107 高普考高考三級 機械工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

1. 流體靜力學基本方程式（Hydrostatic Equation）： 在靜止且連續的均勻流體中，兩點間的壓力差僅取決於兩點垂直高程差與流體比重量（$\gamma = \rho g$）： $p_2 - p_1 = \gamma (z_1 - z_2)$
2. 差壓計（Differential Manometer）平衡原理： 沿著連續的流體路徑由管 $A$ 累計靜水壓力變化至管 $B$，任一水平等壓面（在同一連續流體內且高度相同處）壓力相等： $p_A + \sum (\pm \gamma_i h_i) = p_B$
3. 不可壓縮流體之體積守恆（連續性）： 水銀為不可壓縮流體。在等截面積（均勻管徑）的 $U$ 型壓力計管中，左側液面下降的體積必等於右側液面上升的體積： $A \cdot \Delta z_L + A \cdot \Delta z_R = 0 \implies \Delta z_R = -\Delta z_L$ 若左側液面下降 $\Delta h$，右側液面必上升 $\Delta h$，兩側水銀液面的高程差改變量為 $2\Delta h$。
4. 差分增量分析法（Differential Perturbation Approach）： 當外加壓力變化時，管 $A$ 與管 $B$ 的實體安裝中心高度不變。對靜力平衡方程式直接進行微增量（$\Delta$）分析，初始狀態的高度值與基準壓力項可全數抵消，直接求得壓力增量與液面變形量的線性關係。

解題方法

題目幾何與流體性質設定： 依流體力學典範試題慣例，圖中管 $A$ 與管 $B$ 內均盛裝水（取比重量 $\gamma_w = 9.80\ \mathrm{kN/m^3}$），壓力計工作流體為水銀（比重 $SG = 13.6$，比重量 $\gamma_{\mathrm{Hg}} = 13.6 \times 9.80\ \mathrm{kN/m^3} = 133.28\ \mathrm{kN/m^3}$），且兩側量管為均勻等截面管徑。

步驟一：建立初始狀態之流體靜力平衡方程式

取任意固定水平基準線為高程 $z = 0$。設管 $A$ 軸心高程為 $z_A$、管 $B$ 軸心高程為 $z_B$；初始時左側柱水銀面高程為 $z_{L}$，右側柱水銀面高程為 $z_{R}$。 從管 $A$ 沿著管路推向管 $B$： $p_A + \gamma_A (z_A - z_L) - \gamma_{\mathrm{Hg}} (z_R - z_L) - \gamma_B (z_B - z_R) = p_B$ 移項整理得： $p_A - p_B + \gamma_A z_A - \gamma_B z_B = \gamma_{\mathrm{Hg}} (z_R - z_L) + \gamma_A z_L - \gamma_B z_R$

步驟二：建立壓力改變後的增量方程式

當管 $A$ 壓力增加 $\Delta p_A = 34.4\ \mathrm{kPa} = 34,400\ \mathrm{Pa}$，管 $B$ 壓力維持固定（$\Delta p_B = 0$）。 管線實體中心位置固定，故 $\Delta z_A = 0$、$\Delta z_B = 0$。 設左側水銀面下降之高度為 $\Delta h$（即高程變化 $\Delta z_L = -\Delta h$）。 由水銀不可壓縮及均勻截面積守恆，右側水銀面必上升 $\Delta h$（即高程變化 $\Delta z_R = +\Delta h$）。

對初始平衡方程式取變量差分（$\Delta$）： $\Delta p_A - \Delta p_B = \gamma_{\mathrm{Hg}} (\Delta z_R - \Delta z_L) + \gamma_A \Delta z_L - \gamma_B \Delta z_R$ 代入 $\Delta p_B = 0$、$\Delta z_L = -\Delta h$ 及 $\Delta z_R = +\Delta h$： $\Delta p_A = \gamma_{\mathrm{Hg}} [(\Delta h) - (-\Delta h)] + \gamma_A (-\Delta h) - \gamma_B (\Delta h)$

核心觀念

本題旨在考驗流體力學之兩大基本控制方程式：連續方程式（質量守恆）​與柏努利方程式（動量與機械能守恆）。

1. 連續方程式（Continuity Equation，質量守恆）： 對於不可壓縮流體（水，密度 $\rho = \text{常數}$），在穩態流動（Steady flow）下，控制體積內的流體質量維持不變（$\frac{\mathrm{d}M_{\text{cv}}}{\mathrm{d}t} = 0$）。水槽水位維持固定高度 $h$，表示水槽蓄水量恆定，因此進入水槽之體積流量必等於流出水槽之體積流量： $Q_{\text{in}} = Q_{\text{out}}$
2. 柏努利方程式（Bernoulli's Equation）與托里切利定律（Torricelli's Law）： 假設流體為無黏性（Inviscid）、不可壓縮（Incompressible）、穩態且沿流線流動，於水槽自由液面（斷面 1）與出流口射流（斷面 2）之間應用柏努利方程式： $\frac{p_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2$ 自由液面與出流口射流皆與大氣接觸，表壓力均為零。水槽直徑遠大於出流口直徑時，水槽液面速度可忽略，出流速度即為托里切利速度 $V_2 \approx \sqrt{2gh}$。

解題方法

1. 幾何參數與基本假設

• 水槽直徑：$D = 0.20\ \mathrm{m}$，水槽截面積 $A_1 = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4}(0.20)^2 = 0.01\pi\ \mathrm{m^2} \approx 3.1416 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^2}$。
• 出流口直徑：$d = 0.01\ \mathrm{m}$，出流口截面積 $A_2 = \frac{\pi}{4} d^2 = \frac{\pi}{4}(0.01)^2 = 2.5 \times 10^{-5}\pi\ \mathrm{m^2} \approx 7.854 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^2}$。
• 水槽水位高度：$h = 0.20\ \mathrm{m}$。
• 重力加速度：取標準值 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$。
• 基準面（Datum）設於出流口中心軸線：$z_2 = 0$，則自由液面位置 $z_1 = h = 0.20\ \mathrm{m}$。
• 壓力條件：自由液面及流出自由射流皆暴露於大氣中，取表壓力 $p_1 = p_2 = 0\ \mathrm{Pa}$。
• 假設水為理想不可壓縮流體，流動為穩態，忽略沿程與局部之黏滯損失。

2. 推導出流口流速 $V_2$

由槽內連續方程式可知： $A_1 V_1 = A_2 V_2 \implies V_1 = V_2 \left(\frac{A_2}{A_1}\right) = V_2 \left(\frac{d}{D}\right)^2$ 代入直徑比值： $\frac{d}{D} = \frac{0.01}{0.20} = \frac{1}{20} = 0.05 \implies V_1 = (0.05)^2 V_2 = 0.0025 V_2$

將條件代入斷面 1 至斷面 2 之柏努利方程式： $0 + \frac{V_1^2}{2g} + h = 0 + \frac{V_2^2}{2g} + 0$ $h = \frac{V_2^2 - V_1^2}{2g} = \frac{V_2^2}{2g} \left[1 - \left(\frac{d}{D}\right)^4\right]$ 解出出口流速 $V_2$ 之完整精確式： $V_2 = \sqrt{\frac{2gh}{1 - (d/D)^4}}$

核心觀念

本題考查明渠流（Open Channel Flow）中的水躍現象（Hydraulic Jump）及其控制方程式應用。水躍為明渠急流（超臨界流）轉變為緩流（次臨界流）時水深驟增、伴隨高度紊流與能量消散的水力現象。核心公式與定律包含：

1. 連續方程式（質量守恆定律）： 對於不可壓縮流體之二維矩形渠道，單位寬度流量 $q$ 守恆： $q = V_1 z_1 = V_2 z_2$
2. 動量方程式（牛頓第二運動定律）： 在水平渠道（底坡 $S_0 = 0$）選取適當控制體積，忽略渠道底面摩擦剪應力，作用於控制體積上的靜水壓力合力差等於流體之動量變化率： $\sum F_x = \dot{m}(V_2 - V_1)$
3. 白朗格方程式（Bélanger Equation，矩形渠道共軛水深關係式）： $\frac{z_2}{z_1} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1\right)$ 其中福祿數（Froude number）定義為 $Fr_1 = \frac{V_1}{\sqrt{g z_1}}$。

解題方法

步驟一：建立控制體積與基本假設

1. 取水躍發生段之水體為控制體積（Control Volume, CV），設渠道為水平、等寬（取單位寬度 $b = 1$）之矩形斷面。
2. 水躍長度相較於水深甚短，渠底剪應力與側壁摩擦阻力相較於動量變化極小，予以忽略。
3. 躍前（斷面 1）與躍後（斷面 2）流線皆趨於水平平行，斷面壓力分佈符合靜水壓分佈。

步驟二：推導共軛水深方程式

由斷面靜水壓力積分，斷面 1 與斷面 2 所受之靜水壓力合力分別為： $F_{p1} = \frac{1}{2} \rho g z_1^2, \quad F_{p2} = \frac{1}{2} \rho g z_2^2$

代入 $x$ 方向一維動量方程式： $F_{p1} - F_{p2} = \rho q (V_2 - V_1)$ $\frac{1}{2} \rho g \left(z_1^2 - z_2^2\right) = \rho (V_1 z_1) \left(\frac{V_1 z_1}{z_2} - V_1\right) = \rho V_1^2 \frac{z_1(z_1 - z_2)}{z_2}$

因水躍前後水深不同（$z_1 \neq z_2$），兩邊同除以 $\rho (z_1 - z_2)$ 並整理： $\frac{1}{2} g (z_1 + z_2) = \frac{V_1^2 z_1}{z_2}$ $z_2^2 + z_1 z_2 - \frac{2 V_1^2 z_1}{g} = 0$

兩邊同除以 $z_1^2$，以福祿數 $Fr_1^2 = \frac{V_1^2}{g z_1}$ 表示： $\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^2 + \left(\frac{z_2}{z_1}\right) - 2 Fr_1^2 = 0$

核心觀念

本題考查流體力學中的模型試驗與相似律（Similitude and Model Testing）。水庫溢洪道水流屬於具有自由液面（Free surface）的重力流，重力為主導流動特性的關鍵慣性支配力，因此必須遵循福祿數相似律（Froude number similarity）。

1. 幾何相似（Geometric Similarity）： 定義長度比例尺（尺度比）為： $\lambda_L = \frac{L_m}{L_p} = \frac{1}{15}$ 其中下標 $m$ 代表模型（Model），$p$ 代表原型（Prototype）。

2. 福祿數定義與動態相似（Dynamic Similarity）： 福祿數表示慣性力與重力之比的平方根： $Fr = \frac{V}{\sqrt{gL}}$ 滿足福祿數相似即 $Fr_m = Fr_p$。在同一重力場下（$g_m = g_p$，即 $g_r = 1$），可得速度尺度比： $V_r = \frac{V_m}{V_p} = \sqrt{\frac{L_m}{L_p}} = \lambda_L^{1/2}$

3. 導出物理量尺度律：

• 面積比：$A_r = \lambda_L^2$
• 流量比：$Q_r = \frac{Q_m}{Q_p} = \frac{A_m V_m}{A_p V_p} = \lambda_L^2 \cdot \lambda_L^{1/2} = \lambda_L^{5/2}$
• 時間比：$t_r = \frac{t_m}{t_p} = \frac{L_r}{V_r} = \frac{\lambda_L}{\lambda_L^{1/2}} = \lambda_L^{1/2}$

解題方法

(一) 求模型寬度與流量

1. 模型寬度（$B_m$）： 依據幾何相似關係： $B_m = B_p \times \lambda_L = 20\ \mathrm{m} \times \frac{1}{15} = \frac{4}{3}\ \mathrm{m} \approx 1.333\ \mathrm{m}$

2. 模型流量（$Q_m$）： 依據流量尺度律 $Q_r = \lambda_L^{5/2}$： $Q_m = Q_p \times \lambda_L^{5/2} = 125\ \mathrm{m^3/s} \times \left(\frac{1}{15}\right)^{5/2}$ 化簡計算： $15^{5/2} = 15^2 \cdot \sqrt{15} = 225\sqrt{15}$

核心觀念

本題屬於流體力學中管路流動的經典綜合題型，評量考生整合連續方程式、能量方程式（含水頭損失）​以及有限控制體積線性動量方程式的能力：

1. 連續方程式（Continuity Equation）：對於不可壓縮流體（水），流率 $Q = A_1 V_1 = A_2 V_2$。因圓弧管截面積均勻（等管徑 $D_1 = D_2 = D = 0.6\ \mathrm{m}$），截面 $(1)$ 與 $(2)$ 之平均流速相等（$V_1 = V_2 = V$）。
2. 能量方程式（Energy Equation）：流體沿流線流動，考量流體摩擦造成的壓力損失 $\Delta p_{\mathrm{loss}}$。由於為平面（水平）裝置，兩截面無高程差（$z_1 = z_2$），且流速相等，壓力降純粹由流體摩擦損失決定： $p_1 - p_2 = \Delta p_{\mathrm{loss}}$
3. 線性動量方程式（Linear Momentum Equation）： 對截面 $(1)$ 與 $(2)$ 間的流體控制體積（Control Volume, CV），在穩態、等密度流動下： $\sum \mathbf{F} = \iint_{\mathrm{CS}} \mathbf{V} \rho (\mathbf{V} \cdot \hat{n}) \, dA = \dot{m} (\mathbf{V}_2 - \mathbf{V}_1)$ 式中外力合力 $\sum \mathbf{F}$ 包含截面 $(1)$ 與 $(2)$ 的流體靜壓力合力、管壁對流體的作用力 $\mathbf{R}$。管路外側均勻受大氣壓力 $p_{\mathrm{atm}}$ 作用，計算管壁淨受力時採用表壓力（Gage Pressure）​即可自動抵消外圍大氣壓力之效應。

解題方法

題目圖形細節未給出確切偏轉角度，依公職高普考命題慣例與標準題型，圖五之平面圓弧管為水平放置之 $90^\circ$ 圓弧彎管（入口截面 $(1)$ 水平向右 $+x$ 流入，出口截面 $(2)$ 偏轉 $90^\circ$ 朝 $+y$ 垂直向上排入大氣）。以下進行完整推導，並附上任意偏轉角 $\theta$ 之通用公式。

1. 基本幾何與運動學參數計算

• 管徑：$D = 0.6\ \mathrm{m}$
• 截面積： $A = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (0.6)^2 = 0.09\pi \approx 0.2827\ \mathrm{m^2}$
• 體積流率： $Q = 85\ \mathrm{m^3/min} = \frac{85}{60}\ \mathrm{m^3/s} = \frac{17}{12}\ \mathrm{m^3/s} \approx 1.4167\ \mathrm{m^3/s}$
• 流速（因等管徑 $A_1 = A_2 = A$，故 $V_1 = V_2 = V$）： $V = \frac{Q}{A} = \frac{17/12}{0.09\pi} \approx 5.010\ \mathrm{m/s}$
• 質量流率（取常溫水密度 $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$）： $\dot{m} = \rho Q = 1000 \times \frac{17}{12} \approx 1416.7\ \mathrm{kg/s}$
• 動量通量（動量力）： $\dot{m}V = 1416.7 \times 5.010 \approx 7098\ \mathrm{N} \approx 7.10\ \mathrm{kN}$

2. 截面壓力計算

出口截面 $(2)$ 排入大氣，故其壓力為大氣壓力：

• 絕對壓力：$p_{2,\mathrm{abs}} = 101.3\ \mathrm{kPa}$
• 表壓力：$p_{2,\mathrm{gage}} = 0\ \mathrm{kPa}$

依據水平等徑管路之能量方程式： $p_1 - p_2 = \Delta p_{\mathrm{loss}} = 415\ \mathrm{kPa}$ 因此截面 $(1)$ 處之壓力為：

• 表壓力：$p_{1,\mathrm{gage}} = p_{2,\mathrm{gage}} + \Delta p_{\mathrm{loss}} = 0 + 415 = 415\ \mathrm{kPa}$
• 絕對壓力：$p_{1,\mathrm{abs}} = 101.3 + 415 = 516.3\ \mathrm{kPa}$

3. 各截面處之流體作用力

若題意欲求水流於截面 $(1)$ 及截面 $(2)$ 單獨存在的作用力（含靜壓推力與動量通量）：

• 截面 $(1)$（水流向右 $+x$）：
• 水平作用力（表壓推力）： $F_{x1,\mathrm{gage}} = p_{1,\mathrm{gage}} A = 415 \times 10^3 \times 0.2827 \approx 117.34\ \mathrm{kN}\quad (\text{水平向右})$ （若計絕對壓力，則推力為 $p_{1,\mathrm{abs}} A = 516.3 \times 10^3 \times 0.2827 \approx 145.98\ \mathrm{kN}$）
• 水平動量通量：$\dot{m}V_1 = 7.10\ \mathrm{kN}$（水平向右）
• 垂直作用力：截面 $(1)$ 無垂直分量，故 $F_{y1} = 0\ \mathrm{kN}$。

核心觀念

本題探討低雷諾數下黏性流體中固體顆粒的終端沉降速度（Terminal Settling Velocity），核心依據為牛頓第一運動定律（力平衡）、阿基米德浮力原理以及低雷諾數潛流（Creeping Flow / Stokes Flow）之史托克定律（Stokes' Law）：

1. 沉降力平衡方程式：砂粒以等速 $U$ 向下移動（終端速度），垂直方向加速度為零，受向下之重力 $W$、向上之浮力 $F_B$ 及向上之流體拽引力（以 $F_D$ 表示，題目簡稱 $D$）維持靜力平衡： $W = F_B + F_D$
2. 砂粒幾何特性：粒徑為 $D$ 之球形砂粒，其體積 $V$ 與迎流投影面積 $A$ 分別為： $V = \frac{\pi}{6}D^3, \quad A = \frac{\pi}{4}D^2$
3. 比重與有效重力（浮重）：砂粒比重 $S = \frac{\rho_s}{\rho_w}$，即砂粒密度 $\rho_s = S\rho_w$。
4. 拽引力定義與史托克拽引係數： $F_D = C_D \cdot A \cdot \left(\frac{1}{2}\rho_w U^2\right)$ 其中題目給定層流潛流條件之拽引力係數 $C_D = \frac{24}{Re}$，雷諾數 $Re = \frac{\rho_w U D}{\mu}$。

解題方法

為避免題目中「拽引力（Drag force）$D$」與「粒徑（Diameter）$D$」之符號重複混淆，推導過程中將拽引力明確記為 $F_D$，粒徑記為 $D$。

步驟一：計算砂粒之重力 $W$ 與浮力 $F_B$

砂粒之密度為 $\rho_s = S\rho_w$，其重力 $W$ 為： $W = \rho_s g V = S\rho_w g \left(\frac{\pi}{6}D^3\right)$

水作用於砂粒之向上浮力 $F_B$ 等於其排開同體積水之重量： $F_B = \rho_w g V = \rho_w g \left(\frac{\pi}{6}D^3\right)$

因此，砂粒受重力與浮力之淨向下作用力（浸潤重力）為： $W - F_B = (S - 1)\rho_w g \left(\frac{\pi}{6}D^3\right)$

步驟二：推導作用在砂粒上之拽引力 $F_D$

依據拽引力定義，代入投影面積 $A = \frac{\pi}{4}D^2$、拽引力係數 $C_D = \frac{24}{Re}$ 及雷諾數 $Re = \frac{\rho_w U D}{\mu}$：