114 高普考高考三級 港灣工程 波浪力學（包括潮汐） 考古題詳解

核心觀念

水波的相速度 $c$ 是波峰的傳播速度；群速度 $C_g$ 則是波群或波能量傳播的速度。兩者都與波數 $k$、角頻率 $\omega$ 有關：

線性重力波在水深 $h$、重力加速度 $g$ 下的頻散關係式為

其中 $kh$ 是相對水深參數：$kh\gg1$ 代表深水，$kh\ll1$ 代表淺水。

解題方法

由頻散關係式取正根，可寫成

對波數 $k$ 微分，得到一般水深下的群速度：

利用 $c=\omega/k$ 及 $\omega^2=gk\tanh(kh)$，可改寫為

此式可直接分別取深水與淺水極限。

核心觀念

深水波的群速度為

其中 $C_g$ 為群速度、$T$ 為週期、$g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$。波群以群速度傳遞能量，因此波從風暴區傳至觀測站的時間為距離除以群速度：

週期越長，深水波群速度越快。本題中 $12$ 秒波比 $8$ 秒波早抵達 $1$ 小時。

解題方法

令風暴至觀測站的距離為 $L$。兩種波的群速度分別為

題目指出 $8$ 秒波晚到 $3600$ 秒，因此

代入群速度公式：

核心觀念

本題考查海嘯傳播時的波能通量守恆。假設波浪沿途沒有反射、破碎或能量耗散，單位時間通過整個水域斷面的能量通量維持不變。

波浪平均能量密度為

其中 $H$ 為波高。長波（海嘯）的群波速為

其中 $h$ 為水深。水域寬度為 $B$ 時，整個斷面的波能通量與 $B E C_g$ 成正比，因此守恆關係為

解題方法

已知初始水域寬度 $B_1=4\ \mathrm{km}$、水深 $h_1=810\ \mathrm{m}$、波高 $H_1=0.1\ \mathrm{m}$；傳至下游後，寬度 $B_2=1\ \mathrm{km}$、水深 $h_2=10\ \mathrm{m}$。

核心觀念

離岸流（裂流，rip current）是近岸海水向外海流動的狹窄而強勁的水流。波浪把海水推向岸邊後，海水會沿岸匯集，再經由較深或阻力較小的通道集中流回外海。離岸流主要分為：

• 頸部：靠近岸邊、流道狹窄且流速較強的向外海流。
• 頭部：離岸流流到外海後擴散、流速逐漸減弱的區域。

題目考查的是根據這種流動結構，判斷受困者應如何脫離主流。

解題方法

核心觀念

本題考微小振幅波理論中的線性波水平流速，以及淺水條件下水位與水粒子水平流速的關係。淺水波條件為 $kh\ll 1$，因此可使用近似式 $\sinh kh\approx kh$、$\cosh k(z+h)\approx 1$。

解題方法

題目給定水平流速：

在淺水條件下，分子中的 $k(z+h)$ 也很小，故 $\cosh k(z+h)\approx 1$；分母則有 $\sinh kh\approx kh$。代入得

微小振幅波的水位為

所以淺水波水平流速與水位的關係為

又因淺水波的相速度 $c=\omega/k=\sqrt{gh}$，可改寫為

核心觀念

半日潮與全日潮是依潮位在一個太陰日內的漲、落潮次數區分：

• 半日潮：一個太陰日內約有兩次高潮、兩次低潮，且相鄰高潮或低潮的高度大致相近。
• 全日潮：一個太陰日內約有一次高潮、一次低潮。
• 若一天內雖有兩次高潮、兩次低潮，但高度差異明顯，則稱為混合潮。

潮流橢圓表示某一固定地點的潮流速度向量，隨時間變化所描繪出的軌跡。其橫軸與縱軸分別代表兩個水平分量的流速，因此單位是速度單位，例如 $\mathrm{m/s}$ 或 $\mathrm{cm/s}$；橢圓的軸長不是距離單位。

引潮力是天體重力在地球不同位置之間的差異。當天體距離遠大於地球尺度時，其引潮力大小與天體質量成正比、與天體距離的三次方成反比：

解題方法

（一）潮汐與潮流橢圓

題目分別詢問潮汐型態的定義，以及潮流橢圓座標軸的物理量。半日潮、全日潮看的是一個太陰日內高潮與低潮的次數；潮流橢圓則是速度向量的時間軌跡，因此軸的單位須與流速相同。

（二）引潮力比例

設行星所受恆星引潮力為 $F_s$，地球所受月球引潮力為 $F_m$。依 $F_t\propto M/r^3$，兩者之比為：