108 高普考高考三級 港灣工程 海岸工程 考古題詳解

核心觀念

本題屬於海岸工程中「波浪淺水變形與碎波機制」及「海灘地形動態平衡」的經典計算題，主要涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 深海微幅波理論（Airy Wave Theory）： 深海波長 $L_0$ 僅取決於波浪週期 $T$： $L_0 = \frac{gT^2}{2\pi} \approx 1.56T^2$ 由此可得深海波浪陡度（wave steepness）為 $H_0/L_0$。

2. Sunamura（1983）碎波波高公式： 考慮前灘坡度 $\tan\beta_f$ 及深海波陡 $H_0/L_0$ 對碎波波高比 $H_b/H_0$ 的影響： $\frac{H_b}{H_0}=\tan^{0.2}\beta_f\left(\frac{H_0}{L_0}\right)^{-0.25}$

3. Sunamura（1984）前灘平衡坡度公式： 前灘坡度由波浪條件（週期 $T$、碎波高 $H_b$）與海灘沈積物粒徑 $D_{50}$ 之無因次參數所決定： $\tan\beta_f=0.12\left(\frac{gT^2}{H_b}\frac{D_{50}}{H_b}\right)^{1/4}$

4. 兩式聯立求解： $H_b$ 與 $\tan\beta_f$ 兩者互為變數（坡度決定碎波高，碎波高又決定平衡坡度），解題切入點為將兩式聯立，以代數消去 $\tan\beta_f$，直接求解 $H_b$。

5. 孤立波碎波指標（Solitary Wave Breaking Criterion）與幾何關係： 利用孤立波臨界碎波指標 $H_b = 0.78h_b$（其中 $h_b$ 為碎波點水深），可推得碎波水深 $h_b = H_b / 0.78$。在單一均勻前灘坡度地形下，水深與離岸距離 $x$ 之關係為 $h = x \tan\beta_f$，進而求得碎波點距海岸線之水平距離 $x_b = h_b / \tan\beta_f$。

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解題方法

步驟一：計算深海波長 $L_0$ 與深海波浪陡度 $H_0/L_0$

取重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$，週期 $T = 6\ \mathrm{sec}$： $L_0 = \frac{gT^2}{2\pi} = \frac{9.8 \times 6^2}{2\pi} = \frac{352.8}{6.2832} \approx 56.15\ \mathrm{m}$

給定深海波高 $H_0 = 2.0\ \mathrm{m}$，則深海波陡為： $\frac{H_0}{L_0} = \frac{2.0}{56.15} \approx 0.03562$

波陡負四分之一次方項為： $\left(\frac{H_0}{L_0}\right)^{-0.25} = (0.03562)^{-0.25} \approx 2.301$

步驟二：聯立公式求解碎波波高 $H_b$

注意單位一致性：底質粒徑 $D_{50} = 0.2\ \mathrm{mm} = 2.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$。

將 Sunamura（1984）的坡度式改寫為： $\tan\beta_f = 0.12 \left(g T^2 D_{50} \cdot H_b^{-2}\right)^{1/4} = 0.12 (g T^2 D_{50})^{0.25} H_b^{-0.5}$

代入數值項： $g T^2 D_{50} = 9.8 \times 6^2 \times (2.0 \times 10^{-4}) = 0.07056\ \mathrm{m^2}$ $(g T^2 D_{50})^{0.25} = (0.07056)^{0.25} \approx 0.5157$ $\tan\beta_f = 0.12 \times 0.5157 \times H_b^{-0.5} \approx 0.06188 \cdot H_b^{-0.5}$

核心觀念

本題旨在考驗波浪由深海傳播至有限水深（過渡水深）時之基本波動力學特性，主要涵蓋以下四項核心理論：

1. 微小振幅波（Airy 波）色散關係式（Dispersion Relation）：

• 深海波長與週期關係： $L_0 = \frac{g}{2\pi} T^2$
• 任意水深波長 $L$ 與水深 $h$ 之關係： $L = L_0 \tanh(Kh)$ 其中，$K = \frac{2\pi}{L}$ 為週波數（波數）。
• 波速關係式： $C = \frac{L}{T} \implies \frac{C}{C_0} = \frac{L}{L_0} = \tanh(Kh)$

2. 波浪折射（Wave Refraction）與 Snell 定律：

• 在底形等深線為直線且與海岸線平行的理想地形下，波射線遵循 Snell 定律： $\frac{\sin\theta}{C} = \frac{\sin\theta_0}{C_0} \implies \sin\theta = \frac{C}{C_0} \sin\theta_0 = \tanh(Kh) \sin\theta_0$
• 折射係數定義為： $K_r = \sqrt{\frac{b_0}{b}} = \left(\frac{\cos\theta_0}{\cos\theta}\right)^{1/2}$

3. 群波波速（Group Velocity）與波浪淺化（Wave Shoaling）：

• 群波波速為波浪能量傳遞速度： $C_g = \frac{1}{2} n C, \qquad n = 1 + \frac{2Kh}{\sinh 2Kh}$
• 在深海區（$Kh \to \infty$），$n_0 = 1$，$C_{g0} = \frac{1}{2} C_0$。
• 淺化係數定義為： $K_s = \sqrt{\frac{C_{g0}}{C_g}} = \sqrt{\frac{1}{n \tanh(Kh)}}$

4. 波能守恆與波高變形預測：

• 忽略海底摩擦及碎波能量損失，由相鄰波射線間之能流通量守恆（$E_0 C_{g0} b_0 = E C_g b$），求得水深 $h$ 處之波高： $H = H_0 \cdot K_s \cdot K_r$

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解題方法

步驟一：計算深海波浪要素（深海波長 $L_0$ 與波速比）

取重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$，已知週期 $T = 4.5\ \mathrm{sec}$： $L_0 = \frac{g}{2\pi} T^2 = \frac{9.8}{2\pi} (4.5)^2 \approx 31.58\ \mathrm{m}$ 深海波速為： $C_0 = \frac{L_0}{T} = \frac{31.58}{4.5} \approx 7.02\ \mathrm{m/s}$

步驟二：求解水深 $h = 8\ \mathrm{m}$ 處之週波數 $K$ 與波長 $L$

相對水深檢驗： $\frac{h}{L_0} = \frac{8}{31.58} \approx 0.253$ 因 $0.05 < \frac{h}{L_0} < 0.5$，屬於有限水深（過渡水深）。

依據色散方程式： $L = L_0 \tanh(Kh) \iff \frac{2\pi h}{Kh} = L_0 \tanh(Kh)$ 兩邊同乘以 $\frac{Kh}{L_0}$，整理為無因次關係式： $Kh \tanh(Kh) = \frac{2\pi h}{L_0} = \frac{2\pi \times 8}{31.58} \approx 1.591$

令 $x = Kh$，解非線性方程式 $x \tanh x = 1.591$： 代入 $x = 1.70$： $\tanh(1.70) = \frac{e^{1.70} - e^{-1.70}}{e^{1.70} + e^{-1.70}} \approx 0.9354$ $1.70 \times 0.9354 \approx 1.590 \approx 1.591$ 精確求得： $Kh \approx 1.70$ 因此水深 $8\ \mathrm{m}$ 處之週波數 $K$ 及波長 $L$ 為： $K = \frac{1.70}{h} = \frac{1.70}{8} = 0.2125\ \mathrm{m^{-1}}$ $L = \frac{2\pi}{K} = \frac{2\pi}{0.2125} \approx 29.57\ \mathrm{m}$ 波速比為： $\frac{C}{C_0} = \tanh(Kh) \approx 0.9354$

步驟三：由 Snell 定律計算波向角 $\theta$ 與折射係數 $K_r$

深海入射角 $\theta_0 = 30^\circ$。依 Snell 定律： $\sin\theta = \frac{C}{C_0} \sin\theta_0 = 0.9354 \times \sin(30^\circ) = 0.9354 \times 0.5 = 0.4677$ 波向角為： $\theta = \arcsin(0.4677) \approx 27.88^\circ \quad (\text{或換算為 } 27^\circ 53')$

折射係數 $K_r$ 計算： $\cos\theta_0 = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$

核心觀念

本題評量港灣與海岸工程中「離岸防護工法」與「近岸水動力學、漂沙力學」的整合應用能力。核心觀念包含：

1. 波浪場變形：波浪遇離岸堤（Offshore Breakwater）產生之繞射（Diffraction）、反射（Reflection）、碎波（Breaking）及堤後遮蔽效應（Sheltering effect）。
2. 近岸循環流力學（波浪輻射應力理論）：波高沿岸不均勻分佈導致輻射應力（Radiation Stress, $S_{ij}$）梯度，進而誘發沿岸平均水位差（Wave Setup 梯度）與近岸循環水流（Nearshore Circulation Currents）。
3. 漂沙運動與沉積平衡：沿岸流與波能消減造成水流輸沙能力降低，使懸浮與底床推移質沉澱，由舌狀沙洲（Salient）發育成繫岸沙洲（Tombolo）。
4. 入射波角之邊界效應：波浪正向入射（$\theta = 0^\circ$）與斜向入射（$\theta \neq 0^\circ$）所誘發的對稱／不對稱波能量場、沿岸淨流向與漂沙平衡之幾何特徵差異。

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解題方法

申論與繪圖題應採取「水動力現象 $\rightarrow$ 力學平衡推導 $\rightarrow$ 地形沉積響應 $\rightarrow$ 邊界條件對比」之架構作答：

1. 繪製波浪場變形圖：展示入射波、堤前反射、兩端波峰線圓弧化繞射及中央遮蔽區（Shadow Zone）。
2. 闡述波浪力學原理解析：

• 引用 Longuet-Higgins & Stewart 的輻射應力張量概念，說明堤端外側碎波區與堤後低波高區之水頭梯度與驅動力。
• 建立水動力控制方程式，推導水流向堤後匯聚之機制與底床剪應力低於臨界移動剪應力（$\tau_b < \tau_{cr}$）導致泥沙堆積的過程。

3. 正向與斜向入射特性對比：以圖表形式分別就「波能分佈」、「流場結構」、「沙洲幾何形狀（對稱性）」與「相鄰海岸侵淤影響」四項指標進行結構化比較。

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解題技巧與常見陷阱

• 名詞精確度：考生常將「舌狀沙洲（Salient，未與堤身完全相連）」與「繫岸沙洲／連島沙洲（Tombolo，已與堤身相連）」混為一談。題目特別指明「繫岸沙洲」，說明時應著重沉積體延伸連接至堤身背側的動態發育平衡條件（通常堤長與離岸距之比值 $L_b / Y_o \ge 1.0 \sim 1.5$）。
• 力學推導切入點：不可僅寫「堤後平靜所以沉澱」這種質性口語；評分關鍵在於寫出輻射應力梯度與**波升差（Wave setup gradient）**如何驅動雙向「沿岸循環流（Converging longshore currents）」。
• 斜向入射的常見陷阱：許多考生誤以為斜向入射時沙洲會朝「迎浪側」偏折。事實上，波浪斜向破碎驅動主沿岸流向下游，沙洲軸線會受到向下游側的推擠與彎折，呈現迎浪側堆積平緩廣大、背浪側陡縮或向下游偏轉的不對稱型態。

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【答案】

一、 離岸堤對侵襲波浪之影響（含圖示）

當深海或淺海波浪向岸傳播遭遇離岸堤時，波浪場主要產生以下四種水動力變形：

1. 堤前反射與碎波：波浪在離岸堤向海側表面產生部分反射（形成不規則駐波場或干涉波），過大波浪則直接於堤身或外側發生激碎，大量波能在此處消散。
2. 堤端繞射作用（Diffraction）：波浪通過離岸堤兩端開闊水域時，波能沿著波峰線側向橫向傳遞，使波峰線轉折形成以堤端為圓心的同心圓弧狀，波高由外側向遮蔽區內部依繞射係數 $K_d$ 遞減。
3. 堤後遮蔽效應（Sheltered Zone）：離岸堤後方形成波能低凹的遮蔽區，波高 $H$ 顯著小於堤外未遮蔽海域波高（$H_{sheltered} \ll H_{incident}$）。
4. 波浪折射（Refraction）：繞射進入堤後的波浪在淺水區因地形水深變化產生折射，波峰線趨於與底床等深線或岸線平行。

 【離岸堤對波浪影響及流場平面示意圖】

 入射波浪方向 (波向線) ↓↓↓
 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (深水波峰線)
 __________ (離岸堤)
 / \
 / 遮蔽區 \
 繞射波峰 ) (波高小) ( 繞射波峰
 (波高大) / H_min \ (波高大)
 / \
 ─────────/───── 水流匯聚 ──────\──────── 原岸線
 \ ▲ ▲ /

核心觀念

1. 部分立波（Partial Standing Wave）之合成： 當入射波前進遇到非全反射結構物（如具斜坡、孔隙或粗糙面之防波堤）時，反射波振幅小於入射波振幅（$a_r \le a_i$），兩者疊加形成振幅隨空間呈週期性調變的「部分立波」（又稱不完全立波）。
2. Healy 法（1953）原理： 利用波形包絡線（Envelope）之極大值（腹點，Anti-node）與極小值（節點，Node）的幾何關係，分離入射波與反射波之波高，進而計算結構物的反射率（Reflection Coefficient, $K_r$）。
3. 相關定義式：

• 振幅與波高關係：$H_i = 2a_i$、$H_r = 2a_r$。
• 週波數（波數）與波長關係：$K = \frac{2\pi}{L}$。
• 反射率（反射係數）：$K_r = \frac{H_r}{H_i} = \frac{a_r}{a_i}$。

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解題方法

步驟一：分析合成波包絡線極值條件

題目給定堤前合成波方程式為： $\eta = \sqrt{a_i^2+a_r^2+2a_i a_r\cos(2Kx+\varepsilon)}\cdot\cos\left[(Kx)_m-\omega t\right]$

該合成波之空間振幅包絡線為： $A(x) = \sqrt{a_i^2+a_r^2+2a_i a_r\cos(2Kx+\varepsilon)}$

1. 腹點（Anti-node）處： 當 $\cos(2Kx+\varepsilon) = 1$ 時，振幅達到極大值 $A_{\max}$： $A_{\max} = \sqrt{a_i^2+a_r^2+2a_i a_r} = \sqrt{(a_i+a_r)^2} = a_i + a_r$ 對應之腹點波高 $H_{\max}$ 為波峰至波谷之總高差（$2A_{\max}$）： $H_{\max} = 2(a_i + a_r) = 2a_i + 2a_r = H_i + H_r \quad \text{--- (式 1)}$

2. 節點（Node）處： 當 $\cos(2Kx+\varepsilon) = -1$ 時，振幅達到極小值 $A_{\min}$： $A_{\min} = \sqrt{a_i^2+a_r^2-2a_i a_r} = \sqrt{(a_i-a_r)^2} = a_i - a_r \quad (\text{因 } a_i \ge a_r)$ 對應之節點波高 $H_{\min}$ 為： $H_{\min} = 2(a_i - a_r) = 2a_i - 2a_r = H_i - H_r \quad \text{--- (式 2)}$

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步驟二：求入射波波高 $H_i$ 與反射波波高 $H_r$

聯立 (式 1) 與 (式 2)：

• 將兩式相加： $H_{\max} + H_{\min} = (H_i + H_r) + (H_i - H_r) = 2H_i$ $\implies H_i = \frac{H_{\max} + H_{\min}}{2}$