111 高普考高考三級 港灣工程 波浪力學（含潮汐） 考古題詳解

核心觀念

潮位是海面相對於某一垂直基準面的高度。題目考查兩件事：一是常用潮位的統計定義與相對高低；二是港灣工程與海岸工程採用不同高程基準的原因。潮位須依一定期間的實測紀錄或天文潮調和分析結果統計，並註明採用的基準面；不同港口或不同基準系統的數值不可直接混用。

解題方法與潮位定義

可先以平均潮位為中間參考，再由上而下列出常用高潮、低潮統計值，最後標出海圖或港灣使用的基準面。以下示意只表示常見的相對高低，並非所有地點都具有固定的數值間距：

較高
 天文潮最高高潮位（HAT）
 最高高潮位（H.H.W.L.，實測或預測最高高潮）
 大潮平均高潮位（H.W.O.S.T.）
 平均高潮位（M.H.W.L.）
 ───────── 平均潮位／平均海平面（M.W.L.）─────────
 平均低潮位（M.L.W.L.）
 大潮平均低潮位（L.W.O.S.T.）
 最低低潮位（L.L.W.L.，實測紀錄最低低潮）
 天文潮最低潮位（LAT）
 ───────── 基本水準面／海圖基準面（C.D.L.）─────────
較低

各名詞說明如下：

1. 平均潮位／平均海平面（M.W.L.）：在選定期間內，將潮位觀測值取平均所得的水面。採用期間不同，平均值也會不同。
2. 平均高潮位（M.H.W.L.）：將觀測期間內各次高潮位取平均。
3. 平均低潮位（M.L.W.L.）：將觀測期間內各次低潮位取平均。
4. 大潮平均高潮位（H.W.O.S.T.）：將朔、望附近大潮期間發生的高潮位取平均，反映較大的天文潮高潮。
5. 大潮平均低潮位（L.W.O.S.T.）：將朔、望附近大潮期間發生的低潮位取平均，反映較低的大潮潮面。
6. 最高高潮位（H.H.W.L.）：觀測或指定分析期間內的最高高潮水位；若資料期間不同，統計值也會不同。它可能包含天文潮與氣象造成的暴潮影響。
7. 最低低潮位（L.L.W.L.）：觀測或指定分析期間內的最低低潮水位，常作為港口築港高程系統的零點參考。

核心觀念

本題探討波浪由深水（$h/L > 0.5$）向淺水（$h/L < 0.05$）傳播過程中，受「水深遞減（水底邊界約束）」與「海岸邊界／結構物遮蔽或阻擋」所引起的五大波浪變形機構（Wave Transformation Mechanisms）。其背後所仰賴的流體力學與波動力學基礎包括：

1. 小振幅波（Airy）理論與色散關係式：$\sigma^2 = gk \tanh(kh)$，其中波長 $L$ 與波速 $C$ 均隨水深 $h$ 減小而遞減，週期 $T$ 保持守恆。
2. 波能通量守恆（Conservation of Wave Energy Flux）：$P = E \cdot C_g = \text{常數}$，能量在相鄰波向線（Orthogonals）間無橫向交換之假定下傳播。
3. 幾何光學與波動方程式：司乃耳定律（Snell's Law）、惠更斯原理（Huygens' Principle）以及 Helmholtz 波動方程邊界值問題。
4. 極限波高與波動不穩定性：運動學極限（水質點速度 $u > C$）與動力學極限（波頂壓強連續條件崩解）。
5. 線性波疊加原理：入射波與反射波干涉形成部分駐波或全駐波（Clapotis）。

解題方法

本題為經典的觀念申論題，若僅以口語定義難以獲取滿分。解答時採用三層式架構剖析各子項：

• 物理成因與傳播機制：說明波浪因何種幾何邊界或水力條件改變而產生變形。
• 代表公式與量化指標：寫出對應的變形係數（Coefficients）或判定準則（Criteria）。
• 港灣工程實務考量：指出該現象在港灣防波堤、航道配置、海岸侵蝕或波力計算上的實務意涵。

各小題詳解

(1) 淺化（Shoaling）

1. 物理成因與機制： 當波浪由深海傳入過渡水深及淺海區時，波浪週期 $T$ 保持不變，波速 $C = L/T$ 隨水深 $h$ 變淺而減慢，波長 $L$ 隨之壓縮縮短。若忽略底摩擦耗散且無側向波能發散（無折射影響），單位水體之波能通量 $P = E \cdot C_g$（其中平均波能 $E = \frac{1}{8}\rho g H^2$，$C_g$ 為群速度）必須維持守恆。由於群速度 $C_g$ 隨水深變淺先微幅增加而後急遽減小，導致波浪能量被迫在空間上密集壓縮，波高隨之發生變化。
2. 量化指標與變化特性： 波高變化由淺化係數（Shoaling coefficient, $K_s$）決定： $K_s = \frac{H}{H_0} = \sqrt{\frac{C_{g0}}{C_g}} = \sqrt{\frac{1}{2n \tanh(kh)}}$ 式中 $n = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{2kh}{\sinh(2kh)}\right)$。 波高在傳播過程並非單調增加：當 $h/L_0 \approx 0.15$ 時，$K_s$ 出現極小值（約 $0.91$），波高微幅降低；當水深進一步變淺（$h/L_0 < 0.1$），$K_s$ 急遽攀升，波高顯著增高，直至碎波。
3. 工程影響： 淺化是近岸防波堤、護岸等結構物設計入射波高（$H$）推算之基底因子，直接決定結構物之越浪量與胸牆頂高程規劃。

(2) 折射（Refraction）

1. 物理成因與機制： 當波浪斜向入射至海底等深線未呈平行的海域時，同一波峰線上處於水深較淺側的波速 $C_1$ 較慢，處於深水側的波速 $C_2$ 較快。因傳播速度之空間差異，波峰線將逐漸發生旋轉彎曲，呈現漸趨與水深等高線平行的趨勢。
2. 量化指標與定律： 波峰方向遵循司乃耳定律（Snell's Law）： $\frac{\sin \alpha_1}{C_1} = \frac{\sin \alpha_2}{C_2} = \text{常數}$ 式中 $\alpha$ 為波峰線與等深線之夾角（即波向線與等深線法線之夾角）。折射對波高的修正以折射係數（Refraction coefficient, $K_r$）表示： $K_r = \sqrt{\frac{b_0}{b}}$ 式中 $b_0$ 與 $b$ 分別為深水與近岸兩相鄰波向線（Orthogonals）之間的寬度。

• 岬角（Headland）：水深向外突出，波向線聚合（$b < b_0$），$K_r > 1.0$，能量集中，波高劇增。
• 海灣（Bay）：波向線發散（$b > b_0$），$K_r < 1.0$，能量消散，波況平穩。

3. 工程影響： 折射決定了沿岸破波帶波向角，直接主導沿岸流（Longshore current）之強弱與沿岸漂沙（Littoral drift）方向；港口選址應盡量避開折射能量集中的岬角區。

(3) 繞射（Diffraction）

1. 物理成因與機制： 當前進波遭遇半無限長防波堤、島嶼或港口進口開口等斷裂邊界障礙物遮蔽時，波峰線在此被截斷。依據惠更斯原理（Huygens' Principle），堤端處的水質點震盪成為新的子波源，波浪能量將沿著波峰線側向橫向傳遞，從非遮蔽區（照亮區，Illuminated region）擴散流入幾何遮蔽陰影區（Shadow zone），使陰影區內亦產生擾動波動。
2. 量化指標與解算： 繞射效應以繞射係數（Diffraction coefficient, $K_d$）表徵： $K_d = \frac{H}{H_i}$ 式中 $H_i$ 為堤端處之入射波高。水波繞射可藉由 Helmholtz 波動方程式配合堤壁不透水邊界條件求解，工程上廣泛採用 Sommerfeld 半無限長直薄壁解，或 Penny & Price 港口雙堤開口解。在幾何陰影線邊界處，$K_d \approx 0.5$；越深入陰影區，$K_d$ 越小。
3. 工程影響： 繞射是評估防波堤遮蔽效果、港內靜穩度（Harbor tranquility）配置及泊地（Berth）配置的核心理論基礎。

(4) 碎波（Wave Breaking）

1. 物理成因與機制： 隨波浪推向近岸，淺化效應使波高 $H$ 持續攀升、水深 $h$ 持續縮小，波形逐漸偏離正弦對稱形狀，轉為波峰陡峭、波谷平緩。

核心觀念

本題評量微小振幅波理論（Airy Wave Theory / Linear Wave Theory）在有限水深平坦海床上的綜合應用，包含四大核心公式與觀念：

1. 動水壓力垂直分佈（Dynamic Pressure Distribution）： 以靜水面為 $z=0$（向上為正）、水深為 $h$、海床為 $z=-h$；或改以海床為基準點向上為 $s$（$s = z + h$）。微小振幅波之動壓力振幅 $\Delta p(s)$ 公式為： $\Delta p(s) = \rho g \frac{H}{2} \frac{\cosh(ks)}{\cosh(kh)}$ 其中 $\rho$ 為流體密度、$g$ 為重力加速度、$H$ 為波高、$k = \frac{2\pi}{L}$ 為波數、$s$ 為距海床之垂直高度。
2. 分散關係式（Dispersion Relation）： 波浪角頻率 $\sigma = \frac{2\pi}{T}$ 與波數 $k$、水深 $h$ 之關係式： $\sigma^2 = g k \tanh(kh)$
3. 波速與群速度（Phase Velocity & Group Velocity）：

• 相速度（波速）：$C = \frac{L}{T} = \frac{\sigma}{k}$
• 群速度：$C_g = n C$，其中群速度係數 $n = \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{2kh}{\sinh(2kh)} \right]$

4. 平均能量通量（Average Energy Flux / Wave Power）： 單位波寬沿傳播方向所傳送之平均波浪能量率： $\bar{P} = E \cdot C_g$ 其中單位水面積之平均總波能密度為 $E = \frac{1}{8}\rho g H^2$。

解題方法

本題已知週期 $T = 8\ \mathrm{sec}$，海床處（$s_1 = 0\ \mathrm{m}$）動壓力振幅 $\Delta p_1 = 7.5\ \mathrm{kN/m^2}$，海床上 $6\ \mathrm{m}$ 處（$s_2 = 6\ \mathrm{m}$）動壓力振幅 $\Delta p_2 = 8.4\ \mathrm{kN/m^2}$。 解題策略為：

• 利用兩處動壓力比值消去未知數 $\rho g$、$H$ 與 $\cosh(kh)$，直接求得波數 $k$ 與波長 $L$。
• 代入分散關係式解出水深 $h$。
• 代回海床動壓力公式反求波高 $H$。
• 計算波能密度 $E$ 與群速度 $C_g$，求得平均能量通量 $\bar{P}$。

步驟一：由動壓力比值求解波數 $k$ 與波長 $L$

根據動壓力振幅公式，在海床處（$s_1 = 0$）： $\Delta p_1 = \rho g \frac{H}{2} \frac{\cosh(0)}{\cosh(kh)} = \frac{\rho g H}{2\cosh(kh)} = 7.5\ \mathrm{kN/m^2}$

在海床上 $6\ \mathrm{m}$ 處（$s_2 = 6\ \mathrm{m}$）： $\Delta p_2 = \rho g \frac{H}{2} \frac{\cosh(6k)}{\cosh(kh)} = 8.4\ \mathrm{kN/m^2}$

兩式相除： $\frac{\Delta p_2}{\Delta p_1} = \frac{\cosh(6k)}{\cosh(0)} = \cosh(6k) = \frac{8.4}{7.5} = 1.12$

利用雙曲反餘弦函數 $\cosh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$： $6k = \cosh^{-1}(1.12) = \ln(1.12 + \sqrt{1.12^2 - 1}) = \ln(1.12 + \sqrt{0.2544}) = \ln(1.62438) \approx 0.48511\ \mathrm{rad}$

解得波數： $k = \frac{0.48511}{6} \approx 0.08085\ \mathrm{m^{-1}}$

進而求得波長 $L$： $L = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0.08085} \approx 77.71\ \mathrm{m}$

步驟二：由分散關係式求解水深 $h$

波浪角頻率： $\sigma = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854\ \mathrm{rad/s}$

代入微小振幅波分散關係式 $\sigma^2 = g k \tanh(kh)$（取重力加速度 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$）： $\tanh(kh) = \frac{\sigma^2}{gk} = \frac{(0.7854)^2}{9.81 \times 0.08085} = \frac{0.61685}{0.79314} \approx 0.77773$

利用雙曲反正切函數 $\tanh^{-1}(y) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right)$： $kh = \tanh^{-1}(0.77773) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1 + 0.77773}{1 - 0.77773}\right) = \frac{1}{2}\ln(7.9981) \approx 1.0396\ \mathrm{rad}$

求得水深 $h$： $h = \frac{kh}{k} = \frac{1.0396}{0.08085} \approx 12.86\ \mathrm{m}$

檢驗相對水深：$\frac{h}{L} = \frac{12.86}{77.71} \approx 0.165$。

核心觀念

本題為海岸工程與近岸水動力學之核心經典考題，測驗考生對**波浪輻射應力（Radiation Stress）之物理本質、微積分動量方程推導，以及其在碎波帶內外引發之二階平均效應（二階水位變化與近岸流場）**之理解程度。

關鍵理論與數學架構包含：

1. 輻射應力定義：Longuet-Higgins 與 Stewart（1960, 1964）提出，指因波浪運動存在，使水體在週期平均、水深積分下所產生之過剩動量通量（Excess Momentum Flux）。
2. 水深積分時間平均動量方程式（以向岸方向 $x$ 軸為例）： $\frac{d\bar{\eta}}{dx} = -\frac{1}{\rho g (h + \bar{\eta})} \frac{dS_{xx}}{dx}$ 式中 $\bar{\eta}$ 為平均水位變化（Mean water level variation）、$h$ 為靜水深、$S_{xx}$ 為垂直波峰線方向之法向輻射應力。
3. 水位變化現象：

• 碎波帶外：波浪淺化波高增大 $\to \frac{dS_{xx}}{dx} > 0 \to \frac{d\bar{\eta}}{dx} < 0$，發生波降（Wave Setdown）。
• 碎波帶內：波浪破碎耗散波高減小 $\to \frac{dS_{xx}}{dx} < 0 \to \frac{d\bar{\eta}}{dx} > 0$，發生波升（Wave Setup）。

4. 近岸流場生成：

• 垂直剖面循環：波浪質量輸送（Stokes drift）向岸，受向外壓力梯度作用於底部形成離岸補償流（底流 / Undertow）。
• 平面沿岸流場：斜向入射波碎波造成剪應力梯度 $\frac{\partial S_{xy}}{\partial x} \ne 0$，驅動沿岸流（Longshore Current）。
• 平面環流與局部離岸射流：碎波沿岸不均勻導致水位坡度差異，匯流形成裂流（Rip Current）。

解題方法

一、 輻射應力的定義與數學表示式

1. 物理本質 水質點因波浪運動而具備動量。在波浪存在情況下，通過某一垂直斷面的總動量通量（包含動量對流與流體壓力），減去無波浪時該斷面之靜水壓力後，經水深積分並取一個波週期時間平均所得之「過剩動量傳輸率」，即定義為輻射應力（單位寬度之張力/剪力，量綱為 $\text{N/m}$）。

2. 張量通式 設自由液面為 $z = \eta(x, y, t)$，底床為 $z = -h(x, y)$，速度分量為 $u_i$，輻射應力張量 $S_{ij}$ 表示為： $S_{ij} = \overline{\int_{-h}^{\eta} \left( \rho u_i u_j + p \delta_{ij} \right) dz} - \int_{-h}^{0} p_0 \delta_{ij} dz$ 其中上橫線代表時間平均，$p$ 為波浪總壓力，$p_0 = -\rho g z$ 為無波時之靜水壓力，$\delta_{ij}$ 為 Kronecker delta。

3. 微幅波理論下之分量公式 設波傳方向為 $x$ 軸、平行波峰線方向為 $y$ 軸，波浪總能量密度為 $E = \frac{1}{8}\rho g H^2$：

• 向岸法向應力： $S_{xx} = E \left[ \frac{2kh}{\sinh(2kh)} + \frac{1}{2} \right] = E \left( 2n - \frac{1}{2} \right)$
• 沿岸法向應力： $S_{yy} = E \left[ \frac{kh}{\sinh(2kh)} \right] = E \left( n - \frac{1}{2} \right)$
• 切線剪應力：正入射時 $S_{xy} = 0$；若波向與岸線法線夾角為 $\theta$，則剪應力分量為： $S_{xy} = E n \sin\theta \cos\theta$ 其中 $n = \frac{C_g}{C} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{2kh}{\sinh 2kh}\right)$。在淺水極限（$kh \to 0, n \to 1$）下： $S_{xx} = \frac{3}{2}E = \frac{3}{16}\rho g H^2, \quad S_{yy} = \frac{1}{2}E = \frac{1}{16}\rho g H^2$

二、 輻射應力對碎波帶內外「水位變化」之影響

取向岸方向為 $x$ 軸正向（由深水指向海灘）。在穩態且忽視底床剪應力的條件下，向岸方向之水深積分動量平衡方程式為： $\frac{dS_{xx}}{dx} + \rho g (h + \bar{\eta}) \frac{d\bar{\eta}}{dx} = 0 \implies \frac{d\bar{\eta}}{dx} = -\frac{1}{\rho g (h + \bar{\eta})} \frac{dS_{xx}}{dx}$

1. 碎波帶外（波降，Wave Setdown）

• 力學機制：當波浪由深水傳遞進入淺水區時，受到淺化效應（Shoaling）影響，波高 $H$ 向岸逐漸增大，使波動能量 $E$ 與輻射應力 $S_{xx}$ 隨之向岸遞增，即 $\frac{dS_{xx}}{dx} > 0$。
• 水位響應：由動量平衡式可知 $\frac{d\bar{\eta}}{dx} < 0$，平均水位 $\bar{\eta}$ 必須向岸傾斜下降以產生反向靜水壓力梯度來平衡動量通量的增加。
• 極值位置：水位在碎波點（Breaker line, $x = x_b$）處降至最低點，其最大波降量約為： $\bar{\eta}_b \approx -\frac{1}{16} \frac{H_b^2}{h_b}$

2. 碎波帶內（波升，Wave Setup）

• 力學機制：波浪在碎波點發生破碎後，因強烈紊流耗散，波高快速衰減。在碎波帶內通常滿足碎波指數關係 $H \approx \gamma (h + \bar{\eta})$（$\gamma \approx 0.78$）。