113 高普考高考三級 港灣工程 波浪力學（包括潮汐） 考古題詳解

核心觀念

實際海域的波浪是不規則波，可視為許多不同頻率、波數與振幅的成分波疊加。本題以兩個週期相近、振幅相等的成分波說明群波，並由線性波浪分散關係求群波速度。對線性波而言，平均波能以群波速度傳遞。

群波現象

令兩個成分波振幅皆為 $a$，角頻率與波數分別為 $\omega_1,k_1$ 及 $\omega_2,k_2$。兩波疊加可寫為

$$\eta =a\cos(k_1x-\omega_1t)+a\cos(k_2x-\omega_2t)$$

利用和差化積：

$$\eta =2a\cos\left(\frac{\Delta k\,x-\Delta\omega\,t}{2}\right) \cos\left(\bar{k}x-\bar{\omega}t\right)$$

其中 $\Delta k=k_1-k_2$、$\Delta\omega=\omega_1-\omega_2$，而 $\bar{k}$、$\bar{\omega}$ 分別是兩波的平均波數與平均角頻率。

式中的第二個餘弦項代表快速振盪的載波；第一個餘弦項則調制波高，形成波峰較大、波峰較小交替出現的包絡，這就是群波。當兩成分波的波數與角頻率差距很小，包絡的傳播速度為

$$C_g=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}\approx\frac{d\omega}{dk}$$

由分散關係求群波速度

線性重力波的分散關係為

$$\omega^2=gk\tanh(kh)$$

其中 $g$ 為重力加速度、$k=2\pi/L$ 為波數、$h$ 為水深。相位速度為 $C=\omega/k$。對分散關係對 $k$ 微分，得

$$2\omega\frac{d\omega}{dk} =g\left[\tanh(kh)+kh\,\operatorname{sech}^2(kh)\right]$$

因此群波速度為

$$C_g=\frac{d\omega}{dk} =\frac{g}{2\omega}\left[\tanh(kh)+kh\,\operatorname{sech}^2(kh)\right]$$

核心觀念

波浪進入水深逐漸變淺的海域時，受海床影響，波速與群波速下降，波高因而改變。題目分別考查：

• 淺化（shoaling）：在沒有能量耗散、波浪沿波射線傳播的假設下，波浪能量通量守恆。
• 折射（refraction）：等深線平行海岸時，波浪沿等深線方向的波數分量守恆，亦即波峰線沿岸方向的相位變化率不變，導出史奈爾定律（Snell’s law）。

波浪能量密度可寫成 $E=\frac{1}{8}\rho gH^2$。其中 $\rho$ 為水密度、$g$ 為重力加速度、$H$ 為波高。

解題方法

將波高變化拆成淺化係數與折射係數：

$$H=H_0K_sK_r$$

其中 $H_0$ 為深水波高，$K_s$ 為淺化係數，$K_r$ 為折射係數。

一、淺化係數

沿波射線的能量通量守恆：

$$EC_g=\text{常數}$$

其中 $C_g$ 為群波速。因此波高與群波速的關係為

$$H^2C_g=\text{常數},\qquad K_s=\frac{H}{H_0}=\sqrt{\frac{C_{g0}}{C_g}}$$

這裡的 $C_{g0}$ 是深水群波速。此係數表示水深改變所造成的波高變化；本題的斜向入射另以折射係數計入。

二、折射係數

等深線平行海岸時，沿岸方向波數分量守恆，得到

$$\frac{\sin\alpha}{C}=\frac{\sin\alpha_0}{C_0}$$

其中 $\alpha_0$、$\alpha$ 分別為深水與當地波向和岸法線的夾角；$C_0$、$C$ 分別為深水與當地波速。波浪入淺水後波速下降，波向逐漸轉向岸法線，稱為折射。

能量通量在相鄰波射線間守恆，波射線間距變化對應折射係數：

$$K_r=\sqrt{\frac{\cos\alpha_0}{\cos\alpha}}$$

因此完整的波高轉換式為

$$H=H_0 \sqrt{\frac{C_{g0}}{C_g}} \sqrt{\frac{\cos\alpha_0}{\cos\alpha}}$$

三、計算水深 $3$ 公尺處波高

已知 $T=8\,\mathrm{s}$、$h=3\,\mathrm{m}$、$kh=0.45$，故

$$k=\frac{kh}{h}=\frac{0.45}{3}=0.15\,\mathrm{m^{-1}}$$

角頻率為

核心觀念

本題考查線性波浪理論中的色散關係、相速與群速，以及波浪淺化時的能量通量守恆。

週期為 $T=30$ 分鐘 $=1800\ \mathrm{s}$，角頻率為

$$\omega=\frac{2\pi}{T}=3.4907\times10^{-3}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$$

線性波浪色散關係與相速、群速公式為

$$\omega^2=gk\tanh(kh),\qquad C=\frac{\omega}{k},\qquad C_g=nC,$$ $$n=\frac{1}{2}\left(1+\frac{2kh}{\sinh(2kh)}\right).$$

其中 $h$ 為水深、$k$ 為波數、$C$ 為相速，$C_g$ 為群速；波浪能量以群速傳遞。當 $kh\ll1$，波浪屬淺水波，近似有

$$C\approx C_g\approx\sqrt{gh}.$$

解題方法

先以線性波浪色散關係求震央水深 $4000\ \mathrm{m}$ 與島邊水深 $90\ \mathrm{m}$ 的波速。傳遞時間沿線性變淺的水深剖面積分群速倒數；波高則由每單位波峰寬度的能量通量守恆求得。

一、震央水深 $4000\ \mathrm{m}$ 的波速

代入 $h_0=4000\ \mathrm{m}$ 求解色散關係，得

$$k_0=1.7467\times10^{-5}\ \mathrm{m^{-1}},\qquad k_0h_0=0.06987.$$

因 $k_0h_0$ 很小，群速與相速十分接近。計算結果為

$$C_0=199.84\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad C_{g0}=199.51\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

二、島邊水深 $90\ \mathrm{m}$ 的波速

於 $h_1=90\ \mathrm{m}$ 求解色散關係，得

$$k_1=1.1636\times10^{-4}\ \mathrm{m^{-1}},\qquad k_1h_1=0.01047.$$

因此島邊同樣可視為淺水波，計算結果為

$$C_1=30.00\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad C_{g1}=30.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

三、傳遞至島邊所需時間

令 $x=0$ 為震央、$x=L$ 為島邊，$L=1000\ \mathrm{km}=10^6\ \mathrm{m}$。水深沿距離線性變化：

核心觀念

天文潮是由月球、太陽等天體對地球海水的引潮力，以及地球與天體相對運動所產生的週期性海面升降。實際觀測到的潮位，還會受海岸形狀、水深、地形與氣象等因素影響；天文潮則指其中可由天體引潮作用解釋的部分。

潮汐可用許多具有特定頻率與相位的分潮表示。臺灣沿海常見的四個主要分潮為：

• $M_2$：主太陰半日潮，週期約 $12.42$ 小時。
• $S_2$：主太陽半日潮，週期約 $12.00$ 小時。
• $K_1$：日月合成全日潮，週期約 $23.93$ 小時。
• $O_1$：主太陰全日潮，週期約 $25.82$ 小時。

其中 $M_2$、$S_2$ 是半日潮分潮，$K_1$、$O_1$ 是全日潮分潮。

解題方法

月球與太陽的引潮作用方向隨天體位置而變化。月球、地球、太陽大致成一直線時，月球與太陽的引潮作用相加，潮差較大，稱為大潮；日月連線方向大致互相垂直時，兩者作用部分抵銷，潮差較小，稱為小潮。

以月相說明，一個朔望月內約有兩次大潮、兩次小潮：朔、望附近為大潮，上弦、下弦附近為小潮。相鄰的大潮與小潮約相隔一週。

以分潮週期計算時，題目空格應填 $M_2$ 與 $S_2$。兩個週期不同的半日潮分潮疊加，振幅會隨相位差週期性增減；其拍頻週期為：

核心觀念

輻射應力（radiation stress）是波浪造成的「時間平均超額水平動量通量」，也就是波動所攜帶的水平動量通量，扣除靜水壓力所對應的部分。它是近岸平均水位變化與波浪誘發沿岸流的重要驅動力。

令 $E=P_{\mathrm{wave}}$ 為波能密度，$u=c_g/c$ 為群速與相速之比，$\theta$ 為波向與海岸法線的夾角，線性波理論下的輻射應力分量為

$$S_{XX} =P_{\mathrm{wave}}\left[u(1+\cos^2\theta)-\frac12\right], \qquad S_{YY} =P_{\mathrm{wave}}\left[u(1+\sin^2\theta)-\frac12\right].$$

其中 $X$ 軸取垂直岸線方向，$Y$ 軸取沿岸方向；$S_{XY}=S_{YX}=P_{\mathrm{wave}}u\sin\theta\cos\theta$ 是波浪傳遞的剪切動量通量。輻射應力的量綱為力／長度。

解題方法：沿岸動量平衡

取垂直海岸方向為 $x$、沿岸方向為 $y$。在近岸沿岸方向分析時，通常採用下列假設：

• 平均流為穩定、沿岸均勻，故 $\partial/\partial t=0$、$\partial/\partial y=0$。
• 忽略沿岸壓力梯度、沿岸平均流的平流加速度，以及側向混合。
• 沿岸動量主要由波浪輻射剪應力的跨岸梯度與底床摩擦力平衡。

因此，深度平均的沿岸動量方程簡化為

$$\frac{dS_{XY}}{dx}+\tau_{by}=0,$$

其中 $\tau_{by}$ 是底床對水流的沿岸摩擦應力。題目給定底床摩擦為 $-\rho f u|u|$ 時，應將該負號視為阻抗水流方向的符號；下式以大小表示時，摩擦力大小為 $\rho f u^2$，並假設沿岸流方向與波浪所驅動的方向一致。

沿岸流推導

採用題目所給的碎波帶水深線性變化與波高—水深關係，並令碎波角為 $\theta_b$。在淺水碎波帶 $u=c_g/c\simeq1$，故

$$S_{XY}\simeq P_{\mathrm{wave}}\sin\theta_b\cos\theta_b.$$

以規則波能密度 $P_{\mathrm{wave}}=\rho gH^2/8$，以及碎波波高 $H=\gamma h$ 表示，其中 $\gamma$ 為碎波指標，則