109 高普考高考三級 水利工程 水文學 考古題詳解

核心觀念

本題主要測驗水文學中「水文水平衡」、「水文單位換算」以及「荷頓（Horton）入滲理論」之核心觀念與工程應用：

1. 集水區水平衡原理（Water Balance Principle）： 在不考慮其他損失（如截留、窪蓄、蒸發散）的假設下，總降雨量（$P$）等於直接逕流量（$R_d$）與總入滲量（$F$）之總和： $P = R_d + F \implies F = P - R_d$
2. 水文深度與體積轉換： 集水區面積為 $A$ 時，水深（$\mathrm{mm}$）與水量體積（$\mathrm{m^3}$）之轉換關係為： $\text{體積 } V\ (\mathrm{m^3}) = \text{水深 } d\ (\mathrm{m}) \times \text{面積 } A\ (\mathrm{m^2})$ 常用速算關係：$1\ \mathrm{mm} \times 1\ \mathrm{km^2} = 10^{-3}\ \mathrm{m} \times 10^6\ \mathrm{m^2} = 1,000\ \mathrm{m^3}$。
3. 荷頓入滲容量公式（Horton's Infiltration Equation）： $f(t) = f_c + (f_0 - f_c)e^{-kt}$ 其中：

• $f(t)$：時間 $t$ 之入滲容量（$\mathrm{mm/hr}$）。
• $f_0$：初始入滲率（$\mathrm{mm/hr}$）。
• $f_c$：最終入滲率（$\mathrm{mm/hr}$）。
• $k$：入滲衰減係數（$\mathrm{1/hr}$）。
• $t$：降雨歷時（$\mathrm{hr}$）。

4. 累積入滲量公式（Cumulative Infiltration）： 當降雨強度大於或等於入滲容量時，地表產生積水（ponding），歷時 $t$ 內之累積入滲量即為入滲率對時間之積分： $F(t) = \int_0^t f(\tau)\,d\tau = \int_0^t \left[ f_c + (f_0 - f_c)e^{-k\tau} \right] d\tau = f_c t + \frac{f_0 - f_c}{k}(1 - e^{-kt})$
5. 土壤入滲能力之回復（Recovery of Infiltration Capacity）： 降雨結束後，土壤水分隨重力排水與蒸發散而減少，入滲能力逐漸回復。當無雨間隔時間夠長（如數週），土壤含水量回復至乾燥狀態，初始入滲率亦完全回復至 $f_0$。

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解題方法

已知基本資料整理

• 集水區面積：$A = 100\ \mathrm{km^2} = 100 \times 10^6\ \mathrm{m^2} = 10^8\ \mathrm{m^2}$
• 最終入滲率：$f_c = 0.25\ \mathrm{mm/hr}$
• 衰減係數：$k = 0.14\ \mathrm{hr^{-1}}$

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第 1 小題：求該場暴雨的總入滲量

1. 計算直接逕流深（$R_d$）： 已知直接逕入流量體積 $V_d = 2 \times 10^7\ \mathrm{m^3}$，均勻分佈於集水區上的等效逕流深為： $R_d = \frac{V_d}{A} = \frac{2 \times 10^7\ \mathrm{m^3}}{10^8\ \mathrm{m^2}} = 0.2\ \mathrm{m} = 200\ \mathrm{mm}$

2. 計算總入滲量（$F$）： 第一場暴雨總降雨量 $P = 300\ \mathrm{mm}$。因忽略其他損失，僅考慮入滲損失：

• 總入滲水深： $F = P - R_d = 300\ \mathrm{mm} - 200\ \mathrm{mm} = 100\ \mathrm{mm}$
• 總入滲體積： $V_F = F \times A = 0.1\ \mathrm{m} \times 10^8\ \mathrm{m^2} = 1 \times 10^7\ \mathrm{m^3}$

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第 2 小題：求該集水區的初始入滲率（$f_0$）

1. 雨強與超滲檢驗： 該場暴雨平均降雨強度 $i_1 = \frac{300\ \mathrm{mm}}{12\ \mathrm{hr}} = 25\ \mathrm{mm/hr}$。降雨強度極大，降雨期間地表積水，實際入滲率受入滲容量控制，累積入滲量即等於累積入滲容量。

2. 代入累積入滲量公式： 歷時 $t = 12\ \mathrm{hr}$，累積入滲量 $F(12) = 100\ \mathrm{mm}$： $F(12) = f_c t + \frac{f_0 - f_c}{k}(1 - e^{-kt})$ $100 = 0.25 \times 12 + \frac{f_0 - 0.25}{0.14} \left(1 - e^{-0.14 \times 12}\right)$

3. 逐步推導數值：

• $f_c t = 0.25 \times 12 = 3.0\ \mathrm{mm}$
• $kt = 0.14 \times 12 = 1.68$
• $e^{-1.68} \approx 0.1864$

核心觀念

本題考查水文學中「大氣水分與降水」單元之核心課題——可降水量（Precipitable Water, $W_p$）之推求，並結合大氣垂直熱力結構與靜力平衡。涉及的主要公式與物理定律如下：

1. 可降水量定義： 可降水量為單位底面積之垂直大氣柱內所含水氣完全凝結降落至地面所積累之水深。 以氣壓為垂直座標之積分式為： $W_p = \frac{1}{\rho_w g} \int_{p_2}^{p_1} q \, dp$ 式中，$q$ 為比濕（Specific humidity, $\mathrm{kg/kg}$）；$p$ 為氣壓（$\mathrm{Pa}$）；$\rho_w$ 為液態水密度（取 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$）；$g$ 為重力加速度（取 $9.81\ \mathrm{m/s^2}$）。若以單一大氣層進行線性差分近似，則： $W_p \approx \frac{\bar{q} \Delta p}{\rho_w g}$ 其中 $\bar{q} = \frac{q_1 + q_2}{2}$，$\Delta p = p_1 - p_2$。

2. 氣溫垂直遞減率（Lapse Rate, $\alpha$）： 氣溫隨高度 $z$ 呈線性遞減： $T(z) = T_0 - \alpha z$ 本題 $\alpha = 6.5\,^\circ\mathrm{C/km} = 0.0065\ \mathrm{K/m}$。

3. 流體靜力平衡方程式與大氣壓垂直分布： 結合靜力平衡方程式 $\frac{dp}{dz} = -\rho_a g$ 與理想氣體方程式 $p = \rho_a R_d T$（乾空氣氣體常數 $R_d = 287\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$），積分可得大氣壓隨高度之變化式： $p = p_0 \left( \frac{T_0 - \alpha z}{T_0} \right)^{\frac{g}{\alpha R_d}}$ 其中指數項： $\frac{g}{\alpha R_d} = \frac{9.81}{0.0065 \times 287} \approx 5.26$

4. 飽和水氣壓（$e_s$）與比濕（$q$）： 水文學普遍採用 Tetens 經驗公式推估飽和水氣壓： $e_s(T) = 0.611 \exp\left( \frac{17.27 T}{T + 237.3} \right)\quad (\text{單位：}\mathrm{kPa}，T\text{ 為攝氏溫度 }^\circ\mathrm{C})$ 飽和大氣柱中相對濕度為 $100\%$（水氣壓 $e = e_s$），其比濕可表示為： $q \approx 0.622 \frac{e_s}{p}$

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解題方法

將 $2\ \mathrm{km}$ 高的大氣柱視為單一層（地表 $z_0 = 0\ \mathrm{km}$ 至頂部 $z = 2\ \mathrm{km}$），分別計算兩時刻之頂部氣溫、頂部氣壓、各界面之飽和水氣壓及比濕，進而求得平均比濕 $\bar{q}$ 與氣壓差 $\Delta p$，計算可降水量。

一、時刻一：地面溫度 $T_0 = 25\,^\circ\mathrm{C}$

1. 界面溫度與氣壓：

• 地面（$z = 0\ \mathrm{km}$）：
• 絕對溫度：$T_0 = 25 + 273.15 = 298.15\ \mathrm{K}$
• 地面氣壓：$p_0 = 101.3\ \mathrm{kPa}$
• 頂部（$z = 2\ \mathrm{km}$）：
• 攝氏溫度：$T_2 = 25 - 6.5 \times 2 = 12\,^\circ\mathrm{C}$
• 絕對溫度：$T_2 = 12 + 273.15 = 285.15\ \mathrm{K}$
• 頂部氣壓： $p_2 = p_0 \left( \frac{T_2}{T_0} \right)^{5.26} = 101.3 \times \left( \frac{285.15}{298.15} \right)^{5.26} = 101.3 \times (0.9564)^{5.26} \approx 80.18\ \mathrm{kPa}$

2. 界面飽和水氣壓與比濕：

• 地面飽和水氣壓： $e_{s0} = 0.611 \exp\left( \frac{17.27 \times 25}{25 + 237.3} \right) \approx 3.169\ \mathrm{kPa}$
• 地面比濕： $q_0 = 0.622 \times \frac{e_{s0}}{p_0} = 0.622 \times \frac{3.169}{101.3} \approx 0.01946\ \mathrm{kg/kg}$
• 頂部飽和水氣壓： $e_{s2} = 0.611 \exp\left( \frac{17.27 \times 12}{12 + 237.3} \right) \approx 1.403\ \mathrm{kPa}$
• 頂部比濕： $q_2 = 0.622 \times \frac{e_{s2}}{p_2} = 0.622 \times \frac{1.403}{80.18} \approx 0.01088\ \mathrm{kg/kg}$

3. 計算可降水量：

• 平均比濕： $\bar{q} = \frac{q_0 + q_2}{2} = \frac{0.01946 + 0.01088}{2} = 0.01517\ \mathrm{kg/kg}$
• 氣壓差： $\Delta p = p_0 - p_2 = 101.3 - 80.18 = 21.12\ \mathrm{kPa} = 21120\ \mathrm{Pa}$
• 可降水量水深：

核心觀念

本題主要測驗水文學兩大核心主題：水文統計頻率分析與集水區降雨逕流估算。

1. 極端值第一型（Extreme Value Type I, Gumbel 分布）頻率分析： 依 Chow（周文德）水文頻率分析通式： $X_T = \bar{X} + K_T \cdot S_X$ 其中 $X_T$ 為重現期 $T$ 年之水文量（本題為洪峰流量 $Q_T$），$\bar{X}$ 為樣本平均值，$S_X$ 為樣本標準差，$K_T$ 為對應重現期 $T$ 年之頻率因子（Frequency factor）。本題已直接給定理論頻率因子公式： $K_T = -\frac{\sqrt{6}}{\pi}\left[0.5772+\ln\left(\ln\frac{T}{T-1}\right)\right]$ 已知兩個不同重現期的流量（$Q_2$ 與 $Q_{50}$），可聯立求出分布參數（$\bar{Q}$ 與 $S_Q$），進而推求任意重現期之設計洪峰流量。

2. 合理化公式（Rational Formula）與降雨延時關係： 合理化公式通用於小型集水區之洪峰流量估算： $Q_p = \frac{1}{3.6} C \cdot I \cdot A$ 式中，$Q_p$ 為洪峰流量（$\mathrm{cms}$ 或 $\mathrm{m^3/s}$）；$C$ 為無因次逕流係數；$I$ 為降雨強度（$\mathrm{mm/hr}$）；$A$ 為集水區面積（$\mathrm{km^2}$）。

• 當降雨延時 $D$ 大於集流時間 $t_c$（$D > t_c$）時，集水區達到全面出流（平衡狀態），此時降雨強度以延時 $D$ 之均勻強度計算，產生的歷線為梯形歷線，其洪峰流量即達到該降雨強度下之全面逕流上限。

3. 有效降雨（Effective Rainfall）與逕流係數之學理關聯： 學理上，有效降雨深 $R_e$（或超額降雨）定義為扣除所有入滲與截留等損失後、直接轉化為地表逕流之雨量深度。命題中同時給出「逕流係數 $C=0.4$」與「$10\ \mathrm{cm}$ 有效降雨」，涉及考場上常見之命題用詞認定（將 $10\ \mathrm{cm}$ 視為總降雨並配合 $C$ 計算，或嚴格按字面有效降雨計算）。

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解題方法

(一) 求重現期 $100$ 年之洪峰流量 $Q_{100}$

步驟 1：計算各重現期對應之頻率因子 $K_T$ 將常數 $\frac{\sqrt{6}}{\pi} \approx \frac{2.44949}{3.14159} \approx 0.77970$ 代入題目給定之公式：

1. 當 $T = 2\ \text{年}$： $\frac{T}{T-1} = \frac{2}{1} = 2$ $\ln 2 \approx 0.69315 \implies \ln(\ln 2) = \ln(0.69315) \approx -0.36651$ $K_2 = -0.77970 \times [0.5772 + (-0.36651)] = -0.77970 \times 0.21069 \approx -0.1643$

2. 當 $T = 50\ \text{年}$： $\frac{T}{T-1} = \frac{50}{49} \approx 1.02041$ $\ln\left(\frac{50}{49}\right) \approx 0.02020 \implies \ln\left[\ln\left(\frac{50}{49}\right)\right] = \ln(0.02020) \approx -3.90194$ $K_{50} = -0.77970 \times [0.5772 - 3.90194] = -0.77970 \times (-3.32474) \approx +2.5923$

3. 當 $T = 100\ \text{年}$： $\frac{T}{T-1} = \frac{100}{99} \approx 1.01010$ $\ln\left(\frac{100}{99}\right) \approx 0.01005 \implies \ln\left[\ln\left(\frac{100}{99}\right)\right] = \ln(0.01005) \approx -4.60015$ $K_{100} = -0.77970 \times [0.5772 - 4.60015] = -0.77970 \times (-4.02295) \approx +3.1367$

步驟 2：聯立求樣本統計參數（平均值 $\bar{Q}$ 與標準差 $S_Q$） 已知： $Q_2 = \bar{Q} + K_2 \cdot S_Q \implies \bar{Q} - 0.1643 \cdot S_Q = 10 \quad \text{--- (式 1)}$ $Q_{50} = \bar{Q} + K_{50} \cdot S_Q \implies \bar{Q} + 2.5923 \cdot S_Q = 40 \quad \text{--- (式 2)}$

將 (式 2) 減去 (式 1)： $(2.5923 - (-0.1643)) \cdot S_Q = 40 - 10$ $2.7566 \cdot S_Q = 30 \implies S_Q = \frac{30}{2.7566} \approx 10.883\ \mathrm{cms}$

代回 (式 1) 求 $\bar{Q}$： $\bar{Q} = 10 + 0.1643 \times 10.883 \approx 10 + 1.788 = 11.788\ \mathrm{cms}$

步驟 3：計算 $100$ 年重現期洪峰流量 $Q_{100}$ $Q_{100} = \bar{Q} + K_{100} \cdot S_Q = 11.788 + 3.1367 \times 10.883 = 11.788 + 34.137 = 45.925\ \mathrm{cms} \approx 45.93\ \mathrm{cms}$

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(二) 洪峰流量、重現期與防洪保護標準檢驗

集水區基本參數彙整：

• 集水區面積 $A = 500\ \text{ha} = 5.0\ \mathrm{km^2}$。
• 集流時間 $t_c = 40\ \text{min}$，降雨延時 $D = 100\ \text{min}$。因 $D > t_c$，降雨歷時足以涵蓋全集水區匯流時間，達平衡流量狀態。
• 暴雨雨量強度：$10\ \mathrm{cm} = 100\ \mathrm{mm}$，降雨歷時 $D = 100\ \text{min} = \frac{100}{60}\ \text{hr}$。 平均雨量強度 $I = \frac{100\ \mathrm{mm}}{\frac{100}{60}\ \mathrm{hr}} = 60\ \mathrm{mm/hr}$。

針對題目中「逕流係數 $0.4$」與「$10\ \mathrm{cm}$ 有效降雨」並存之條件，分別按「命題原意」與「嚴格字面學理」進行計算：

解法一：依命題考量逕流係數之合理化公式解（最符合國考出題原意）

命題者提供逕流係數 $C = 0.4$，意指將此場 $10\ \mathrm{cm}$ 視為總降雨量，或採合理化公式將雨量強度折減逕流係數： $Q_p = \frac{1}{3.6} C \cdot I \cdot A = \frac{1}{3.6} \times 0.4 \times 60 \times 5.0 = 33.33\ \mathrm{cms}$

1. 反求重現期 $T$： 依頻率分析通式： $Q_p = \bar{Q} + K_T \cdot S_Q \implies 33.33 = 11.788 + K_T \times 10.883$

核心觀念

本題為典型的蓄水池／生態池水量平衡與水文分析題，涵蓋兩大核心主題：

1. 枯旱期蓄水量損耗（入滲與蒸發之水平衡）：

• 霍頓入滲公式（Horton's Infiltration Equation）： $f(t) = f_c + (f_0 - f_c) e^{-kt}$ 累積入滲深公式為： $F(t) = \int_0^t f(\tau) d\tau = f_c t + \frac{f_0 - f_c}{k}\left(1 - e^{-kt}\right)$ 其中 $f_0$ 為初始入滲率，$f_c$ 為最終入滲率，$k$ 為衰減係數。在長時間（以天為單位）尺度下，$e^{-kt} \to 0$，入滲率迅速衰減至常數 $f_c$。
• 池體水量平衡：無降雨補給時，池水水位的降低量取決於「底層入滲」與「水面蒸發」的總水深損耗率。

2. 暴雨期水庫／蓄水池蓄洪演算（Reservoir Flood Routing / Water Balance）：

• 連續方程式（儲水方程式）： $\frac{dS}{dt} = I(t) - O(t)$ 以離散時段 $\Delta t$ 表示： $\Delta S = V_{\text{in}} - V_{\text{out}} = \sum \bar{I} \Delta t - \sum \bar{O} \Delta t$
• 滿管／最大排水容量限制：當入流量大於最大排洪能力時，多餘水量蓄存在池內；若蓄水量超過最大蓄水容量 $V_{\max}$，即發生「蓄滿溢出」。

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解題方法

第一小題：由蓄滿水至最低生態水量所需天數

1. 基本參數整理：

• 滿水容量 $V_{\max} = 4000\ \mathrm{m^3}$，滿水深 $h_{\max} = 2\ \mathrm{m}$。
• 最低生態水量 $V_{\min} = 1000\ \mathrm{m^3}$，水深 $h_{\min} \approx 1\ \mathrm{m}$。
• 需消耗之水深降深： $\Delta h = h_{\max} - h_{\min} = 2\ \mathrm{m} - 1\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{m} = 1000\ \mathrm{mm}$
• 初始入滲率 $f_0 = 6.6\ \mathrm{mm/hr}$，最終入滲率 $f_c = 1.5\ \mathrm{mm/hr}$。
• 衰減係數 $k = 1.4 \sim 5.0\ /\mathrm{hr}$。
• 池面蒸發量 $E = 5\ \mathrm{mm/day}$。

2. 霍頓入滲動態分析：

• 衰減係數 $k \ge 1.4\ /\mathrm{hr}$，經過數小時後（例如 5 小時，$kt \ge 7$），$e^{-kt} \approx 0$，入滲率即降至最終入滲率 $f_c = 1.5\ \mathrm{mm/hr}$。
• 初始入滲超出最終入滲的額外滲漏水深為： $\Delta F_{\text{extra}} = \frac{f_0 - f_c}{k} = \frac{6.6 - 1.5}{k} = \frac{5.1}{k}\ \mathrm{mm}$
• 當 $k = 1.4\ /\mathrm{hr}$ 時，$\Delta F_{\text{extra}} \approx 3.64\ \mathrm{mm}$。
• 當 $k = 5.0\ /\mathrm{hr}$ 時，$\Delta F_{\text{extra}} \approx 1.02\ \mathrm{mm}$。
• 相對於總降深 $1000\ \mathrm{mm}$，此暫態入滲量僅佔約 $0.1\% \sim 0.36\%$，故在長達數十天的枯水過程中，入滲主要以最終入滲率 $f_c$ 持續進行。

3. 日總水深損耗率計算：

• 日入滲水深： $F_{\text{day}} = f_c \times 24\ \mathrm{hr/day} = 1.5\ \mathrm{mm/hr} \times 24\ \mathrm{hr/day} = 36\ \mathrm{mm/day}$
• 日蒸發水深： $E = 5\ \mathrm{mm/day}$
• 每日總水深損失率： $D = F_{\text{day}} + E = 36 + 5 = 41\ \mathrm{mm/day} = 0.041\ \mathrm{m/day}$

4. 所需時間推算：

• 扣除初期短暫額外入滲後的歷時為： $t = \frac{\Delta h - \Delta F_{\text{extra}}}{D}$
• 取 $k = 1.4\ /\mathrm{hr}$：$t = \frac{1000 - 3.64}{41} = \frac{996.36}{41} \approx 24.30\ \text{天}$。
• 取 $k = 5.0\ /\mathrm{hr}$：$t = \frac{1000 - 1.02}{41} = \frac{998.98}{41} \approx 24.37\ \text{天}$。
• 若直接以穩定日損耗率估算：$t = \frac{1000}{41} \approx 24.39\ \text{天}$。
• 水量平衡法印證： 需釋出水量 $\Delta V = 4000 - 1000 = 3000\ \mathrm{m^3}$。 等效平均水面積 $\bar{A} = \frac{\Delta V}{\Delta h} = \frac{3000\ \mathrm{m^3}}{1\ \mathrm{m}} = 3000\ \mathrm{m^2}$。 每日損失水量 $\Delta V_{\text{day}} = \bar{A} \times D = 3000\ \mathrm{m^2} \times 0.041\ \mathrm{m/day} = 123\ \mathrm{m^3/day}$。 $t = \frac{3000\ \mathrm{m^3}}{123\ \mathrm{m^3/day}} \approx 24.39\ \text{天}$
• 由此可得，生態池由蓄滿水降至最低生態水量約需 24.4 天（約 24～25 天）。

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第二小題：暴雨入流下生態池是否蓄滿溢出

1. 起始蓄水條件釐清：

• 題載「很長一段時間未下雨」，表明池水已在旱期降至維持的底限，即初始蓄水量為最低生態水量： $V_0 = 1000\ \mathrm{m^3}$
• 生態池尚可容納之蓄水空間（至滿水溢流）：