107 高普考高考三級 機械工程 自動控制 考古題詳解

核心觀念

1. 線性非時變系統（LTI System）的時域響應： 系統初始處於靜止狀態（Zero Initial Conditions）時，系統對單位步階輸入（Unit Step Input）$u(t)=1(t)$ 的輸出稱為步階響應 $c_{\text{step}}(t)$；對單位脈衝輸入（Unit Impulse Input）$\delta(t)$ 的輸出稱為脈衝響應 $g(t)$。兩者關係為： $g(t) = \frac{d c_{\text{step}}(t)}{dt}$
2. 卷積積分（Convolution Integral）： 當輸入為任意時間信號 $u(t)$ 時，因果 LTI 系統的零狀態響應為輸入與脈衝響應的卷積： $c(t) = u(t) * g(t) = \int_{0}^{t} g(t-\tau) u(\tau) d\tau$
3. 拉氏轉換（Laplace Transform）之存在條件： 單邊拉氏轉換 $\mathcal{L}\{u(t)\} = \int_{0}^{\infty} u(t) e^{-st} dt$ 要求函數在 $t \geq 0$ 具備因果性、在任意有限區間內為分段連續（Piecewise Continuous），且隨時間增長速度不得超過指數函數，即滿足「指數階」（Exponential Order）。
4. 轉移函數與微分方程式之轉換： 系統轉移函數定義為零初始條件下輸出拉氏轉換與輸入拉氏轉換之比值 $G(s) = \frac{C(s)}{U(s)}$，透過交叉相乘取反拉氏轉換即可還原系統的時域微分方程式。
5. 連續系統數值模擬（離散化差分方程式）： 利用積分區間拆解法將連續時間卷積積分離散化為取樣週期 $T$ 的差分關係式，並利用小參數近似 $3T \ll 1$（一階泰勒展開式 $e^{-x} \approx 1 - x$）化簡係數。

解題方法

(一) 當 $u(t)$ 為任意時間函數時，其輸出 $c(t)$

1. 求系統脈衝響應 $g(t)$： 已知系統初始靜止，當輸入 $u(t) = 1$（即單位步階函數 $1(t)$）時，步階響應為： $c_{\text{step}}(t) = 1 - e^{-3t}, \quad t \geq 0$ 由於脈衝響應為步階響應對時間的微分： $g(t) = \frac{d}{dt}\left(1 - e^{-3t}\right) = 3e^{-3t}, \quad t \geq 0$

2. 以卷積積分表示任意輸入 $u(t)$ 的系統輸出： 對於任意輸入函數 $u(t)$（假設 $t < 0$ 時 $u(t) = 0$），系統輸出 $c(t)$ 為 $u(t)$ 與 $g(t)$ 的卷積： $c(t) = \int_{0}^{t} g(t-\tau) u(\tau) d\tau = \int_{0}^{t} 3e^{-3(t-\tau)} u(\tau) d\tau$ 亦可等價寫為： $c(t) = \int_{0}^{t} 3e^{-3\tau} u(t-\tau) d\tau$

(二) 求解 $G(s)$ 及 $u(t)$ 之限制條件

1. 求轉移函數 $G(s)$： 對脈衝響應 $g(t) = 3e^{-3t}$ 取單邊拉氏轉換： $G(s) = \mathcal{L}\{g(t)\} = \int_{0}^{\infty} 3e^{-3t} e^{-st} dt = \frac{3}{s+3}$ 另解驗證： $U(s) = \mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}, \quad C(s) = \mathcal{L}\{1 - e^{-3t}\} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+3} = \frac{3}{s(s+3)}$ $G(s) = \frac{C(s)}{U(s)} = \frac{\frac{3}{s(s+3)}}{\frac{1}{s}} = \frac{3}{s+3}$

2. $u(t)$ 的限制條件： 欲實施單邊拉氏轉換以代數方法求解 $C(s) = G(s)U(s)$，輸入信號 $u(t)$ 必須滿足以下條件：

• 因果性條件（Causality）：在 $t < 0$ 時，$u(t) = 0$（符合單邊拉氏轉換積分下限由 $0^-$ 開始與系統初始靜止之前提）。
• 分段連續（Piecewise Continuity）：$u(t)$ 在任何有限區間 $[0, t_1]$ 內僅能有有限個有限跳躍不連續點，保證黎曼積分存在。
• 指數階（Exponential Order）：存在實常數 $M > 0$ 與 $\sigma_0$，使得當 $t$ 充分大時滿足： $|u(t)| \leq M e^{\sigma_0 t}$ 確保拉氏轉換積分在收斂區間（ROC: $\text{Re}(s) > \sigma_0$）內絕對收斂。

(三) 該系統微分方程式

由轉移函數： $G(s) = \frac{C(s)}{U(s)} = \frac{3}{s+3}$ 交叉相乘整理： $(s + 3)C(s) = 3U(s) \implies sC(s) + 3C(s) = 3U(s)$

核心觀念

1. 閉迴路轉移函數與特徵方程式： 本系統為比例控制之單位負迴授系統（$H(s) = 1$），開迴路轉移函數為 $L(s) = K G(s) = \frac{K s^3}{(s+p)^3}$。閉迴路系統之特徵方程式為： $1 + K G(s) = 0 \implies (s+p)^3 + K s^3 = 0$
2. 羅斯穩定準則（Routh Stability Criterion）： 用於判斷特徵多項式之所有根是否皆落在複數左半平面（LHP）。系統漸近穩定之充要條件為羅斯表第一行（第一欄）所有元素皆同號（全為正值）。
3. 根軌跡法（Root Locus Method）： 當增益 $K$ 由 $0$ 變化至 $\infty$ 時，閉迴路極點在 $s$ 平面上移動之軌跡。滿足相角條件： $\angle G(s) = (2k+1)180^\circ,\qquad k \in \mathbb{Z}$
4. 臨界穩定與持續等幅振盪： 當輸入 $R(s) = 0$ 時，系統輸出 $C(s)$ 決定於系統之自體暫態模態（Natural Modes）。若系統存在一對共軛純虛根 $s = \pm j\omega$，且其餘極點皆位於左半平面，系統模態將包含持續不衰減之正弦振盪（等幅非零穩定輸出），此狀態對應系統之邊界穩定（臨界穩定）。

解題方法

(一) 利用羅斯穩定準則推導系統穩定時之 $K$ 範圍

1. 展開特徵方程式： $(s+p)^3 + K s^3 = 0$ 利用二項式展開 $(s+p)^3 = s^3 + 3ps^2 + 3p^2s + p^3$，合併同次項得： $(1+K)s^3 + 3p s^2 + 3p^2 s + p^3 = 0$ 已知 $p > 0$。

2. 建立羅斯表（Routh Array）：

其中 $s^1$ 列之係數 $b_1$ 計算如下： $b_1 = \frac{(3p)(3p^2) - (1+K)(p^3)}{3p} = \frac{9p^3 - (1+K)p^3}{3p} = \frac{(8-K)p^2}{3}$

3. 穩定條件判定： 系統為穩定系統，羅斯表第一行各項必須嚴格大於零：

• $s^3$ 列：$1 + K > 0 \implies K > -1$
• $s^2$ 列：$3p > 0$（已知 $p > 0$，恆成立）
• $s^1$ 列：$b_1 = \frac{(8-K)p^2}{3} > 0 \implies 8 - K > 0 \implies K < 8$
• $s^0$ 列：$p^3 > 0$（已知 $p > 0$，恆成立）

綜合上述條件，系統維持穩定時之增益範圍為： $-1 < K < 8$ （若依工程慣例將比例增益限制為正值 $K > 0$，則穩定範圍為 $0 < K < 8$。）

(二) 繪製不同比例增益 $K \ge 0$ 之根軌跡圖

1. 開迴路極點與零點：

• 開迴路極點（$K=0$ 之起點）：位於 $s = -p$ 處，為三重極點（$n = 3$）。
• 開迴路零點（$K \to \infty$ 之終點）：位於 $s = 0$ 處，為三重零點（$m = 3$）。
• 分支數：$n = 3$ 條分支。
• 漸近線：因極點數與零點數相等（$n - m = 0$），系統無趨向無窮遠處之漸近線，三條分支皆從 $s = -p$ 出發並終止於 $s = 0$。

2. 實軸上的根軌跡： 在實軸上任一點，若其右側之實數極零點總數為奇數，則該區間屬於根軌跡。

• 區間 $[-p, 0]$ 之右側為位於原點 $s = 0$ 之三重零點（個數為 3，為奇數）。
• 故實軸區間 $[-p, 0]$ 為根軌跡。當 $K$ 由 $0$ 增至 $\infty$ 時，有一條分支由 $s = -p$ 沿實軸向右移至 $s = 0$。

3. 出射角（Departure Angles）與到達角（Arrival Angles）： 特徵方程式滿足 $\frac{s+p}{s} = K^{1/3} e^{j \frac{(2k+1)\pi}{3}}$（$k = 0, 1, 2$）：

• 在三重極點 $s = -p$ 之出射角： $\theta_{\text{dep}} = \frac{180^\circ \times 3 - (180^\circ + 360^\circ k)}{3} \implies \theta_{\text{dep}} = 0^\circ,\; 120^\circ,\; -120^\circ$ 其中 $0^\circ$ 分支沿實軸向右前進，另外兩條分支分別以 $\pm 120^\circ$ 進入第二、第三象限。
• 在三重零點 $s = 0$ 之到達角： $\theta_{\text{arr}} = \frac{180^\circ + 360^\circ k}{3} \implies \theta_{\text{arr}} = 60^\circ,\; 180^\circ,\; -60^\circ$ 一條由實軸左方以 $180^\circ$ 進入原點，另兩條複數分支由第一、第四象限分別以 $\pm 60^\circ$ 進入原點。

4. 複數分支之幾何軌跡解析： 由 $\angle s - \angle(s+p) = \pm 60^\circ$，在複數平面上兩點 $s = 0$ 與 $s = -p$ 張角為定值 $60^\circ$ 之軌跡為圓弧： $\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + \left(y \mp \frac{p}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \left(\frac{p}{\sqrt{3}}\right)^2$

核心觀念

本題為典型之二階負迴授控制系統結合比例微分（PD）補償器的綜合分析題，涵蓋以下核心觀念：

1. 單位負迴授系統之穩態誤差（Steady-State Error）：對於階躍輸入（Step Input），系統的位置穩態誤差由靜態位置誤差常數 $K_p = \lim_{s \to 0} G(s)$ 決定，公式為 $e_{ss} = \frac{1}{1 + K_p}$。
2. 頻率響應與波德圖（Bode Diagram）繪製：開迴路轉移函數 $G(s)$ 的極點與零點分布決定頻率響應之漸近線斜率、轉折頻率（Corner Frequency）與相位變化。未阻尼二階極點（$\zeta = 0$）在轉折頻率處具有無窮大共振峰值與 $-180^\circ$ 的急遽相位落後。
3. 二階閉迴路系統之阻尼特性：閉迴路系統特徵方程式與標準二階系統方程式 $s^2 + 2\xi \omega_n s + \omega_n^2 = 0$ 比對，藉此決定阻尼係數 $\xi$ 與各參數之相依關係。
4. 增益交越頻率（Gain Crossover Frequency, $\omega_g$）：系統開迴路頻率響應幅值等於 1（即 $0\ \mathrm{dB}$）所對應之角頻率，滿足量值條件 $|G(j\omega_g)| = 1$。

解題方法

(一) 由位置穩態誤差求取 $K$ 與 $k_P$ 間之關聯方程式

由題意，系統開迴路轉移函數為： $G(s) = G_c(s) G_p(s) = \frac{k_P + k_D s}{J s^2 + K}$

輸入為單位階躍信號 $R(s) = \frac{1}{s}$，其靜態位置誤差常數（Static Position Error Constant）$K_p$ 為： $K_p = \lim_{s \to 0} G(s) = \lim_{s \to 0} \frac{k_P + k_D s}{J s^2 + K} = \frac{k_P}{K}$

由終值定理，單位負迴授系統的位置穩態誤差為： $e_{ss} = \frac{1}{1 + K_p} = \frac{1}{1 + \frac{k_P}{K}} = \frac{K}{K + k_P}$

已知 $e_{ss} = 0.01$，代入得： $\frac{K}{K + k_P} = 0.01 = \frac{1}{100}$ $K + k_P = 100K \implies k_P = 99K$

故 $K$ 與 $k_P$ 之關聯方程式為： $k_P = 99K \quad (\text{或 } k_P - 99K = 0)$

(二) 繪製開迴路轉移函數 $G(s)$ 之波德圖

將開迴路轉移函數整理成波德標準型式（Bode Form）： $G(s) = \frac{k_P + k_D s}{J s^2 + K} = \frac{k_P}{K} \frac{1 + \frac{k_D}{k_P} s}{1 + \frac{J}{K} s^2}$

令 $s = j\omega$，分析各組成要素與特徵頻率：

1. 直流增益與低頻漸近值（$\omega \to 0$）： $|G(j0)| = \frac{k_P}{K} = 99$ $\left. 20 \log_{10} |G(j\omega)| \right|_{\omega = 0} = 20 \log_{10}(99) \approx 39.91\ \mathrm{dB} \quad (\approx 40\ \mathrm{dB})$ 低頻相位為 $\angle G(j0) = 0^\circ$。

2. 轉折頻率分析：

• 分母二階極點：轉折頻率為自然頻率 $\omega_n = \sqrt{\frac{K}{J}}$。因分母無一次項 $s$，阻尼比 $\zeta = 0$（純虛數極點 $s = \pm j\sqrt{K/J}$）。
• 分子一階零點：轉折頻率為 $\omega_z = \frac{k_P}{k_D}$。
• 由題幹條件 $J k_P^2 = 10^4 K k_D^2$，可得： $\left(\frac{k_P}{k_D}\right)^2 = 10^4 \left(\frac{K}{J}\right) \implies \omega_z = \frac{k_P}{k_D} = 100 \sqrt{\frac{K}{J}} = 100 \omega_n$ 顯示零點轉折頻率 $\omega_z$ 恰好落於極點轉折頻率 $\omega_n$ 之高頻端兩處十倍頻（2 decades）。

3. 幅值漸近線（Magnitude Plot）特性：

• 當 $0 < \omega < \omega_n$：漸近線斜率為 $0\ \mathrm{dB/dec}$，幅值維持約 $39.91\ \mathrm{dB}$。
• 在 $\omega = \omega_n = \sqrt{K/J}$ 處：由於阻尼係數 $\zeta = 0$，理論共振峰值趨向於 $+\infty\ \mathrm{dB}$。
• 當 $\omega_n < \omega < \omega_z$：二階極點使漸近線斜率降為 $-40\ \mathrm{dB/dec}$。在此兩十倍頻區間內，幅值衰減 $2 \times 40 = 80\ \mathrm{dB}$。
• 在 $\omega = \omega_z = 100\omega_n$ 處：漸近線幅值為 $20\log_{10}(99) - 80 \approx -40.09\ \mathrm{dB}$（實際幅值因零點影響為 $20\log_{10}\frac{\sqrt{2}k_P}{9999K} \approx -37.08\ \mathrm{dB}$）。
• 當 $\omega > \omega_z$：一階零點提供 $+20\ \mathrm{dB/dec}$ 的斜率補償，整體漸近線斜率轉變為 $-40 + 20 = -20\ \mathrm{dB/dec}$。

4. 相位曲線（Phase Plot）特性：

• 當 $\omega \to 0$ 時，$\angle G(j\omega) \to 0^\circ$。
• 在 $\omega = \omega_n$ 處：分母穿過虛軸，產生 $-180^\circ$ 的急遽階躍落後（由 $0^\circ$ 突降至 $-180^\circ$）。
• 當 $\omega_n < \omega < \omega_z$ 時：相位由 $-180^\circ$ 隨分子零點作用逐漸回升。
• 在 $\omega = \omega_z$ 處：相位落後為 $-180^\circ + 45^\circ = -135^\circ$。
• 當 $\omega \to \infty$ 時：整體極零點數差為 $2 - 1 = 1$，高頻相位趨近於 $-90^\circ$。

波德圖特徵標記彙整：

核心觀念

本題為典型的「機電整合伺服定位系統（Mechatronic Servo Positioning System）」建模與閉迴路控制問題，命題核心包含以下觀念與定律：

1. 感測器實務配置：光學尺（Linear scale）的組成（主尺與讀頭）、阿貝原理（Abbe's principle）與幾何對齊（避免餘弦誤差）。
2. 牛頓第二運動定律：質量塊平移運動之微積分關係，建立力 $F(s)$、速度 $V(s)$ 與位置 $X(s)$ 之連續積分轉移模型。
3. 直流馬達（DC Motor）電氣與機電轉換方程式：

• 電樞電路之克希荷夫電壓定律（KVL）：$u_a(t) - e_a(t) = R_a i_a(t) + L_a \frac{di_a(t)}{dt}$。
• 轉矩常數關係：$T_m(t) = C_m i_a(t)$。
• 反電勢（Back-EMF）關係：$e_a(t) = C_e \omega(t)$。
• 時規皮帶機構轉換：直線運動與旋轉運動的運動學與力學耦合（$v = r\omega$、$T_m = rF$）。

4. 回授控制系統與區塊代數：PI 控制器轉移函數 $G_c(s) = K_p + \frac{K_i}{s}$，利用區塊圖化簡或梅森增益公式（Mason's Gain Formula）推導全系統閉迴路轉移函數 $\frac{X(s)}{X_{\mathrm{cmd}}(s)}$。

解題方法

(一) 光學尺安裝位置與安裝方式

1. 安裝位置：

• 光學尺由「光柵尺身（主尺）」與「光學讀取頭（感測頭）」兩大組件構成。
• 尺身安裝：固定於系統的不動物體（固定機架或導軌基座）​上。
• 讀取頭安裝：固定於移動之質量塊（滑塊）​上，隨質量塊同步移動進行位置檢測（亦可反向配置，但實務上尺身固定在機身能提供最佳的剛性與防護）。
• 幾何配置：安裝軸線必須嚴格平行於質量塊移動方向（$x$ 軸），並盡量使測量線通過或貼近質量塊運動中心線，以符合阿貝原理，最小化角偏轉所造成的阿貝誤差（Abbe error）。

2. 安裝方式與注意事項：

• 平行度校準：使用槓桿式千分表（Dial indicator）沿導軌全程校正，確保主尺、讀頭與滑動導軌在全長範圍內之平行度與垂直度符合原廠公差。
• 氣隙（Air Gap）控制：利用專用間隙規確保讀取頭光學窗口與主尺光柵面之間保持恆定間隙（通常為 $0.1 \sim 1.5\text{ mm}$），避免機械刮傷磨損。
• 環境防護：外側應加裝鋁合金防護外罩與防塵密封膠條，隔離時規皮帶摩擦碎屑、粉塵或油污對光學讀取頭之干擾。

(二) 質量塊方塊圖模型推導

在無摩擦平面上，推動力 $F(t)$ 作用於質量塊 $m$： $F(t) = m \frac{dv(t)}{dt} = m \frac{d^2 x(t)}{dt^2}$

在零初始條件下取拉普拉斯轉換（Laplace Transform）： $F(s) = m s V(s) \implies V(s) = \frac{1}{ms} F(s)$ $X(s) = \frac{1}{s} V(s) \implies X(s) = \frac{1}{ms^2} F(s)$

方塊圖模型： $F(s) \longrightarrow \boxed{\frac{1}{ms}} \xrightarrow{\quad V(s)\quad} \boxed{\frac{1}{s}} \longrightarrow X(s)$

(三) 直流馬達方塊圖模型推導

1. 電樞迴路電壓平衡： $U_a(s) - E_a(s) = (L_a s + R_a) I_a(s) \implies I_a(s) = \frac{1}{L_a s + R_a} [U_a(s) - E_a(s)]$
2. 馬達電磁轉矩： $T_m(s) = C_m I_a(s)$
3. 皮帶輪力矩轉換（忽略皮帶輪及馬達轉子之轉動慣量）： $T_m(s) = r F(s) \implies F(s) = \frac{1}{r} T_m(s) = \frac{C_m}{r} I_a(s)$
4. 反電勢回授： $E_a(s) = C_e \Omega(s) = \frac{C_e}{r} V(s)$

方塊圖模型：

U_a(s) + ┌───┐ U_a - E_a ┌───────────────┐ I_a(s) ┌─────┐ T_m(s) ┌───┐ F(s)
───────────────>│ Σ │────────────>│ 1/(La*s+Ra) │─────────>│ C_m │─────────>│1/r│───────────>
 - └───┘ └───────────────┘ └─────┘ └───┘
 ^
 │ E_a(s)
 │
 ┌─────────┐
 │ C_e │ <─── Ω(s) = V(s)/r
 └─────────┘

其中比較點的負回授輸入為反電勢 $E_a(s) = C_e \Omega(s) = \frac{C_e}{r} V(s)$。

(四) 閉迴路系統轉移函數 $\frac{X(s)}{X_{\mathrm{cmd}}(s)}$ 展開為代數分式

1. 受控體系統關係推導： 由 (二) 與 (三) 之動力學與電氣關係： $F(s) = m s^2 X(s)$ $V(s) = s X(s) \implies \Omega(s) = \frac{s}{r} X(s) \implies E_a(s) = \frac{C_e}{r} s X(s)$ 將 $E_a(s)$ 代入電樞推力方程式： $F(s) = \frac{C_m}{r (L_a s + R_a)} \left[ U_a(s) - \frac{C_e}{r} s X(s) \right]$ 聯立 $F(s) = m s^2 X(s)$： $m s^2 X(s) = \frac{C_m}{r (L_a s + R_a)} \left[ U_a(s) - \frac{C_e}{r} s X(s) \right]$ 兩邊同乘 $r (L_a s + R_a)$： $m r s^2 (L_a s + R_a) X(s) + \frac{C_m C_e}{r} s X(s) = C_m U_a(s)$ 兩邊再同除以 $r$（或將等效轉動慣量 $J_{\mathrm{eq}} = m r^2$ 整理）： $s \left[ m L_a s^2 + m R_a s + \frac{C_m C_e}{r^2} \right] X(s) = \frac{C_m}{r} U_a(s)$ 可得受控體轉移函數 $G_p(s) = \frac{X(s)}{U_a(s)}$： $G_p(s) = \frac{\frac{C_m}{r}}{s \left( m L_a s^2 + m R_a s + \frac{C_m C_e}{r^2} \right)} = \frac{C_m r}{s (m r^2 L_a s^2 + m r^2 R_a s + C_m C_e)}$