113 高普考高考三級 港灣工程 土壤力學（包括基礎工程）及鋼筋混凝土學 考古題詳解

113 年・高普考・高考三級・港灣工程
試題代碼 土壤力學（包括基礎工程）及鋼筋混凝土學

第 一 題20 分

某工程經工址調查後，土層之剖面如下圖，請計算：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) AA、BB 與 CC 點之總應力、孔隙水壓與有效應力。

(二) 如果地下水位上升至地表下 22 公尺處，請計算 AA、BB 與 CC 點之有效應力。

已知：

  • 乾砂土：e=0.61e=0.61，Gs=2.66G_s=2.66。
  • 飽和砂土：e=0.48e=0.48，Gs=2.66G_s=2.66。
  • 乾砂土層厚度為 4 m4\ \mathrm{m}。
  • 飽和砂土層厚度為 10 m10\ \mathrm{m}。
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考垂直總應力、孔隙水壓與有效應力的關係：

σv=∑γihi,u=γwhw,σv′=σv−u\sigma_v=\sum \gamma_i h_i,\qquad u=\gamma_w h_w,\qquad \sigma'_v=\sigma_v-u

其中 hwh_w 是測點位於地下水位以下的深度。乾砂土與飽和砂土的單位重分別為：

γd=Gs1+eγw,γsat=Gs+e1+eγw\gamma_d=\frac{G_s}{1+e}\gamma_w,\qquad \gamma_{\mathrm{sat}}=\frac{G_s+e}{1+e}\gamma_w

飽和土的浮單位重為：

γ′=γsat−γw\gamma'=\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w

以下採 γw=9.81 kN/m3\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}，並以地表大氣壓為基準，故地表測點的總應力及孔隙水壓均為零。

解題方法

先由土壤基本性質求出各層單位重：

γd=2.661+0.61(9.81)=16.21 kN/m3\gamma_d=\frac{2.66}{1+0.61}(9.81) =16.21\ \mathrm{kN/m^3} γsat=2.66+0.481+0.48(9.81)=20.81 kN/m3\gamma_{\mathrm{sat}}=\frac{2.66+0.48}{1+0.48}(9.81) =20.81\ \mathrm{kN/m^3} γ′=20.81−9.81=11.00 kN/m3\gamma'=20.81-9.81 =11.00\ \mathrm{kN/m^3}

圖中 A 位於地表、B 位於原地下水位處，C 位於飽和砂土層底部；因此原地下水位距地表 4 m4\ \mathrm{m}，C 的深度為 4+10=14 m4+10=14\ \mathrm{m}。

（一）原地下水位下 A、B、C 點應力

  • **A 點：**位於地表，覆土厚度為零，因此 σv=u=σv′=0\sigma_v=u=\sigma'_v=0。
  • **B 點：**上方有 4 m4\ \mathrm{m} 乾砂土，且 B 正好在地下水位，故孔隙水壓為零。
  • **C 點：**上方有 4 m4\ \mathrm{m} 乾砂土及 10 m10\ \mathrm{m} 飽和砂土；C 位於地下水位下 10 m10\ \mathrm{m}。
σv,B=4γd=4(16.21)=64.83 kPa,uB=0,σv,B′=64.83−0=64.83 kPa.\begin{aligned} \sigma_{v,B}&=4\gamma_d=4(16.21)=64.83\ \mathrm{kPa},\\ u_B&=0,\\ \sigma'_{v,B}&=64.83-0=64.83\ \mathrm{kPa}. \end{aligned} σv,C=4γd+10γsat=4(16.21)+10(20.81)=272.96 kPa,uC=10γw=10(9.81)=98.10 kPa,σv,C′=272.96−98.10=174.86 kPa.\begin{aligned} \sigma_{v,C} &=4\gamma_d+10\gamma_{\mathrm{sat}}\\ &=4(16.21)+10(20.81) =272.96\ \mathrm{kPa},\\ u_C&=10\gamma_w=10(9.81)=98.10\ \mathrm{kPa},\\ \sigma'_{v,C} &=272.96-98.10 =174.86\ \mathrm{kPa}. \end{aligned}
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第 二 題10 分

依據下圖給定之資訊，請寫出土壤以下名詞之定義公式：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

  1. 含水量。
  2. 孔隙比。
  3. 孔隙率。
  4. 飽和度。
  5. 土粒比重。
  6. 土壤乾土單位重。
  7. 土壤飽和單位重。

註：水單位重為 rwr_w。

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核心觀念

本題考土壤三相組成的定義。依圖將土壤分為固體、孔隙中的水與空氣，並以重量和體積表示各項關係。圖中 WsW_s、WwW_w 分別為土粒重量與水重；VsV_s、VwV_w、VaV_a 分別為土粒、水與空氣體積；孔隙體積 Vv=Va+VwV_v=V_a+V_w，總體積 V=Vs+VvV=V_s+V_v。

解題方法與公式

由各名詞的定義直接寫出重量比或體積比；單位重則以總重量除以土壤總體積。

  1. 含水量：水重與土粒重量之比。 w=WwWsw=\frac{W_w}{W_s}

  2. 孔隙比：孔隙體積與土粒體積之比。 e=VvVse=\frac{V_v}{V_s}

  3. 孔隙率：孔隙體積與土壤總體積之比。 n=VvVn=\frac{V_v}{V}

  4. 飽和度：孔隙中水的體積與孔隙體積之比。 Sr=VwVvS_r=\frac{V_w}{V_v}

  5. 土粒比重：土粒單位重與水單位重之比。 Gs=Ws/Vsrw=WsVsrwG_s=\frac{W_s/V_s}{r_w}=\frac{W_s}{V_s r_w}

  6. 土壤乾土單位重：土粒重量除以土壤總體積。 rd=WsV=Gsrw1+er_d=\frac{W_s}{V}=\frac{G_s r_w}{1+e}

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第 三 題10 分

作用在結構體上的載重可分為哪三類？並解釋此三類載重作用在結構體上之來源為何？

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核心觀念

本題考查結構載重依「設計使用年限內隨時間的變異性」所作的分類。港灣構造物常將載重分為永久載重、變動載重及偶發載重。判別重點是載重在使用年限內是否持續存在、是否隨時間改變，以及是否只在少數特殊事件中出現。

解題方法與各類載重來源

  1. 永久載重（permanent load） 在結構設計使用年限內持續作用，且其大小相對穩定，或變化可視為很小的載重。 來源包括結構構件自重、固定設備與附屬設施重量、填土重量、土壓，以及因長期水位條件產生的靜水壓力、浮力或揚壓力等。

  2. 變動載重（variable load） 在設計使用年限內會隨時間改變大小、位置或作用情況的載重。 來源包括碼頭上的堆貨與儲存載重、起重機及其他裝卸機具載重、車輛與列車載重、人群載重、船舶繫泊作用，以及風力、波力、水流力、冰力和施工載重等。港灣工程中，風、浪、流等環境作用通常屬於變動載重。

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第 四 題20 分

如下圖，請說明與計算以下問題：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 圖內有編號 aa、bb、cc、dd、ee、ff、gg、hh、ii、jj 線，請說明屬於流線與等勢能線之編號。

(二) 請繪圖指出何處流速最大，並說明原因。

(三) 透水係數為 0.0005 cm/sec0.0005\ \mathrm{cm/sec}，壩堤長 50 m50\ \mathrm{m}，請計算流量為何？

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核心觀念

本題考查壩堤下方的二維滲流網。流線是滲流水流方向的軌跡；等勢能線連接總水頭相同的點。均質、等向土層中的流線與等勢能線互相垂直，並形成流網。

流網計算流量的公式為：

Q=kHNfNdLQ=kH\frac{N_f}{N_d}L

其中 kk 為透水係數、HH 為上下游水頭差、NfN_f 為流槽數、NdN_d 為水頭降數，LL 為垂直於剖面的壩堤長度。

解題方法

(一) 判別線的種類

依圖中線型判斷，實線為流線，虛線為等勢能線：

  • 流線：a、b、ca、b、c
  • 等勢能線：d、e、f、g、h、i、jd、e、f、g、h、i、j

(二) 流速最大處

流速最大處在板樁尖端附近、等勢能線最密集處。各相鄰等勢能線間的水頭降相同，線距越小，水力坡降 i=Δh/Δsi=\Delta h/\Delta s 越大；依達西定律 v=kiv=ki，流速也越大。

上游水流 → 板樁
 │
 │
 ↘ │ ↙
 ★ 板樁尖端附近
 ↓
 不透水層

(三) 計算流量

圖中有 a、b、ca、b、c 三條內部流線；加上板樁與下方不透水層兩個不透水邊界，形成 44 個流槽，因此 Nf=4N_f=4。

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第 五 題20 分

飽和砂土試體在 120 kN/m2120\ \mathrm{kN/m^2} 之圍壓下壓密。壓密完成後，在不排水的情況下增加軸向應力。當軸差應力達到 85 kN/m285\ \mathrm{kN/m^2}。破壞時的孔隙水壓是 60 kN/m260\ \mathrm{kN/m^2}。請計算：

(一) 不排水情形下之土壤摩擦角。

(二) 排水情形下土壤有效摩擦角。

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核心觀念

本題考查飽和砂土在三軸壓縮試驗中的總應力與有效應力分析。試體先在等向圍壓下壓密，再於不排水條件下剪力破壞；破壞時量得孔隙水壓，可由有效應力原理換算有效主應力。

採用莫耳－庫侖破壞準則，且砂土視為無凝聚力土壤，故三軸壓縮破壞時：

sin⁡ϕ=σ1−σ3σ1+σ3\sin\phi=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{\sigma_1+\sigma_3}

有效應力則為：

σ′=σ−u\sigma'=\sigma-u

其中 σ1\sigma_1、σ3\sigma_3 分別為大、小主應力，uu 為孔隙水壓。

解題方法

壓密完成時，圍壓為 120 kN/m2120\ \mathrm{kN/m^2}。三軸壓縮試驗中小主應力維持為圍壓，因此：

σ3=120 kN/m2\sigma_3=120\ \mathrm{kN/m^2}

破壞時軸差應力為 85 kN/m285\ \mathrm{kN/m^2}，即：

σ1−σ3=85\sigma_1-\sigma_3=85

所以大主應力為：

σ1=120+85=205 kN/m2\sigma_1=120+85=205\ \mathrm{kN/m^2}

(一) 不排水情形下之土壤摩擦角

不排水總應力分析使用總主應力：

sin⁡ϕu=σ1−σ3σ1+σ3=85205+120=85325=0.2615\sin\phi_u =\frac{\sigma_1-\sigma_3}{\sigma_1+\sigma_3} =\frac{85}{205+120} =\frac{85}{325} =0.2615
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第 六 題20 分

矩形梁斷面為 b=30 cmb=30\ \mathrm{cm}、d=58.5 cmd=58.5\ \mathrm{cm}、h=65 cmh=65\ \mathrm{cm}，有 33 根 D25 鋼筋，鋼筋面積 As=15.20 cm2A_s=15.20\ \mathrm{cm^2}，混凝土抗壓強度為 280 kgf/cm2280\ \mathrm{kgf/cm^2}，鋼筋降伏強度 4200 kgf/cm24200\ \mathrm{kgf/cm^2}，請計算當外力彎矩 M=7 tf⋅mM=7\ \mathrm{tf\cdot m} 時之：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

  1. 混凝土最大壓應力。
  2. 混凝土最大拉應力。
  3. 鋼筋應力。
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核心觀念

本題採用彈性轉換斷面法計算梁的彎曲應力。把鋼筋換算成等效混凝土面積，再求轉換斷面的中性軸與慣性矩。題目要求混凝土最大拉應力，因此按未開裂彈性斷面計算。

採用混凝土彈性模數 Ec=15,000fc′E_c=15{,}000\sqrt{f'_c}、鋼筋彈性模數 Es=2.04×106 kgf/cm2E_s=2.04\times10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}，模數比為：

n=EsEc=2.04×10615,000280=8.13n=\frac{E_s}{E_c} =\frac{2.04\times10^6}{15{,}000\sqrt{280}} =8.13

轉換斷面中，鋼筋以 (n−1)As(n-1)A_s 加在原混凝土斷面上；求得轉換斷面後，鋼筋應力為其所在位置混凝土等效應力的 nn 倍。

解題方法

1. 將彎矩換算為 kgf⋅cm\mathrm{kgf\cdot cm}

M=7 tf⋅m=7×1,000×100=700,000 kgf⋅cmM=7\ \mathrm{tf\cdot m} =7\times1{,}000\times100 =700{,}000\ \mathrm{kgf\cdot cm}

2. 求轉換斷面中性軸

以梁頂為基準，矩形混凝土斷面面積為 bh=30×65=1,950 cm2bh=30\times65=1{,}950\ \mathrm{cm^2}，其形心距梁頂 h/2=32.5 cmh/2=32.5\ \mathrm{cm}。加上鋼筋的等效面積：

As′=(n−1)As=(8.13−1)(15.20)=108.34 cm2A'_s=(n-1)A_s=(8.13-1)(15.20)=108.34\ \mathrm{cm^2}

因此中性軸距梁頂：

yˉ=(1,950)(32.5)+(108.34)(58.5)1,950+108.34=33.87 cm\bar y =\frac{(1{,}950)(32.5)+(108.34)(58.5)} {1{,}950+108.34} =33.87\ \mathrm{cm}
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港灣工程《土壤力學（包括基礎工程）及鋼筋混凝土學》其他年度

115114