109 高普考高考三級 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查梯形渠道的幾何量、均勻流與臨界流計算，以及比能曲線上的交替水深。

梯形渠道渠底寬 $B=2.0\ \mathrm{m}$、邊坡比 $m=1.0$（水平：垂直），水深為 $y$ 時：

其中 $A$ 為通水面積、$T$ 為水面寬、$P$ 為濕周。水力深度與水力半徑分別為：

福祿數、比能及曼寧均勻流公式為：

臨界水深滿足 $Fr=1$，也可寫成：

解題方法與計算

1. 臨界水深 $y_c$

將 $B=2$、$m=1$ 代入幾何公式：

代入臨界流條件：

解得：

2. 正常水深 $y_0$

均勻流時，能量坡度取渠床坡度 $S_0$。以曼寧公式求正常水深：

即

其中

數值解得：

3. 斷面水理量與流況參數

以 $y_0=1.470\ \mathrm{m}$ 計算：

因此：

平均流速為：

核心觀念

本題考查 Buckingham 無因次 $\pi$ 定理。先列出流量與各參數的基本因次，再選取重複變數組成無因次群。單位寬度流量的因次為 $L^2T^{-1}$；動力黏滯係數與表面張力係數的因次分別為 $ML^{-1}T^{-1}$、$MT^{-2}$。

題目共有 $7$ 個變數（$q,g,P,H,\mu,\rho,\sigma$），基本因次為 $M,L,T$，因此可組成 $7-3=4$ 個獨立無因次群。

解題方法

選 $\rho$、$g$、$H$ 作為重複變數。其因次為

依序組成無因次群：

1. 設 $\Pi_q=q\rho^a g^bH^c$。令各基本因次指數為零，可得 $a=0$、$b=-\frac12$、$c=-\frac32$，所以 $\Pi_q=\frac{q}{\sqrt{gH^3}}.$

2. 堰高與堰上水頭皆為長度，因此 $\Pi_P=\frac{P}{H}.$

3. 對黏滯係數組成無因次群： $\Pi_\mu=\frac{\mu}{\rho\sqrt{gH^3}}.$ 其倒數為以 $H$ 為特徵長度、以 $\sqrt{gH}$ 為特徵速度的雷諾數： $Re_H=\frac{\rho\sqrt{gH^3}}{\mu}.$

核心觀念

本題考閘孔出流的連續方程式與能量方程式。矩形渠道的單位寬度流量為水深乘流速：

$q=yV$

圖 3 中，$H_0$ 是上游水深，$H_1$ 是由渠底量至能量線的上游總水頭。閘孔收縮斷面的水深為 $y_2=C_c a$，且題目給定閘孔能量損失為 $\alpha H_1$。

解題方法

以閘孔出流收縮處為下游斷面。由能量方程式，上游總水頭扣除損失後，等於收縮處的水深水頭與速度水頭之和：

$H_1-\alpha H_1=y_2+\frac{V_2^2}{2g}$

整理得：

$V_2=\sqrt{2g\left[(1-\alpha)H_1-y_2\right]}$

由連續方程式：

$q=y_2V_2$

又因 $y_2=C_c a$，故閘孔單位寬度流量與參數的關係為：

$\boxed{q=C_c a\sqrt{2g\left[(1-\alpha)H_1-C_c a\right]}}$

此式適用於根號內為正的情況。

數值計算

先求閘孔出流後的最低水深：

$y_2=C_c a=0.6(0.2)=0.12\ \mathrm{m}$

代入流速公式：

核心觀念

閘門突然關閉後，下游水體速度降為零，水深由 $y_1$ 增至 $y_2$，形成向上游移動的正湧浪。以湧浪移動座標系寫水流連續方程式與動量方程式，可求湧浪高度及移動速度。

渠道單位寬度流量為

閘門關閉前的平均流速為

設湧浪高度 $\Delta y=y_2-y_1$，向上游移動速度的大小為 $V_w$。

解題方法

在湧浪移動座標系中，關閉前的水流相對速度為 $V_1+V_w$；湧浪後方的水體在地面座標系中靜止，因此相對速度為 $V_w$。連續方程式給出

整理後為

因此

再以湧浪移動座標系套用矩形渠道的一維動量方程式。兩側比力相等：

令相對湧浪的單位寬度流量為 $q_r=y_1(V_1+V_w)=y_2V_w$，整理動量式可得