112 高普考高考三級 水利工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查垂直平面閘門的靜水壓力、壓力中心及力矩平衡。

閘門欲保持關閉，鋼索張力對底部鉸鏈所產生的反力矩，須平衡水壓對鉸鏈產生的開啟力矩。採理想鋼索與滑輪，混凝土塊重量即為鋼索張力。

解題方法

水深為 $h=2\ \mathrm{m}$，閘門寬度為 $b=1\ \mathrm{m}$。水的比重量取

水壓呈三角形分布，因此閘門所受總水壓為

代入得

三角形水壓分布的合力作用於水面下 $h/3$，亦即距底部鉸鏈

故水壓對底部鉸鏈的開啟力矩為

設混凝土塊重量為 $W$，鋼索張力為 $T$。由理想滑輪及靜力平衡，

題幹給定閘門高度為 $H=3\ \mathrm{m}$，鋼索作用於閘門上端，因此取底部鉸鏈力矩：

混凝土塊的體積為 $V$，其重量為

其中混凝土比重量

因此

核心觀念

本題考查旋轉流體的壓力分布，以及封閉端空氣受壓縮時的氣體定律。

旋轉中的靜止流體滿足

積分得兩點間壓力關係：

其中 $\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$。

溢出瞬間的液面位置

初始時，左右兩側水面高度皆為 $3\ell$，封閉端空氣高度也是 $3\ell$；右側開口端高度為 $6\ell$。

水開始由右側溢出時，右側水面升至 $6\ell$。由於兩側管徑相同，水量守恆表示：

• 右側液面上升 $3\ell$
• 左側水面下降 $3\ell$

因此左側水面降至底部，即 $z=0$。

封閉端空氣的長度由原來的 $3\ell$ 變為 $6\ell$。假設溫度不變，使用波以耳定律：

由於管截面積相同，體積比等於長度比：

壓力方程式

取左側水面與封閉空氣接觸處為點 $1$，右側溢出口水面為點 $2$。

其位置為：

核心觀念

本題考查兩個無因次數：雷諾數用來比較流體的慣性力與黏滯力；福祿數用來比較慣性力與重力。兩者皆可用來判斷流動型態，並應用於模型與原型的相似分析。

解題方法

設流體密度為 $\rho$、特徵速度為 $V$、特徵長度為 $L$、動力黏滯係數為 $\mu$、運動黏滯係數為 $\nu=\mu/\rho$，重力加速度為 $g$。

1. 雷諾數（Reynolds number）

流動的慣性力尺度約為 $\rho V^2L^2$，黏滯力尺度約為 $\mu VL$。兩者相除，得

雷諾數表示慣性力相對於黏滯力的大小。雷諾數較小時，黏滯效應較顯著；雷諾數較大時，慣性效應較顯著，流動較容易出現不穩定或紊流特徵。流態轉換的臨界值須依流道幾何、入口條件及流動情形判定；圓管內流常用的轉捩範圍約為 $\mathrm{Re}=2300$ 附近，但不是所有流場都適用同一臨界值。

2. 福祿數（Froude number）

慣性力與重力效應的比值可寫為

亦可用平方形式表示：

核心觀念

本題考查：

1. 伯努力方程式求管口射流速度。
2. 自由射流拋體運動，求射流撞擊車內水面時的速度分量。
3. 線性動量方程式，求水流對車子的水平推力與垂直作用力。
4. 牛頓第二定律，求車子的水平加速度。

假設水槽及車內水面皆為大氣壓，忽略能量損失、空氣阻力及車輪摩擦；射流進入車內後最終相對車子停止。

解題方法

一、管口流速與流量

由巨大水槽自由液面至管口，以伯努力方程式：

代入 $H_T=5\ \mathrm{m}$：

管徑為 $d=0.1\ \mathrm{m}$，管口截面積：

流量為：

水的質量流率：

二、射流撞擊車內水面時的速度分量

管口射流初速度為水平，因此忽略空氣阻力時：

• 水平速度不變：

• 射流由管口下降 $H=10\ \mathrm{m}$，其垂直速度為：

其中 $V_y$ 取向下為正值。

三、車子受到的水平推力

水流進入車內後，水的水平速度相對車子降為零，因此水流將水平動量傳給車子。

由動量方程式：

車子質量為 $500\ \mathrm{kg}$，故水平加速度：

核心觀念

本題考查管內流動的雷諾數、非圓管水力直徑，以及達西－魏斯巴赫公式。正方形管的水力直徑為 $D_h=4A/P$；以此判斷流況並查得摩擦因子，再計算沿程能量損失。

解題方法

正方形管邊長 $a=0.15\ \mathrm{m}$，截面積與濕周分別為

因此水力直徑為

平均流速為

以運動黏滯係數 $\nu=6\times10^{-4}\ \mathrm{m^2/s}$ 計算雷諾數：