ 為黏土不排水抗剪強度。本題提供的 $c$ 視為 $c_u$，且 $\lambda=0.12$。

基樁極限承載力由樁身摩擦力與樁尖承載力組成：

黏土樁尖承載力採 $Q_b=N_c c_u A_p$，取 $N_c=9$。設計承載力為 $Q_{\text{設計}}=Q_u/F.S.$。

解題方法

圖示地下水位在地表，因此各層以浮單位重計算有效應力。本解採 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$：

各層底部的有效垂直應力為：

沿樁身分層積分 $\sigma'_v+2c_u$。每層內有效應力隨深度線性增加，因此可用該層頂、底應力的平均值乘厚度：

核心觀念

本題為「土壤力學（含樁基礎）」中結合質點動力學與**動態打樁理論（Pile Dynamics）**的經典跨領域計算題，主要涵蓋三大核心觀念與物理定律：

1. 自由落體運動：落鎚自靜止釋放轉化為動能，碰撞前瞬間速度為 $V = \sqrt{2gh}$。
2. 質點碰撞力學（非完全彈性碰撞）：

• 動量守恆定律：碰撞過程中系統不受外力衝量影響，碰撞前後總動量守恆（$\sum m u = \sum m v$）。
• 恢復係數（Coefficient of Restitution, $e$）：定義為碰撞後分離速度與碰撞前接近速度之比值，介於 $0$（完全塑性碰撞）與 $1$（完全彈性碰撞）之間： $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$

3. 功能定理（Work-Energy Principle）：碰撞後基樁獲得之動能，於貫入土層過程中完全被地盤阻抗力（Resistance, $R$）所作之負功消耗殆盡，藉此求得單次打擊之貫入量（Set, $s$）。

解題方法

本題解題切入點分為五個關鍵推導步驟：

Step 1：計算樁鎚碰撞前之速度

設樁鎚質量 $m_1 = 1{,}000\ \mathrm{kg}$，基樁質量 $m_2 = 500\ \mathrm{kg}$。 落距 $h = 3\ \mathrm{m}$，重力加速度為 $g$。 碰撞前樁鎚速度 $u_1$： $u_1 = V = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times g \times 3} = \sqrt{6g}$ 基樁於碰撞前靜止，初速 $u_2 = 0$。

Step 2：由動量守恆與恢復係數求碰撞後基樁之初速

設向下為正方向。碰撞後樁鎚速度為 $v_1$，基樁速度為 $v_2$。

1. 動量守恆： $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$ $1{,}000 u_1 + 500(0) = 1{,}000 v_1 + 500 v_2$ 同除以 $500$ 化簡得： $2 u_1 = 2 v_1 + v_2 \quad \text{--- (第 1 式)}$

2. 恢復係數定義（$e = 0.25$）： $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{u_1} = 0.25 = \frac{1}{4}$ 整理得： $v_1 = v_2 - \frac{1}{4} u_1 \quad \text{--- (第 2 式)}$

3. 聯立求解 $v_2$： 將（第 2 式）代入（第 1 式）： $2\left(v_2 - \frac{1}{4} u_1\right) + v_2 = 2 u_1$ $3 v_2 - \frac{1}{2} u_1 = 2 u_1$ $3 v_2 = \frac{5}{2} u_1 \implies v_2 = \frac{5}{6} u_1$

Step 3：計算碰撞後基樁獲得之初始動能

基樁碰撞後之動能 $E_k$ 為：