108 高普考高考三級 港灣工程 波浪力學（含潮汐） 考古題詳解

核心觀念

本題為港灣工程《波浪力學》最基礎且出題頻率極高的經典題型，核心考核三大領域：

1. 微小振幅波理論（Airy Wave Theory）與散播關係式（Dispersion Relation）：速度位能函數在滿足拉普拉斯方程式（Laplace Eq.）與線性化邊界條件下，所推導出聯繫波浪週期（$T$）、波長（$L$）與水深（$h$）之物理方程式，以及超越方程式（Transcendental Equation）之數值或近似解法。
2. 水深分類與波浪特徵計算：依相對水深（$h/L$ 或 $kh$）將水域劃分為深水區（$h/L > 0.5$）、過渡水深區（$0.05 \le h/L \le 0.5$）與淺水區（$h/L < 0.05$），並利用簡化公式或精確疊代法計算波長與波速。
3. 波動理論之波形特徵演變：探討線性微小振幅波、二階以上非線性有限振幅波（Stokes 波）以及淺水非線性長波（孤立波，Solitary Wave）在波峰、波谷、對稱性與水面幾何上的根本差異。

解題方法與步驟詳解

(一) 波浪散播關係方程式與波長求解法（10 分）

1. 波浪散播關係方程式

依微小振幅波理論（線性水波理論），波浪角頻率 $\sigma = \frac{2\pi}{T}$ 與波數 $k = \frac{2\pi}{L}$ 在水深 $h$ 下滿足以下散播關係式（Dispersion Relation）：

$\sigma^2 = g k \tanh(kh)$

將 $\sigma = \frac{2\pi}{T}$ 與 $k = \frac{2\pi}{L}$ 代入，可改寫為波速 $C$ 或波長 $L$ 的表示式：

$C = \frac{L}{T} = \frac{gT}{2\pi} \tanh\left(\frac{2\pi h}{L}\right)$

$L = \frac{gT^2}{2\pi} \tanh\left(\frac{2\pi h}{L}\right) = L_0 \tanh(kh)$

式中：

• $g$：重力加速度（取 $9.8\text{ m/s}^2$ 或 $9.81\text{ m/s}^2$）。
• $T$：波浪週期（$\text{s}$）。
• $L$：水深 $h$ 處之波長（$\text{m}$）。
• $h$：靜水深（$\text{m}$）。
• $L_0 = \frac{gT^2}{2\pi} \approx 1.56 T^2$：深水波長（$\text{m}$）。

2. 如何由該方程式求得波長

由於未知數 $L$ 同時出現在方程式兩側（等號右側位於雙曲正切函數 $\tanh$ 的引數內），此方程式屬於超越方程式，無法直接透過代數移項求得解析封閉解。工程實務與考場上的求解方法如下：

1. 依相對水深進行極限簡化（直接代數解）：

• 深水波（$h/L > 0.5$ 或 $kh > \pi$）：$\tanh(kh) \to 1$，方程式退化為： $L = L_0 = \frac{gT^2}{2\pi} \approx 1.56 T^2$
• 淺水波（極淺水區，$h/L < 0.05$ 或 $kh < 0.314$）：當 $kh$ 極小時，$\tanh(kh) \approx kh$，方程式簡化為： $L = \frac{gT^2}{2\pi}(kh) = \frac{gT^2}{2\pi}\left(\frac{2\pi h}{L}\right) = \frac{gT^2 h}{L} \implies L = T\sqrt{gh}$ 波速則為淺水長波波速 $C = \sqrt{gh}$。

2. 有限水深（過渡水域，$0.05 \le h/L \le 0.5$）的數值疊代法（Iteration Method）：

• 直接代入法（逐次逼近法）： 設定初始值 $L^{(0)} = L_0$（或由淺水長波初估），代入遞迴式： $L^{(n+1)} = L_0 \tanh\left(\frac{2\pi h}{L^{(n)}}\right)$ 重複運算直至前後兩次差值滿足容許誤差（如 $|L^{(n+1)} - L^{(n)}| < 0.001\text{ m}$）。
• 牛頓－拉弗森法（Newton-Raphson Method）： 定義函數 $f(k) = \sigma^2 - gk\tanh(kh) = 0$，藉由一次微分切線公式快速收斂求出 $k$，進而求得 $L = \frac{2\pi}{k}$。

3. 顯式近似經驗公式法（Explicit Approximation）： 考場若無可程式計算機，可採用如 Hunt（1979） 近似式直接求解，誤差在 $0.1\%$ 以內： $kh \approx \sqrt{y^2 + \frac{y}{1 + \sum_{n=1}^{6} d_n y^n}} \quad \text{其中 } y = \frac{\sigma^2 h}{g}$

(二) 水深 200 公尺與 3 公尺之波長與波速計算（10 分）

令重力加速度 $g = 9.8\text{ m/s}^2$（若取 $g = 9.81\text{ m/s}^2$ 數值標註於後），已知週期 $T = 10\text{ s}$。

深水波長基準值為： $L_0 = \frac{gT^2}{2\pi} = \frac{9.8 \times 10^2}{2\pi} \approx 155.97\text{ m} \quad (g=9.81\text{ 時為 } 156.13\text{ m})$ 深水波速基準值為： $C_0 = \frac{L_0}{T} = \frac{155.97}{10} \approx 15.60\text{ m/s} \quad (g=9.81\text{ 時為 } 15.61\text{ m/s})$

1. 水深 $h = 200\text{ m}$ 處

• 水深判別： $\frac{h}{L_0} = \frac{200}{155.97} \approx 1.282 > 0.5$ 此處水深遠大於深水波門檻（$h/L > 0.5$），故適用深水波理論。
• 計算： 因 $kh = \frac{2\pi \times 200}{155.97} \approx 8.05$，此時 $\tanh(kh) = \tanh(8.05) \approx 1.000$。 $L_{200} = L_0 \approx 156.0\text{ m}$ $C_{200} = \frac{L_{200}}{T} = \frac{156.0}{10} = 15.60\text{ m/s}$

2. 水深 $h = 3\text{ m}$ 處

• 水深判別初估： 先以淺水長波估算： $C \approx \sqrt{gh} = \sqrt{9.8 \times 3} = \sqrt{29.4} \approx 5.422\text{ m/s}$ $L \approx C \times T = 5.422 \times 10 \approx 54.22\text{ m}$ 檢驗相對水深： $\frac{h}{L} = \frac{3}{54.22} \approx 0.0553$ 此值極接近淺水界限 $0.05$（一般工程判定 $h/L \le 0.05$ 屬淺水區，此處位於淺水區與過渡區交界邊緣）。

• 精確解（疊代求解分散關係式）： 代入散播關係方程式 $\sigma^2 = \left(\frac{2\pi}{10}\right)^2 = 0.3948\text{ rad}^2\text{/s}^2$： $y = \frac{\sigma^2 h}{g} = \frac{0.3948 \times 3}{9.8} = 0.12085 = (kh)\tanh(kh)$ 因 $kh$ 為小量，利用泰勒展開式 $\tanh(x) \approx x - \frac{x^3}{3}$：

核心觀念

本題評量港灣與海岸工程中「波浪由深海傳播至近岸之變形機制與水動力平衡」三大核心理論：

1. 波浪淺化（Shoaling）與折射（Refraction）：涉及波動傳播之「運動學守恆（波峰數守恆、頻率不變性、司乃耳定律）」與「動力學守恆（無耗散狀態下波能通量守恆）」，推導淺化係數 $K_s$ 與折射係數 $K_r$。
2. 輻射應力（Radiation Stress, $S_{xx}$）與平均水位變化：利用水深積分、時間平均動量方程式，探討波降（Wave Set-down）與波升（Wave Set-up）之成因機制與水動力平衡。
3. 等值深海波浪要素（Equivalent Deepwater Wave Parameters）：海岸工程設計中將平面二維效應（折射、繞射）與一維效應（淺化）解耦的虛擬等效參量（$H_0'$ 與 $T_0'$）。

解題方法（申論解析）

(一) 說明波浪淺化及折射現象，及其應滿足之波浪運動學與動力學守恆定理（10 分）

1. 現象說明

• 波浪淺化（Wave Shoaling）： 當波浪自深海傳入過渡水深及淺海區（相對水深 $h/L < 0.5$）時，水粒子運動受到海底邊界摩擦與約束，波速 $C$ 隨水深 $h$ 變淺而減小（$C = \sqrt{\frac{g}{k}\tanh(kh)}$），波長 $L$ 相對壓縮變短。在週期 $T$ 維持不變的情況下，單位面積波能量通量重新分配，波高 $H$ 會先微幅下降（約在 $h/L_0 \approx 0.15 \sim 0.2$ 處），隨後急劇增大，直至發生碎波為止。
• 波浪折射（Wave Refraction）： 當波浪波峰線以某一傾角斜向斜交等深線傳入淺水時，處於較淺水域一側的波峰波速變慢，處於較深水域一側的波峰波速較快，導致波峰線發生偏折旋轉，並逐漸趨向與海底等深線平行。此現象促使相鄰波向線（Wave Rays / Orthogonals）在岬角處匯聚（波能集中、波高增高），在海灣處發散（波能分散、波高降低）。

2. 應滿足之守恆定理

• 波浪運動學守恆（Kinematic Conservation）：

• 波峰數守恆（波數守恆方程）：波峰在傳播過程中不生不滅，波數向量 $\vec{k}$ 與角頻率 $\sigma$ 滿足： $\frac{\partial \vec{k}}{\partial t} + \nabla \sigma = 0$

• 定常狀態結論：在定常波場下（$\partial/\partial t = 0$），角頻率與週期守恆，即 $\sigma = \text{常數} \implies T = \text{常數}$；波數向量具無旋性（$\nabla \times \vec{k} = 0$）。

• 折射控制式（司乃耳定律，Snell's Law）：對於平行直線等深線海岸，由波數無旋性可推導出波向線滿足： $\frac{\sin \alpha_1}{C_1} = \frac{\sin \alpha_2}{C_2} = \text{常數}$ 其中 $\alpha$ 為波峰線與等深線之夾角（或波向線與底坡法線夾角），$C$ 為各點之波速。

• 波浪動力學守恆（Dynamic Conservation）：

• 波能通量守恆定理（Conservation of Wave Energy Flux）：在無外力作功、忽略海床摩擦阻力及無碎波耗散之理想條件下，兩條相鄰波向線所構成之能量流道（Stream tube）內，波能流通量為定值： $\nabla \cdot (E \vec{C_g}) = 0$ 即： $E_0 C_{g0} b_0 = E C_g b$ 其中 $E = \frac{1}{8}\rho g H^2$ 為單位水平面積之總波能，$C_g$ 為群速度，$b$ 為相鄰兩波向線間的垂直間距。

• 波高變化推導： $\frac{1}{8}\rho g H_0^2 C_{g0} b_0 = \frac{1}{8}\rho g H^2 C_g b \implies H = H_0 \sqrt{\frac{C_{g0}}{C_g}} \sqrt{\frac{b_0}{b}} = H_0 \cdot K_s \cdot K_r$ 式中 $K_s = \sqrt{\frac{C_{g0}}{C_g}}$ 為淺化係數，$K_r = \sqrt{\frac{b_0}{b}}$ 為折射係數。

(二) 碎波發生前後，平均水位的變化情形與物理機制（10 分）

1. 水位變化現象

• 碎波前（碎波帶外，Offshore / Shoaling Zone）：平均水位隨水深變淺而持續下降，低於靜水位（Still Water Level, SWL），此現象稱為波浪水位下降（波降，Wave Set-down, $\bar{\eta} < 0$）。在碎波點（Breaking point）處，波降達到負的最大極值 $\bar{\eta}_b$。
• 碎波後（碎波帶內，Surf Zone）：進入碎波帶後，平均水位自碎波點開始向岸劇烈爬升，高於靜水位，此現象稱為波浪水位上升（波升，Wave Set-up, $\bar{\eta} > 0$），並在海岸線邊界處達到最高值。

2. 物理原因說明（輻射應力動量平衡機制）

波浪前進時帶有過剩的動量通量，稱為輻射應力（Radiation Stress）。沿波浪垂直向岸前進之 $x$ 軸方向，經水深積分與時間平均之一維定常動量平衡方程式（忽略底摩擦）為： $\frac{d S_{xx}}{dx} + \rho g (\bar{\eta} + h) \frac{d\bar{\eta}}{dx} = 0$ 改寫為水面坡降公式： $\frac{d\bar{\eta}}{dx} = -\frac{1}{\rho g (\bar{\eta} + h)} \frac{d S_{xx}}{dx}$

核心觀念

近岸流系統是波浪進入淺水區、折射與破碎後，因波浪輻射應力改變及沿岸水位差所形成的平均水流。主要包括：

• 沿岸流：破波浪斜向入射時，沿岸方向的波浪動量傳遞造成沿岸水位坡度與流速。
• 裂流：破波將水推向岸邊並抬高近岸水位，形成的水沿岸匯集後，經較深或阻力較小的通道向外海流出。
• 向岸流與底層回流：破波區水體向岸輸送，造成水位堆高；水體再以平均回流方式補償，底層常見向外海的離岸流。

常以波浪輻射應力的水平梯度表示波浪對平均流的作用。若 $x$ 為沿岸方向、$y$ 為離岸方向，概念上的平均動量平衡可寫為：

其中 $\bar{\eta}$ 是平均水位，$\mathbf{S}$ 是波浪輻射應力張量。破波前後波高與波向改變，使 $\mathbf{S}$ 發生空間變化，進而驅動平均水位坡度與近岸流。

解題方法

（一）近岸流系統與水動力機制

作圖時先標示岸線、破波帶及波浪入射方向，再畫出波浪破碎造成的向岸水量輸送、沿岸流、裂流及底層回流。斜向入射時，波浪具有沿岸方向的動量；破波後這部分動量傳給水體，形成沿岸流。若波浪近似正向入射，沿岸動量較小，但波高或破波條件沿岸不均，仍可因輻射應力梯度與水位差形成循環流及裂流。

 外海
 波浪斜向入射 ↘ ↘ ↘

 破波帶 ─────────────────────
 向岸水量輸送 ↓
岸線 ────────────────────────────
 沿岸流 → → →
 ↓
 裂流
 ↑ 離岸流
 底層回流向外海

核心觀念

本題考兩件事：一是分辨天文潮與暴潮，並定義暴潮偏差；二是從各站潮位歷線判斷潮型，並比較潮差大小。

• 天文潮：月球、太陽的引力及地球與天體運動所形成的週期性潮汐。其潮位變化可用潮汐調和分析分解成各分潮，並依天文條件預報。
• 暴潮：颱風或強烈季風等氣象作用造成的非天文潮位變化，主要包括低氣壓造成的海面抬升，以及強風將海水推向岸邊造成的堆升。
• 暴潮偏差：同一時間的實測潮位與天文預報潮位之差：

$\text{暴潮偏差}=\text{實測潮位}-\text{天文預報潮位}$

偏差為正表示實測潮位高於天文潮位，為負則表示低於天文潮位。暴潮偏差是非天文水位的剩餘量；在暴潮事件中，主要反映氣象作用。

潮型可從潮位變化的週期與日內高、低潮特徵判讀。若要以分潮定量分類，可用潮型係數 $F=(K_1+O_1)/(M_2+S_2)$；但本圖未提供分潮振幅，宜依歷線作定性判讀。潮差則是同一潮次高潮位與低潮位的垂直差，不能把相對平均水位的振幅直接當成潮差。

解題方法與圖形判讀

圖中橫軸為 1993 年 3 月日期，縱軸為水位（公尺）。各站均可見每日約兩次高潮、兩次低潮，整體以半日潮型為主；各次高潮與低潮的高低並非完全相同，且潮差隨日期呈大小交替的變化，反映日不等與大小潮週期。

依圖中曲線的高潮、低潮差約略比較：