109 高普考高考三級 測量製圖 航空測量學與遙感探測 考古題詳解

核心觀念

本題出自民國 109 年公務人員高等考試三級考試「航空測量學與遙感探測」試題，測驗考生對熱紅外線遙感探測（Thermal Infrared Remote Sensing）物理機制的掌握程度。核心觀念涵蓋以下四項電磁輻射基礎物理定律與名詞定義：

1. 普朗克輻射定律（Planck's Law）：任何絕對溫度大於 $0\text{ K}$（絕對零度）的物體均會向外輻射電磁波；其單位表面積、單位波長所放射的輻射通量密度（光譜發射率）為波長與絕對溫度的函數。
2. 維恩位移定律（Wien's Displacement Law）：物體輻射光譜中能量最強之峰值波長 $\lambda_{\max}$ 與絕對溫度 $T$ 成反比，即： $\lambda_{\max} \cdot T = A$ （其中維恩常數 $A \approx 2898\ \mu\text{m}\cdot\text{K}$）。
3. 斯特凡－波茲曼定律（Stefan-Boltzmann Law）：理想黑體表面在所有波長放射之總能量通量密度 $M_b$ 與絕對溫度 $T$ 的四次方成正比，即： $M_b = \sigma T^4$ （其中斯特凡－波茲曼常數 $\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W}/(\text{m}^2\cdot\text{K}^4)$）。
4. 基爾霍夫定律與輻射放射率（Emissivity, $\varepsilon$）：真實物體（灰體）之輻射能量小於同溫度下的理想黑體。其放射率定義為： $\varepsilon = \frac{M}{M_b} \quad (0 \le \varepsilon \le 1)$ 其全波長總輻射能量公式修正為： $M = \varepsilon \sigma T^4$
5. 熱輻射溫度轉換（Radiant vs. Kinetic Temperature）：熱像儀光學感測器接收的是物體的「輻射溫度」（$T_{\text{rad}}$），必須透過已知之材料表面放射率 $\varepsilon$，換算為物體的「真實表面動能溫度」（$T_K$）。

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解題方法

本題為申論問答題，應分為「電磁輻射原理說明」與「輻射能量與皮膚表面溫度關係之定量與定性推導」兩大部分循序論述：

一、紅外線熱像儀依據之電磁輻射原理

1. 熱輻射發射機制（普朗克效應）

• 一切物體只要分子具熱運動（$T > 0\text{ K}$），其內部帶電粒子熱振動便會持續產生電磁波向外傳播。
• 人體表面溫度約在 $32^\circ\text{C} \sim 37^\circ\text{C}$（絕對溫度約 $305\text{ K} \sim 310\text{ K}$），自身即為持續向外放射紅外線能量的輻射體。

2. 熱像儀運作波段選定（維恩位移定律與大氣窗口）

• 依據維恩位移定律： $\lambda_{\max} = \frac{2898\ \mu\text{m}\cdot\text{K}}{T}$
• 代入人體體溫（取 $T \approx 310\text{ K}$）： $\lambda_{\max} \approx \frac{2898}{310} \approx 9.35\ \mu\text{m}$
• 此峰值波長落於熱紅外線波段（Thermal Infrared, TIR），且剛好位於地表常溫物體觀測最佳的大氣穿透窗口——長波紅外線（LWIR, $8 \sim 14\ \mu\text{m}$）。在該波段下，大氣中的水氣與二氧化碳吸收率極低、穿透率極高，因此紅外線熱像儀感測器（如微輻射熱計 Microbolometer）能有效穿透空氣，接收人體皮膚散發的主動熱輻射。

3. 輻射能量與溫度的對應基礎（斯特凡－波茲曼定律）

• 物體發出的輻射通量與溫度具有單調遞增且高度敏感之對應關係（四次方正比），使儀器能透過量測接收端之微小電磁能量變化，靈敏反演目標的表面溫度。

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二、所偵測得輻射能量與人類身體表面溫度之關係（$\varepsilon = 0.98$）

1. 總輻射能量公式之建立

• 人體皮膚並非純黑體（$\varepsilon = 1$），而是高放射率之非黑體（灰體）。
• 依據修正之斯特凡－波茲曼定律，人體單位面積發出之總輻射出射度（Radiant Exitance, $M$）與皮膚絕對溫度（$T_K$，單位 $\text{K}$）之關係為： $M = \varepsilon \sigma T_K^4$
• 題目給定人類皮膚放射率 $\varepsilon = 0.98$，代入得： $M = 0.98 \times \sigma T_K^4 = 0.98 \times (5.67 \times 10^{-8}) \times T_K^4$

2. 由偵測輻射能量反演體表溫度（反運算）

• 紅外線熱像儀之焦平面陣列（FPA）感測單元接收人體特定立體角內之光譜輻射亮度，經光學系統聚光與光電信號校正後，求得等效總輻射能量 $M$。
• 將 $M$ 轉化為人體真實體表溫度 $T_K$ 之反演公式為： $T_K = \left( \frac{M}{\varepsilon \sigma} \right)^{\frac{1}{4}} = \left( \frac{M}{0.98 \times 5.67 \times 10^{-8}} \right)^{0.25}$
• 轉換為攝氏溫度： $t\ (^\circ\text{C}) = T_K - 273.15$

3. 輻射溫度（$T_{\text{rad}}$）與真實動能溫度（$T_K$）之數值關係

核心觀念

本題評量推掃式（Pushbroom / Linear Array）航空感測器之幾何成像特性與**數位正射糾正（Digital Ortho-rectification）**之數理原理與作業流程。

1. 推掃式影像幾何特性：

• 與傳統框幅式相機（Frame Camera）的「二維面陣列瞬時中心投影」不同，推掃式感測器採用線陣列（CCD/CMOS Linear Array）探測元件。
• 橫軌方向（Across-track / 掃描線方向）：為瞬時的一維中心透視投影（1D Perspective Projection）。
• 沿軌方向（Along-track / 飛行方向）：依賴航行載具運動隨時間推移逐線掃描成像，各條掃描線具有獨立且隨時間變化的外方位參數（Dynamic Exterior Orientation Parameters, $EOP(t)$）。

2. 正射糾正本質：

• 消除原始航攝影像因**感測器姿態傾斜（Tilt displacement）與地表地形起伏（Relief displacement）**所造成的像點位移。
• 將透視投影幾何轉換為具有一致比例尺、符合特定地圖投影坐標系統之正射投影（Orthogonal projection）平面影像。

3. 擴充型共線條件方程式（Collinearity Equations with Dynamic EOP）： $x - x_0 = -f \frac{m_{11}(t)(X - X_L(t)) + m_{12}(t)(Y - Y_L(t)) + m_{13}(t)(Z - Z_L(t))}{m_{31}(t)(X - X_L(t)) + m_{32}(t)(Y - Y_L(t)) + m_{33}(t)(Z - Z_L(t))}$ $y - y_0 = -f \frac{m_{21}(t)(X - X_L(t)) + m_{22}(t)(Y - Y_L(t)) + m_{23}(t)(Z - Z_L(t))}{m_{31}(t)(X - X_L(t)) + m_{32}(t)(Y - Y_L(t)) + m_{33}(t)(Z - Z_L(t))}$ 其中 $(x, y)$ 為像點坐標，線陣列探測器常設計固定在 $x \approx 0$（即僅單一像元列）；$t$ 為曝光時間；$(X_L(t), Y_L(t), Z_L(t))$ 與旋轉矩陣元素 $m_{ij}(t)$ 均為時間 $t$ 之連續函數。

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解題方法

一、推掃式影像正射糾正原理與簡圖說明

數位正射糾正實務上皆採用間接法（Indirect Method / 物方至像方反算內插法），以避免直接法（像方投影至物方）產生正射影像格網出現空洞（Holes）或重疊（Overlaps）之問題。

1. 原理簡圖

 感測器飛行方向 (Along-track, 隨時間 t 推進)
 ---------> 航線軌跡
 [ O(t1) ] [ O(ti) ] [ O(tk) ] <-- 透視中心隨時間變動
 | \ |
 | \ |
 | \ (像方反算)
 | \
 線陣列感測器 [===|===] \
 (Across-track, 1D中心投影) \
 \ 共線條件射線
 \
 v
 Z (高程) P(X, Y, Z) <-- 地表真實點 (含高程起伏)
 ^ /|
 | 起伏地形 (DEM曲面) / |
 | _.~"~._ / | 高程差補正
 | .-' `-. / |
 | / `--P--' |
 +-----------------------------------|-------------------->
 | (正射投影垂直對齊)
 v
 P'(X, Y, 0)
 [ 正射影像均勻格網 (Ortho Grid) ]

2. 間接法糾正步驟推導

1. 建立正射影像基準格網： 在目標地圖坐標系統下，依指定之地表取樣間距（Ground Sampling Distance, GSD）定義規則且等間距的二維正射影像空間格網點 $P'(X, Y)$。
2. 獲取物方點三維坐標： 利用內插演算法於數值高程模型（DEM）中擷取對應坐標 $(X, Y)$ 處之地表高程 $Z$，形成地面點三維物方坐標 $P(X, Y, Z)$。
3. 物方反算像方坐標（決定掃描時間 $t$ 與像元位置）： 推掃式幾何的核心難點在於「每一條線各有不同之曝光時間與外方位參數」。將 $P(X, Y, Z)$ 代入動態共線條件方程式或有理多項式模型（RPC），聯立求解其對應之曝光時刻 $t$（即確定該點成像於原始影像的哪一條掃描線 $Line$），並計算出沿感測器線陣列之對應像元列位置 $Sample$。
4. 灰階值重取樣（Resampling）：

核心觀念

本題評量多時期高解析度衛星遙測影像於地表覆蓋分類及土地覆蓋變遷偵測之完整作業流程，以及遙測影像數位分類之統計與幾何決策理論。核心觀念涵蓋：

1. 多時期光譜遙測特性：福爾摩沙衛星五號（FORMOSAT-5）多光譜感測器具備藍（Blue: $0.45\sim0.52\,\mu\text{m}$）、綠（Green: $0.52\sim0.60\,\mu\text{m}$）、紅（Red: $0.63\sim0.69\,\mu\text{m}$）與近紅外（NIR: $0.76\sim0.90\,\mu\text{m}$）四個波段，空間解析度為 $4\text{ m}$。其中紅光為葉綠素強吸收波段、近紅外光為植物葉肉海綿組織強反射波段，兩者為計算植被指數及區分植被與非植被的關鍵光譜特徵。
2. 多時期影像前處理之一致性要求：不同時期影像比對前，必須進行嚴格的幾何套疊對位（消除位移誤差，避免產生偽變遷）與輻射／大氣校正（消除日照角度、大氣散射及感測器響應差異，將數位數值 DN 轉為地表反射率）。
3. 監督式分類（Supervised Classification）機制：由使用者依先驗知識選定代表性類別之「訓練區（Training Samples / Regions of Interest, ROI）」，透過統計特徵計算建立判別函數，將影像中各未知像元指派至特定類別。
4. 分類後變遷偵測（Post-Classification Comparison, PCC）：多時期獨立分類完成並驗證精度後，以跨時期矩陣交叉比對，計算各類別（特別是植被類別）在時間軸上的消長與轉移趨勢。
5. 分類演算法（Classifiers）之數學與幾何決策基礎：利用多維光譜特徵空間中的幾何界限（門檻值）、距離度量（歐幾里得距離）或機率密度函數（多元常態分布之貝氏定理）建立分類決策邊界。

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解題方法

本題分為兩大核心部分：第一部分為「多時期福衛五號多光譜影像監督式分類與植被變遷分析程序」，第二部分為「三種常用分類法則之決策原理」。依序採系統性工程程序推導與數學決策式說明：

一、多時期福衛五號影像監督式分類及植被變遷分析程序

完整作業流程分為六個關鍵階段：

資料蒐集與篩選 ➔ 影像前處理 ➔ 光譜特徵萃取 ➔ 監督式分類 ➔ 分類精度評估 ➔ 變遷偵測與趨勢分析

1. 資料蒐集與影像篩選：

• 蒐集不同年份或季節相同時期之福衛五號多光譜影像（空間解析度 $4\text{ m}$）。
• 篩選條件以雲覆率低（一般小於 $10\%$）、物候期（Phenology）相近為原則，以降低季節性物候落差對植被判釋造成的偽變遷干擾。

2. 影像前處理（Preprocessing）：

• 正射校正與幾何精準套疊（Geometric Coregistration）：利用數值表面模型（DSM/DEM）及地面控制點（GCPs），將各時期影像校正至同一地圖坐標系統（如 TWD97），並進行跨時期影像相對對位，確保像元間套疊誤差均方根誤差（RMSE）小於 $0.5$ 像元，防止因像元錯位造成邊界偽變遷。
• 輻射校正與大氣校正（Radiometric & Atmospheric Correction）：先將感測器記錄之計數值（DN）依原廠校正係數轉為大氣頂端輻射率（TOA Radiance），再利用大氣輻射傳輸模型（如 6S、FLAASH）或暗減法（DOS）去除大氣散射與吸收影響，取得真實地表反射率（Surface Reflectance），使不同時期的光譜數值具備物理可比性。

3. 特徵萃取與植被指數計算（Feature Extraction）：

• 保留藍、綠、紅、近紅外原始四個波段反射率。
• 額外計算「正規化差異植被指數」（Normalized Difference Vegetation Index, NDVI）： $NDVI = \frac{\rho_{NIR} - \rho_{Red}}{\rho_{NIR} + \rho_{Red}}$ 利用近紅外光高反射與紅光強吸收之光譜特性強化植被信號，將 NDVI 作為附加波段納入分類特徵空間，提高植被群落之可分性。

4. 訓練區選取與特徵統計（Training Sample Selection）：

• 制定地表覆蓋分類架構（如：茂密林地、稀疏植被／農作、水體、建物／人工鋪面、裸土）。
• 於各時期影像中選取均勻、具代表性且分布均勻之訓練樣區（ROI），各類別樣區像元數應為波段特徵數的 10 至 100 倍以上。
• 檢驗訓練樣本之光譜可分離度（如計算 Jeffries-Matusita 距離或變換發散度 Transformed Divergence），若分離度不足則調整或重新選取訓練樣本。

5. 執行監督式分類（Supervised Classification Execution）：

• 選定分類演算法（如最大概似法、支援向量機或隨機森林），將各時期多光譜像元依決策規則指派至所屬地表覆蓋類別，產製各時期之地表覆蓋分類圖。

6. 分類精度評估（Accuracy Assessment）：

• 採分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）選取獨立於訓練樣區之外的驗證點，配合高解析度正射空照圖或現地調查成果作為地表真實資料（Ground Truth）。
• 建立混淆矩陣（Confusion Matrix / Error Matrix），計算生產者精度（PA）、使用者精度（UA）、整體精度（Overall Accuracy, OA）及 Kappa 係數（$\hat{\kappa}$）： $OA = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_{ii}}{N}$ $\hat{\kappa} = \frac{N \sum_{i=1}^{k} x_{ii} - \sum_{i=1}^{k} (x_{i+} x_{+i})}{N^2 - \sum_{i=1}^{k} (x_{i+} x_{+i})}$ 確保各時期分類圖整體精度達到分析標準（通常要求 $OA > 85\%$、$\hat{\kappa} > 0.8$）。

7. 變遷偵測與趨勢分析（Change Detection & Trend Analysis）：

• 採「分類後比較法」（Post-Classification Comparison, PCC），將不同時期分類成果進行空間疊加矩陣運算。
• 產製「土地覆蓋變遷轉移矩陣（Cross-Tabulation Matrix）」，量化植被面積之淨增減、維持不變、非植被轉為植被（如造林或農作復耕）及植被轉為非植被（如都市開發、森林砍伐或崩塌）之時空演變趨勢。

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二、常採用之三種分類法則（Classifiers）之決策原理

遙測影像光譜分類最常採用的三種經典分類器包括：平行六面體法、最小距離法與最大概似法。

1. 平行六面體法（Parallelepiped Classifier / Box Classifier）：

• 決策原理：屬於幾何非參數分類法則。依據各類別在各特徵波段之訓練樣本分布，計算各波段之邊界門檻值（通常為平均值加減若干倍標準差，如 $\mu_{i,k} \pm n \sigma_{i,k}$）。在多維光譜空間中，各維度邊界圍繞構成一個超平行六面體（Hyper-parallelepiped）。
• 判別規則：未知像元之光譜向量 $\mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_m]^T$，若同時落入類別 $\omega_i$ 在所有波段設定的上下界限內，即歸入該類別： $\mu_{i,k} - n \sigma_{i,k} \le x_k \le \mu_{i,k} + n \sigma_{i,k} \quad (\forall k = 1, 2, \dots, m)$
• 特性：運算速度極快；但在波段高度相關（如可見光波段間）之傾斜分布區域，立方體邊角易造成重疊（Overlap，指派不明）或落於所有長方體之外（Unclassified，未分類）的現象。

2. 最小距離法（Minimum Distance to Means Classifier）：

• 決策原理：屬於幾何統計分類法則。

核心觀念

本題為無人機（UAV）數值航空攝影測量的經典綜合計算題，結合航線規劃幾何、立體視差公式與誤差傳播定律。解題依據以下核心理論：

1. 攝影比例尺與地面取樣距離（GSD）： 地面取樣距離 $\text{GSD}$、像元大小 $d$、攝影機焦距 $f$ 與距地有效航高 $H$ 之相似三角形比例幾何關係為： $S = \frac{f}{H} = \frac{d}{\text{GSD}}$

2. 立體涵蓋與空中基線（Air Base, $B$）： 沿飛行方向（長軸 $u$ 方向）單張影像對應之地面長度為 $G_u$。若航向重疊率為 $p$（前後重疊），則相鄰兩張攝影中心之空中基線長度為： $B = G_u \times (1 - p)$

3. 立體視差公式（Parallax Equations）： 對垂直攝影立體像對，取飛行方向為坐標軸，左右共軛點之絕對視差定義為： $p_a = x_a - x'_a$ 地面點高程 $h_A$、航高 $H$、空中基線 $B$、焦距 $f$ 與絕對視差 $p_a$ 之關係為： $h_A = H - \frac{B \cdot f}{p_a}$

4. 誤差傳播定律（Law of Error Propagation）： 若函數 $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 中各觀測量彼此相互獨立，則中誤差傳播式為： $\sigma_y^2 = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)^2 \sigma_{x_i}^2$

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解題方法

（一）求 UAV 距地面有效航高 $H$ 及空中基線長度 $B$

1. 計算距地面有效航高 $H$： 已知感測器像元大小 $d = 1.45\ \mu\mathrm{m} = 1.45 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}$，地面解析力 $\text{GSD} = 5\ \mathrm{cm} = 0.05\ \mathrm{m}$，焦距 $f = 3\ \mathrm{cm} = 0.03\ \mathrm{m}$。 依相似幾何比例式： $\frac{f}{H} = \frac{d}{\text{GSD}} \implies H = f \cdot \frac{\text{GSD}}{d}$ 代入數值： $H = 0.03\ \mathrm{m} \times \frac{0.05\ \mathrm{m}}{1.45 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}} = \frac{0.0015}{1.45 \times 10^{-6}} \approx 1034.48\ \mathrm{m}$

2. 計算單張影像地面涵蓋長度 $G_u$： 飛行方向為感測器長軸方向（$u$ 軸），感測器尺寸長軸像元數為 $N_u = 3864$ 像元。 單張影像長軸方向之地面涵蓋長度為： $G_u = N_u \times \text{GSD} = 3864 \times 0.05\ \mathrm{m} = 193.2\ \mathrm{m}$

3. 計算空中基線長度 $B$： 航向重疊率 $p = 60\% = 0.60$，兩相鄰曝光點之空中基線為： $B = G_u \times (1 - p) = 193.2\ \mathrm{m} \times (1 - 0.60) = 193.2 \times 0.40 = 77.28\ \mathrm{m}$

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（二）估算地面點高程中誤差 $\sigma_{h_A}$

1. 共軛像點之絕對視差計算： 題目定義像坐標系統左上角為原點 $(u_0, v_0) = (0,0)$。若主點坐標為 $(u_c, v_c)$，則以主點為原點之相機坐標為： $x_a = (u_a - u_c) \cdot d, \quad x'_a = (u'_a - u_c) \cdot d$ 兩者相減時主點偏移量互相抵消，故像平面上的視差 $p_a$ 可直接由像元坐標差求得： $\Delta u_a = u_a - u'_a = 2500 - 1500 = 1000\ \text{像元}$ 轉換為長度單位（公尺）： $p_a = \Delta u_a \times d = 1000 \times (1.45 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}) = 1.45 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 0.00145\ \mathrm{m}$ (註：共軛像點之縱坐標 $v_a = v'_a = 1200$，上下視差為 $0$，符合垂直攝影無傾斜之條件)。

2. 建立高程方程式與偏微分： 依視差公式： $h_A = H - \frac{B \cdot f}{p_a}$ 題目僅給定航高中誤差 $\sigma_H = \pm 5\ \mathrm{m}$ 與像元對點中誤差，其餘參數（$B, f$）視為常數且各誤差間彼此獨立。 分別對 $H$ 與 $p_a$ 進行偏微分： $\frac{\partial h_A}{\partial H} = 1$