112 高普考高考三級 土木工程 工程力學（包括材料力學） 考古題詳解

112 年・高普考・高考三級・土木工程
試題代碼 工程力學（包括材料力學）

第 一 題25 分

圖一之結構，彈力常數為 k=2000 N/mk=2000\ \mathrm{N/m} 之彈簧連接在 BB 點，且當 θ=90∘\theta=90^\circ 時，彈簧不伸長也不縮短。力矩 M=8 N⋅mM=8\ \mathrm{N\cdot m} 作用於 AA 點，力量 FF 作用於 CC 點。

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求當 θ=60∘\theta=60^\circ 時，欲使結構達平衡時所須之力量 FF。（25 分）

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核心觀念

本題考查剛體平衡、彈簧胡克定律，以及力矩平衡：

  • 彈簧力：Fs=kδF_s=k\delta
  • 剛體平衡： ∑Fx=0,∑Fy=0,∑MA=0\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M_A=0
  • 取力矩時，力矩大小為： MF=F d⊥M_F=F\,d_\perp

由圖可知，AB=75 mmAB=75\ \mathrm{mm}、BC=125 mmBC=125\ \mathrm{mm}，且 AB⊥BCAB\perp BC。點 CC 受垂直導軌限制，導軌反力為水平方向。

解題方法

取 AA 為原點，水平方向向右為正，逆時針力矩為正。

1. 求彈簧變形量與彈簧力

當 θ=90∘\theta=90^\circ 時，彈簧不伸長也不縮短。

當 θ=60∘\theta=60^\circ 時，點 BB 相對於基準位置向左移動：

δ=ABcos⁡60∘=75cos⁡60∘=37.5 mm=0.0375 m\delta=AB\cos60^\circ =75\cos60^\circ =37.5\ \mathrm{mm} =0.0375\ \mathrm{m}

因此彈簧受到壓縮，對點 BB 產生向右的彈簧力：

Fs=kδ=(2000)(0.0375)=75 NF_s=k\delta =(2000)(0.0375) =75\ \mathrm{N}

2. 求點 CC 到 AA 的水平距離

由幾何關係，點 CC 的水平座標為：

xC=BCsin⁡θ−ABcos⁡θx_C=BC\sin\theta-AB\cos\theta

代入 θ=60∘\theta=60^\circ：

xC=125sin⁡60∘−75cos⁡60∘x_C =125\sin60^\circ-75\cos60^\circ xC=125(0.8660)−75(0.5)=70.753 mm=0.070753 mx_C =125(0.8660)-75(0.5) =70.753\ \mathrm{mm} =0.070753\ \mathrm{m}

另外，CC 與 BB 的垂直距離為：

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第 二 題25 分

圖二（a）之結構，水平桿件 ABAB 為矩形截面（寬 b=40 mmb=40\ \mathrm{mm}，高 h=100 mmh=100\ \mathrm{mm}），長 L=4 mL=4\ \mathrm{m}，桿件 ABAB 為剛體。

傾斜 CDCD 桿是由兩根矩形截面桿（寬 5b/85b/8，高 hh）組成，傾斜 CDCD 桿之楊氏模數 E=20 GPaE=20\ \mathrm{GPa}。ABAB 桿與 CDCD 桿在 CC 點用直徑 d=20 mmd=20\ \mathrm{mm} 之鉚釘固定，如圖二（b）所示。

若鉚釘之允許剪應力 τallow=100 MPa\tau_{\mathrm{allow}}=100\ \mathrm{MPa}，則載重 PP 之允許值 Pallow=?P_{\mathrm{allow}}=? 又，在允許載重 PallowP_{\mathrm{allow}} 下，BB 點垂直位移 δB=?\delta_B=?。（25 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 剛體桿件 ABAB 的靜力平衡。
  2. 傾斜桿 CDCD 的軸力與鉚釘剪力。
  3. 鉚釘雙剪破壞。
  4. 軸向變形與剛體桿件的位移幾何關係。

由圖形幾何：

AC=2 m,AB=4 m,CD=22+1.52=2.5 mAC=2\ \text{m},\qquad AB=4\ \text{m},\qquad CD=\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5\ \text{m}

因此傾斜桿 CDCD 的方向餘弦為

cos⁡α=22.5=0.8,sin⁡α=1.52.5=0.6\cos\alpha=\frac{2}{2.5}=0.8,\qquad \sin\alpha=\frac{1.5}{2.5}=0.6

一、求傾斜桿 CDCD 的軸力

設桿件 CDCD 的軸力為 NN。由於 PP 向下作用於 BB 點，桿件 CDCD 受壓，對 CC 點提供向上的分力。

對剛體 ABAB 取 AA 點力矩：

(0.6N)(2)−P(4)=0(0.6N)(2)-P(4)=0

所以

1.2N=4P1.2N=4P N=103PN=\frac{10}{3}P

二、由鉚釘雙剪求允許載重

圖二（b）顯示鉚釘夾在中間的 ABAB 桿與兩側的 CDCD 桿之間，因此鉚釘為雙剪。

鉚釘總許可剪力為

Vallow=2(πd24)τallowV_{\text{allow}} =2\left(\frac{\pi d^2}{4}\right)\tau_{\text{allow}}

代入

d=20 mm,τallow=100 MPa=100 N/mm2d=20\ \text{mm},\qquad \tau_{\text{allow}}=100\ \text{MPa}=100\ \text{N/mm}^2

得

Vallow=2(π(20)24)(100)V_{\text{allow}} =2\left(\frac{\pi(20)^2}{4}\right)(100) Vallow=62 831.9 N=62.83 kNV_{\text{allow}}=62\,831.9\ \text{N} =62.83\ \text{kN}

鉚釘所承受的剪力等於桿件 CDCD 的軸力，因此

Nallow=62.83 kNN_{\text{allow}}=62.83\ \text{kN}

又

N=103PN=\frac{10}{3}P

故

Pallow=310Nallow=310(62.83)P_{\text{allow}} =\frac{3}{10}N_{\text{allow}} =\frac{3}{10}(62.83) Pallow=18.85 kN\boxed{P_{\text{allow}}=18.85\ \text{kN}}

三、求 BB 點垂直位移

1. 傾斜桿 CDCD 的截面積

CDCD 由兩根矩形桿組成，每根桿的寬度為

5b8=5(40)8=25 mm\frac{5b}{8} =\frac{5(40)}{8} =25\ \text{mm}

每根桿截面積為

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第 三 題25 分

長為 LL、直徑為 dd、剪力模數為 GG 之實心圓桿 ABAB，兩端為固定端，受到分布扭矩 t(x)=t0x/Lt(x)=t_0x/L 作用，如圖三所示。

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求圓桿 ABAB 之最大剪應力 τmax⁡\tau_{\max} 及最大扭轉角 ϕmax⁡\phi_{\max}。（25 分）

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核心觀念

本題考查固定端圓桿受分布扭矩時：

  • 截面內力矩由微分平衡求得。
  • 固定端條件為兩端扭轉角皆為零。
  • 扭轉基本關係式：

dϕdx=T(x)GJ\frac{d\phi}{dx}=\frac{T(x)}{GJ}

  • 實心圓截面之極慣性矩：

J=πd432J=\frac{\pi d^4}{32}

  • 剪應力公式：

τ=TcJ,c=d2\tau=\frac{Tc}{J},\qquad c=\frac d2

令 xx 自固定端 AA 起算，分布扭矩方向取正，則

t(x)=t0xLt(x)=\frac{t_0x}{L}

解題方法

1. 求截面內力矩

設 RAR_A 為 AA 端反力矩，取左側自由體，截面 xx 處之內力矩為

T(x)=RA+∫0xt(s) dsT(x)=R_A+\int_0^x t(s)\,ds

因此

T(x)=RA+∫0xt0sL ds=RA+t0x22LT(x)=R_A+\int_0^x\frac{t_0s}{L}\,ds =R_A+\frac{t_0x^2}{2L}

由於 A、BA、B 兩端皆固定，總扭轉角變化為零：

∫0LT(x)GJ dx=0\int_0^L\frac{T(x)}{GJ}\,dx=0

因 GJGJ 為常數，可得

∫0LT(x) dx=0\int_0^L T(x)\,dx=0

代入 T(x)T(x)：

RAL+∫0Lt0x22L dx=0R_AL+\int_0^L\frac{t_0x^2}{2L}\,dx=0

RAL+t0L26=0R_AL+\frac{t_0L^2}{6}=0

故

RA=−t0L6R_A=-\frac{t_0L}{6}

所以

T(x)=t06L(3x2−L2)T(x)=\frac{t_0}{6L}\left(3x^2-L^2\right)

在兩端：

T(0)=−t0L6,T(L)=t0L3T(0)=-\frac{t_0L}{6},\qquad T(L)=\frac{t_0L}{3}

因此最大內力矩之絕對值為

∣T∣max⁡=t0L3|T|_{\max}=\frac{t_0L}{3}

2. 求最大剪應力

最大剪應力發生於截面外緣，且出現在內力矩最大處：

τmax⁡=∣T∣max⁡(d/2)J\tau_{\max} =\frac{|T|_{\max}(d/2)}{J}

代入 J=πd4/32J=\pi d^4/32：

τmax⁡=(t0L/3)(d/2)πd4/32\tau_{\max} =\frac{\left(t_0L/3\right)(d/2)}{\pi d^4/32}

因此

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第 四 題25 分

梁 ABCABC，在 CC 點為滑動支撐，如圖四所示，梁之撓曲勁度為 EIEI，熱膨脹係數為 α\alpha，梁之上下緣分別受到溫度 T1T_1 及 T2T_2（T2>T1T_2>T_1）作用。

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試求 CC 點的力矩 MCM_C，以及 CC 點的垂直（yy 向）位移 δC\delta_C。（寫出大小並標出方向）（25 分）

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核心觀念

本題考查梁的溫度彎曲與超靜定支承反力。梁上下緣溫度不同，會產生自由熱曲率

κT=α(T2−T1)h\kappa_T=\frac{\alpha(T_2-T_1)}{h}

其中 T2>T1T_2>T_1，下緣較熱，因此梁具有向上凹的正曲率。

依圖，CC 點為導向滑動支撐：可沿 yy 方向滑動，因此 δC\delta_C 未知；但限制梁端轉角，因此

θC=0\theta_C=0

取正彎矩為下凹（sagging）彎矩，並令 MCM_C 為 CC 點內力矩。

解題方法

由於 CC 點不提供垂直反力，梁的垂直外力只有 A、BA、B 兩點反力。設 AA 點反力為 RAR_A，BB 點反力為 RBR_B。

整體平衡：

RA+RB=0R_A+R_B=0 RBL+MC=0R_B L+M_C=0

因此

RA=MCL,RB=−MCLR_A=\frac{M_C}{L},\qquad R_B=-\frac{M_C}{L}

梁的彎矩分布為

M(x)=MCLx,0≤x≤LM(x)=\frac{M_C}{L}x,\qquad 0\le x\le L

以及

M(x)=MC,L≤x≤L+aM(x)=M_C,\qquad L\le x\le L+a

梁的總曲率為

v′′=M(x)EI+κTv''=\frac{M(x)}{EI}+\kappa_T

區段 ABAB 的變形

設 AA 點轉角為 θA\theta_A。在 0≤x≤L0\le x\le L：

v′′=MCLEIx+κTv''=\frac{M_C}{LEI}x+\kappa_T

積分得

θ(x)=θA+MC2LEIx2+κTx\theta(x)=\theta_A+\frac{M_C}{2LEI}x^2+\kappa_T x

因為 A、BA、B 兩點均無垂直位移，

v(0)=v(L)=0v(0)=v(L)=0

故

0=θAL+MCL26EI+κTL220=\theta_A L+\frac{M_C L^2}{6EI} +\frac{\kappa_T L^2}{2}

得到

θA=−MCL6EI−κTL2\theta_A=-\frac{M_C L}{6EI}-\frac{\kappa_T L}{2}

因此 BB 點轉角為

θB=θA+MCL2EI+κTL\theta_B =\theta_A+\frac{M_C L}{2EI}+\kappa_T L

整理得

θB=MCL3EI+κTL2\theta_B=\frac{M_C L}{3EI}+\frac{\kappa_T L}{2}

利用 CC 點轉角條件求 MCM_C

在區段 BCBC 中，彎矩為常數 MCM_C，故曲率為

v′′=MCEI+κTv''=\frac{M_C}{EI}+\kappa_T

由 BB 至 CC 長度為 aa，且 θC=0\theta_C=0：

0=θB+(MCEI+κT)a0=\theta_B+ \left(\frac{M_C}{EI}+\kappa_T\right)a

代入 θB\theta_B：

0=MCL3EI+κTL2+MCaEI+κTa0= \frac{M_C L}{3EI} +\frac{\kappa_T L}{2} +\frac{M_C a}{EI} +\kappa_T a

因此

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