108 高普考高考三級 機械工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題主要測驗管內黏性流動（Internal Incompressible Viscous Flow）之水頭損失與能量守恆分析，涉及的核心理論與公式如下：

1. 連續方程式（Continuity Equation）： 對於不可壓縮流體之定常流動，管內斷面平均流速 $V$ 與體積流率 $Q$ 之關係為： $Q = A V = \frac{\pi}{4} D^2 V$

2. 穩流能量方程式（Energy Equation / 延伸柏努利方程式）： 取水平管入口（截面 1）與出口（截面 2）進行能量平衡分析： $\frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_L$ 式中 $\frac{P}{\rho g}$ 為壓力水頭（Pressure Head），$\frac{V^2}{2g}$ 為速度水頭，$z$ 為位置水頭，$h_L$ 為總水頭損失。

3. 達西－威斯巴哈方程式（Darcy-Weisbach Equation）： 圓管的主要摩擦水頭損失（Major Head Loss）公式為： $h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}$ 式中 $f$ 為達西摩擦因子（Darcy friction factor）、$L$ 為管長、$D$ 為管內徑、$g$ 為重力加速度。

解題方法

步驟一：統一單位並計算管內平均流速 $V$

題目已知條件：

• 管徑 $D = 15\ \mathrm{cm} = 0.15\ \mathrm{m}$
• 管長 $L = 100\ \mathrm{m}$
• 體積流率 $Q = 0.1\ \mathrm{m^3/s}$
• 摩擦因子 $f = 0.015$
• 重力加速度 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$
• 水的密度 $\rho = 1.0\ \mathrm{g/cm^3} = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$

圓管截面積 $A$ 為： $A = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (0.15)^2 \approx 0.017671\ \mathrm{m^2}$

管內平均流速 $V$ 為： $V = \frac{Q}{A} = \frac{0.1}{\frac{\pi}{4} (0.15)^2} = \frac{0.4}{0.0225\pi} = \frac{160}{9\pi} \approx 5.6588\ \mathrm{m/s}$

速度水頭 $\frac{V^2}{2g}$ 為： $\frac{V^2}{2g} = \frac{(5.6588)^2}{2 \times 9.81} = \frac{32.0225}{19.62} \approx 1.6321\ \mathrm{m}$

步驟二：建立能量方程式求取壓力水頭差

取流段上游截面 1 與下游截面 2 建立能量方程式： $\frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_f$

核心觀念

本題考查壓縮性流體（Compressible Fluid）之質量守恆定律，即微觀形式的連續方程式（Continuity Equation）：

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\vec{V}) = 0$

其中：

• $\rho$ 為流體密度。
• $\vec{V} = u\vec{i} + v\vec{j} + w\vec{k}$ 為流場速度向量。
• $\rho\vec{V}$ 為質量通量向量（Mass flux vector）。
• $\nabla \cdot (\rho\vec{V})$ 為質量通量向量之散度（Divergence），在直角座標系下展開為：

$\nabla \cdot (\rho\vec{V}) = \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z}$

• $\frac{\partial \rho}{\partial t}$ 為固定空間點上密度隨時間變化的局部變化率（Local rate of change）。

解題方法

題目給定質量通量向量場為：

$\rho\vec{V} = (3x^2y\vec{i} - 2xy^3\vec{j})e^{-2t}$

可將其分解為直角座標的各分量：

• $x$ 方向分量：$\rho u = 3x^2y e^{-2t}$
• $y$ 方向分量：$\rho v = -2xy^3 e^{-2t}$
• $z$ 方向分量：$\rho w = 0$（二維流動）

步驟一：由連續方程式表示所求偏導數

根據連續方程式：

$\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot (\rho\vec{V}) = -\left[ \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} \right]$

步驟二：分別對空間座標進行偏微分

1. 對 $x$ 偏微分： $\frac{\partial (\rho u)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left( 3x^2y e^{-2t} \right) = 6xy e^{-2t}$

核心觀念

本題考查噴嘴流量與出口速度的關係，以及旋轉噴水器的角動量平衡。穩定旋轉且忽略摩擦時，旋轉臂所受外力矩為零，因此兩股水流的淨角動量流率也為零。計算角動量時要使用水流的絕對速度，也就是旋轉臂速度與水流相對噴嘴速度合成後的速度。

解題方法

圖中兩個噴嘴分別位於旋轉軸兩側，距離為 $r_L=0.15\ \mathrm{m}$、$r_R=0.20\ \mathrm{m}$；每個噴嘴直徑為 $D=0.0125\ \mathrm{m}$，每分鐘噴出 $0.018\ \mathrm{m^3}$ 的水。

（一）噴嘴口相對於旋轉臂的出水速度

每個噴嘴的體積流率為

噴嘴截面積為

因此，相對於旋轉臂的出水速度為

（二）穩定旋轉時的角速度

核心觀念

本題評量流體運動學（Fluid Kinematics）中描述流場流動特徵之三種基本幾何線：流線（Streamline）、跡線（Pathline） 與 煙線（Streakline） 之數學定義與求解能力。

1. 非定常流場判定： 流場速度為 $u = \frac{1}{1+t}$、$v = 1$，因 $\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{1}{(1+t)^2} \neq 0$，流場為非定常流（Unsteady Flow）。在非定常流場中，流線、跡線與煙線三者互不重合。
2. 流線（Streamline）： 在某一特定瞬間，各點切線方向均與該點流體質點之速度向量方向重合的曲線（尤拉觀點，時間 $t$ 視為常數）。二維流線微分方程式為： $\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v}$
3. 跡線（Pathline）： 某特定流體質點隨時間演進在空間中運動所描繪出的軌跡（拉格朗日觀點，時間 $t$ 為積分變數）。其運動方程式為： $\frac{dx}{dt} = u, \qquad \frac{dy}{dt} = v$
4. 煙線（Streakline）： 在不同時刻先後通過空間中某一固定點的所有質點，於某一觀察時刻 $t$ 連接而成的曲線。

解題方法

（一）求 $t=1$ 時通過點 $(1,1)$ 之流線方程式

1. 代入流線微分方程式： $\frac{dx}{dy} = \frac{u}{v} = \frac{\frac{1}{1+t}}{1} = \frac{1}{1+t}$
2. 固定觀察時刻 $t=1$： 流線為瞬時特徵，將 $t=1$ 代入速度比值： $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$
3. 分離變數並積分： $dx = \frac{1}{2}\,dy \implies x = \frac{1}{2}y + C_1$
4. 代入通過點條件 $(x, y) = (1, 1)$： $1 = \frac{1}{2}(1) + C_1 \implies C_1 = \frac{1}{2}$ 整理得流線方程式： $y = 2x - 1 \quad (\text{或 } 2x - y = 1)$

（二）求 $t=1$ 時通過點 $(1,1)$ 之跡線方程式（含煙線對照）

原題提及「跡線（或稱煙線）」，因本題屬非定常流，學理上跡線（Pathline）與煙線（Streakline）並不相同。國考評分主軸以「跡線（Pathline）」為核心，文末並附上「煙線（Streakline）」以求周全。

1. 跡線（Pathline）推導（主解）：

質點之軌跡由運動微分方程描述： $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{1+t}$ $\frac{dy}{dt} = 1$

對時間 $t$ 進行不定積分： $x(t) = \int \frac{1}{1+t}\,dt = \ln(1+t) + c_1$ $y(t) = \int 1\,dt = t + c_2$

已知質點在 $t=1$ 時位於 $(x, y) = (1, 1)$： $x(1) = \ln(1+1) + c_1 = 1 \implies c_1 = 1 - \ln 2$

核心觀念

本題考查普朗特（Prandtl）平板邊界層理論中兩個最重要的等效厚度定義：位移厚度與動量厚度。

1. 位移厚度（Displacement Thickness, $\delta^*$）： 因流體黏滯力造成近壁面流速減緩，導致通過邊界層的質量流量（質量通量）相較於無黏性主流產生虧損。為補償此質量流量虧損，相當於主流向外側推擠位移的垂直距離，其定義式為： $\delta^* = \int_{0}^{\infty} \left(1 - \frac{u}{U}\right) dy$ 當流速在 $y \ge \delta$ 達到自由流速度 $U$ 時，積分上限縮小至邊界層厚度 $\delta$： $\delta^* = \int_{0}^{\delta} \left(1 - \frac{u}{U}\right) dy$

2. 動量厚度（Momentum Thickness, $\theta$）： 流體因壁面剪應力阻力減速，導致動量通量相較於無黏性主流產生虧損。該動量虧損等效於主流以速度 $U$ 流經厚度為 $\theta$ 之流體層所攜帶的動量，其定義式為： $\theta = \int_{0}^{\infty} \frac{u}{U}\left(1 - \frac{u}{U}\right) dy = \int_{0}^{\delta} \frac{u}{U}\left(1 - \frac{u}{U}\right) dy$

3. 形狀因子（Shape Factor, $H$）： $H = \frac{\delta^*}{\theta}$ 形狀因子是判斷邊界層流況（層流或紊流）與分離趨勢的重要指標。

解題方法

引入無因次縱向座標變數 $\eta = \frac{y}{\delta}$，則 $y = \delta \eta$ 且 $dy = \delta \, d\eta$。 積分邊界：當 $y=0$ 時 $\eta=0$；當 $y=\delta$ 時 $\eta=1$。 流速分布比值可表為： $\frac{u}{U} = \frac{3}{2}\eta - \frac{1}{2}\eta^3$

（一）求解位移厚度 $\delta^*$

依定義代入速度比： $\delta^* = \int_{0}^{\delta} \left(1 - \frac{u}{U}\right) dy = \delta \int_{0}^{1} \left(1 - \frac{3}{2}\eta + \frac{1}{2}\eta^3\right) d\eta$

進行逐項積分： $\delta^* = \delta \left[ \eta - \frac{3}{4}\eta^2 + \frac{1}{8}\eta^4 \right]_{0}^{1}$

代入上下限： $\delta^* = \delta \left( 1 - \frac{3}{4} + \frac{1}{8} \right) = \delta \left( \frac{8 - 6 + 1}{8} \right) = \frac{3}{8}\delta$

（二）求解動量厚度 $\theta$

依定義代入積分式： $\theta = \int_{0}^{\delta} \frac{u}{U}\left(1 - \frac{u}{U}\right) dy = \delta \int_{0}^{1} \frac{u}{U}\left(1 - \frac{u}{U}\right) d\eta$

將被積多項式展開：