107 高普考高考三級 環境工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題屬於流體靜力學（Fluid Statics）​中差壓計（Differential Manometer）之平衡與幾何連續性分析，主要涵蓋下列觀念與定律：

1. 靜壓平衡方程式（Hydrostatic Equation）： 在靜止不可壓縮流體中，沿垂直方向之壓力變化遵循「向下為正（壓力增加）、向上為負（壓力降低）」原則，即： $dp = \gamma\, dz \quad \text{或} \quad p_{\text{下}} = p_{\text{上}} + \gamma h$ 其中 $\gamma = \rho g = SG \times \gamma_w$ 為流體之比重量（Specific Weight），$SG$ 為比重（Specific Gravity），$\gamma_w$ 為水之比重量。
2. 等壓面原理（Pascal's Principle / Equal Pressure Level）： 在同一連續靜止的同種均質流體內，相同水平高程之各點靜壓力必相等。
3. 不可壓縮流體之體積守恆（連續性幾何關係）： 壓力計內的水銀為不可壓縮液體，故左側管柱水銀下降所排開之體積，必等於右側傾斜管柱水銀上升所增加之體積： $V = A_L \Delta h_L = A_R L_R$ 其中 $A_L$ 與 $A_R$ 分別為左側垂直管與右側傾斜管之管截面積；$L_R$ 為右側水銀沿傾斜管上升之距離。
4. 傾斜管高程幾何轉換： 若傾斜管與水平面之夾角為 $\theta$，則右側液面之垂直高程上升量 $\Delta z_R$ 為： $\Delta z_R = L_R \sin\theta$

解題方法

一、題目幾何與物性參數整理

依試卷圖一所示之標記數據：

• 管 $A$ 內流體：水，比重 $SG_w = 1.0$。
• 管 $B$ 內流體：油，比重 $SG_{\mathrm{oil}} = 0.9$。
• 壓力計液體：水銀，標準比重 $SG_{\mathrm{Hg}} = 13.6$。
• 水的比重量：取 $\gamma_w = 9.80\ \mathrm{kN/m^3} = 9800\ \mathrm{N/m^3}$（若取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 則 $\gamma_w = 9810\ \mathrm{N/m^3}$）。
• 左側垂直管徑：$d_L = 1.3\ \mathrm{cm}$，截面積 $A_L = \frac{\pi}{4} d_L^2$。
• 右側傾斜管徑：$d_R = 0.6\ \mathrm{cm}$，傾角 $\theta = 30^\circ$，截面積 $A_R = \frac{\pi}{4} d_R^2$。
• 管 $A$ 壓力變化量：$\Delta p_A = +34.4\ \mathrm{kPa} = +34,400\ \mathrm{Pa}$。
• 管 $B$ 壓力變化量：$\Delta p_B = 0$（維持固定）。

二、兩側水銀面位移之幾何關係

設管 $A$ 增壓後，左側垂直管水銀面下降之垂直高度為 $\Delta h_L$。 由不可壓縮流體體積守恆： $A_L \Delta h_L = A_R L_R$ $L_R = \Delta h_L \left(\frac{A_L}{A_R}\right) = \Delta h_L \left(\frac{d_L}{d_R}\right)^2 = \Delta h_L \left(\frac{1.3}{0.6}\right)^2 = \Delta h_L \left(\frac{13}{6}\right)^2 = \frac{169}{36} \Delta h_L$

右側水銀面之垂直升高量 $\Delta z_R$ 為： $\Delta z_R = L_R \sin 30^\circ = \left(\frac{169}{36} \Delta h_L\right) \times \frac{1}{2} = \frac{169}{72} \Delta h_L \approx 2.3472\, \Delta h_L$

三、壓力平衡方程式與增量推導

設初始狀態下：

• 管 $A$ 至左側水銀面之垂直距離為 $h_{w1}$；
• 左右兩側水銀面之初始垂直高度差為 $h_{\mathrm{Hg}1}$；
• 右側水銀面至管 $B$ 之垂直高度差為 $h_{o1}$。

由管 $A$ 循路徑計算至管 $B$ 之初始靜態方程式為： $p_{A1} + \gamma_w h_{w1} - \gamma_{\mathrm{Hg}} h_{\mathrm{Hg}1} - \gamma_{\mathrm{oil}} h_{o1} = p_{B}$

當管 $A$ 壓力增加 $\Delta p_A$，左側水銀面下降 $\Delta h_L$、右側水銀面垂直上升 $\Delta z_R$ 時：

• 水柱高度增加為：$h_{w2} = h_{w1} + \Delta h_L$
• 水銀柱垂直高度差增加為：$h_{\mathrm{Hg}2} = h_{\mathrm{Hg}1} + \Delta h_L + \Delta z_R$
• 油柱垂直高度減少為：$h_{o2} = h_{o1} - \Delta z_R$

新平衡狀態的方程式為： $(p_{A1} + \Delta p_A) + \gamma_w (h_{w1} + \Delta h_L) - \gamma_{\mathrm{Hg}} (h_{\mathrm{Hg}1} + \Delta h_L + \Delta z_R) - \gamma_{\mathrm{oil}} (h_{o1} - \Delta z_R) = p_{B}$

核心觀念

本題評量流體力學之基本三大守恆律中之質量守恆與機械能守恆，主要涉及以下定理與公式：

1. 不可壓縮流之質量守恆（連續方程式，Continuity Equation）： 水視為不可壓縮流體（密度 $\rho = \text{常數}$）。當水槽內之水位維持固定高度（$h = 0.20\ \mathrm{m}$ 為定值），表示槽內控制容積（Control Volume）的水體蓄水量隨時間之變化率為零（$\frac{dV}{dt} = 0$）。因此，質量守恆簡化為流入水槽之體積流量等於流出水槽之體積流量： $Q_{\text{in}} = Q_{\text{out}}$

2. 理想流體之機械能守恆（白努力方程式，Bernoulli's Equation）： 在無黏滯性、不可壓縮、無熱交換與外功之穩態流動下，沿著流線之機械能總水頭為常數： $\frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2$

3. 托里切利定理（Torricelli's Law）： 當出流口截面積遠小於容器自由液面截面積時，液面下降流速趨近於零，出流口之理論射流速度可表示為： $V = \sqrt{2gh}$

解題方法

本題切入點為：先求出出流口之流速與出流量 $Q_{\text{out}}$，再由穩態連續方程式求得流入流量 $Q_{\text{in}}$。

1. 設定斷面與基準面

• 基準面（Datum）：選取出流口中心所在之水平面為高程基準面（$z = 0$）。
• 斷面 1（水槽自由液面）：
• 高程：$z_1 = h = 0.20\ \mathrm{m}$
• 壓力：通大氣，表壓力 $P_1 = 0$
• 水槽直徑：$D = 0.20\ \mathrm{m}$
• 水槽截面積：$A_1 = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4}(0.20)^2 = 0.01\pi\ \mathrm{m^2} \approx 0.03142\ \mathrm{m^2}$
• 下降速度：設為 $V_1$
• 斷面 2（出流口射流截面）：
• 高程：$z_2 = 0\ \mathrm{m}$
• 壓力：射流噴入大氣，表壓力 $P_2 = 0$
• 出流口直徑：$d = 0.01\ \mathrm{m}$
• 出流口截面積：$A_2 = \frac{\pi}{4} d^2 = \frac{\pi}{4}(0.01)^2 = 2.5 \times 10^{-5}\pi\ \mathrm{m^2} \approx 7.854 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^2}$
• 出流速度：設為 $V_2$

2. 連續方程式推導

根據槽內連續條件： $A_1 V_1 = A_2 V_2 \implies V_1 = \left(\frac{A_2}{A_1}\right) V_2 = \left(\frac{d}{D}\right)^2 V_2$ 代入數值： $\frac{d}{D} = \frac{0.01}{0.20} = \frac{1}{20} = 0.05 \implies \left(\frac{d}{D}\right)^2 = \frac{1}{400} = 0.0025$ 即： $V_1 = 0.0025 V_2$

3. 建立白努力方程式

自液面（斷面 1）至出流口（斷面 2）沿流線建立白努力方程式： $\frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2$

代入 $P_1 = P_2 = 0$（表壓力）、$z_1 = h$、$z_2 = 0$： $\frac{V_1^2}{2g} + h = \frac{V_2^2}{2g}$

將 $V_1 = \left(\frac{d}{D}\right)^2 V_2$ 代入整理得： $h = \frac{V_2^2}{2g} \left[ 1 - \left(\frac{d}{D}\right)^4 \right]$

$V_2 = \sqrt{\frac{2gh}{1 - (d/D)^4}}$

檢驗面積比四次方項： $\left(\frac{d}{D}\right)^4 = \left(\frac{1}{20}\right)^4 = \frac{1}{160000} = 6.25 \times 10^{-6} \ll 1$ 因此 $1 - (d/D)^4 \approx 1.0$，液面動能水頭可完全忽略，出流速度完全符合托里切利公式： $V_2 = \sqrt{2gh}$

核心觀念

本題評量明渠流（Open Channel Flow）中之水躍（Hydraulic Jump）​現象與控制體積之守恆定律應用，涉及的核心觀念與公式如下：

1. 連續方程式（Continuity Equation）：在矩形等寬明渠中，單位寬度流量 $q$ 守恆： $q = V_1 z_1 = V_2 z_2$
2. 線動量方程式（Linear Momentum Equation）：水躍發生於極短距離內，可忽略底床摩擦阻力與底坡重力分量，控制體積兩端之靜水壓力差等於流出與流入之動量通量差： $\sum F_x = \dot{m}(V_2 - V_1)$
3. 白朗傑方程式（Bélanger Equation）：由動量與連續方程式聯立推導出矩形渠道水躍前後之共軛水深（Conjugate Depths / Sequent Depths）關係式： $\frac{z_2}{z_1} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{1 + 8Fr_1^2} - 1\right)$ 其中入流福祿數（Froude Number）定義為 $Fr_1 = \frac{V_1}{\sqrt{g z_1}}$。

解題方法

步驟一：建立控制體積與動量方程式推導

選取斷面 1（水躍前）至斷面 2（水躍後）之間的水體為控制體積（CV），取單位渠寬（$b = 1$），水平流向為 $x$ 軸正方向：

1. 連續方程式： $V_2 = V_1 \frac{z_1}{z_2}$
2. 作用於控制體積之水平力（假設斷面壓力分佈為靜水壓力）： $F_{p1} = \frac{1}{2}\rho g z_1^2, \quad F_{p2} = \frac{1}{2}\rho g z_2^2$
3. 動量守恆（忽略底面剪應力）： $F_{p1} - F_{p2} = \rho q (V_2 - V_1)$ $\frac{1}{2}\rho g (z_1^2 - z_2^2) = \rho (V_1 z_1)\left(V_1 \frac{z_1}{z_2} - V_1\right) = \rho V_1^2 z_1 \left(\frac{z_1 - z_2}{z_2}\right)$
4. 因水躍前後水深改變（$z_1 \neq z_2$），等號兩邊同除以 $(z_1 - z_2)$： $\frac{1}{2}g (z_1 + z_2) = \frac{V_1^2 z_1}{z_2}$ 整理為以水深比 $\left(\frac{z_2}{z_1}\right)$ 為未知數之一元二次方程式： $\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^2 + \left(\frac{z_2}{z_1}\right) - \frac{2 V_1^2}{g z_1} = 0$ 引入入流福祿數之平方 $Fr_1^2 = \frac{V_1^2}{g z_1}$，解二次方程式取物理合理之正根，即得白朗傑方程式： $\frac{z_2}{z_1} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 8Fr_1^2}}{2}$

核心觀念

本題考查流體力學中的水力模型試驗（Hydraulic Model Testing）與福祿相似律（Froude Similarity Law）。

1. 適用條件： 溢洪道之流動屬於具自由液面（Free surface）的重力流，流場之動力特性主要受重力與慣性力主導，黏滯力影響相對次要，因此模型試驗必須遵循福祿數相似（Froude number similarity）。
2. 福祿數定義： $Fr = \frac{V}{\sqrt{gL}}$ 其中 $V$ 為特徵流速，$g$ 為重力加速度，$L$ 為特徵長度。
3. 比尺關係（Scale Ratios）： 定義比尺為模型與原型之比值（標記下標 $r = m/p$），給定長度比尺 $L_r = \frac{L_m}{L_p} = \frac{1}{15}$。 在相同重力場下（$g_m = g_p \implies g_r = 1$），由 $Fr_m = Fr_p$ 可推導各物理量比尺：

• 速度比尺：$V_r = \frac{V_m}{V_p} = L_r^{1/2}$
• 時間比尺：$T_r = \frac{t_m}{t_p} = \frac{L_r}{V_r} = \frac{L_r}{L_r^{1/2}} = L_r^{1/2}$
• 面積比尺：$A_r = L_r^2$
• 流量比尺：$Q_r = \frac{Q_m}{Q_p} = A_r V_r = L_r^2 \cdot L_r^{1/2} = L_r^{5/2}$

解題方法

題目圖四為水庫溢洪道之斷面與立體幾何示意圖，題文已給定幾何長度比尺 $\lambda = L_r = 1:15$、原型寬度 $B_p = 20\ \mathrm{m}$、原型洩洪量 $Q_p = 125\ \mathrm{m^3/s}$，解題資訊充足，採福祿相似律進行分小題推導與數值計算：

(一) 求模型寬度與流量

1. 模型寬度（$B_m$）： 溢洪道寬度屬幾何長度尺度，滿足幾何相似： $B_m = B_p \times L_r = 20\ \mathrm{m} \times \frac{1}{15} = \frac{4}{3}\ \mathrm{m} \approx 1.333\ \mathrm{m}$

2. 模型流量（$Q_m$）： 由連續方程式 $Q = A \cdot V$，流量比尺為： $Q_r = \frac{Q_m}{Q_p} = L_r^{5/2} = \left(\frac{1}{15}\right)^{5/2} = \frac{1}{15^2 \times \sqrt{15}} = \frac{1}{225\sqrt{15}}$ 代入原型流量 $Q_p = 125\ \mathrm{m^3/s}$： $Q_m = Q_p \times Q_r = 125 \times \frac{1}{225\sqrt{15}} = \frac{5}{9\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{27}\ \mathrm{m^3/s} \approx 0.1434\ \mathrm{m^3/s}$ （亦即約 $143.4\ \mathrm{L/s}$）

(二) 求相對於原型 $24$ 小時的模型試驗時間

由特徵時間定義 $T = \frac{L}{V}$，時間比尺為：

核心觀念

本題屬於管路流體力學之經典題型，評量考生整合連續方程式、能量方程式（含水頭損失）​以及穩態線性動量方程式（Reynolds Transport Theorem 控制體積動量守恆）​之綜合計算能力。核心公式與觀念如下：

1. 連續方程式（Continuity Equation）：不可壓縮流體於定徑管路中，平均流速維持常數： $Q = A_1 V_1 = A_2 V_2 \implies V_1 = V_2 = \frac{Q}{A}$
2. 能量方程式（Energy Equation）：流體沿水平圓弧管流動，無位能變化（$z_1 = z_2$），壓力損失 $\Delta p_L$ 即為兩截面之壓差： $\frac{p_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_L \implies p_1 = p_2 + \Delta p_L$
3. 線性動量方程式（Linear Momentum Equation）：針對控制體積（Control Volume, CV），作用於流體之外力合力等於流出與流入控制體積之動量通量差： $\sum \vec{F} = \sum (\dot{m} \vec{V})_{\text{out}} - \sum (\dot{m} \vec{V})_{\text{in}}$ 其中外力包括斷面壓力推力及管壁對流體之支承反力（$\vec{R}$）。依牛頓第三運動定律，水流施加於管壁之作用力為 $\vec{F}_{\text{water}} = -\vec{R}$。

解題方法

本題圖五為水平面上裝置之 $90^\circ$ 圓弧彎管（四分之一圓弧），水流自截面 $(1)$ 沿水平正 $x$ 方向流入，經管流轉向後，於截面 $(2)$ 沿垂直正 $y$ 方向排入大氣。取截面 $(1)$ 與 $(2)$ 間之管內水流為控制體積。

步驟一：幾何與運動學參數計算

1. 管徑 $D = 0.6\ \mathrm{m}$，流道截面積為： $A = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (0.6)^2 = 0.09\pi \approx 0.2827\ \mathrm{m^2}$
2. 體積流量 $Q = 85\ \mathrm{m^3/min} = \frac{85}{60}\ \mathrm{m^3/s} \approx 1.4167\ \mathrm{m^3/s}$。
3. 水流於截面 $(1)$ 與 $(2)$ 之平均流速： $V_1 = V_2 = V = \frac{Q}{A} = \frac{1.4167\ \mathrm{m^3/s}}{0.2827\ \mathrm{m^2}} \approx 5.01\ \mathrm{m/s}$
4. 質量流率（取常溫水密度 $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$）： $\dot{m} = \rho Q = 1000 \times 1.4167 = 1416.7\ \mathrm{kg/s}$ 流動之動量率（動態推力）為： $\dot{m} V = 1416.7\ \mathrm{kg/s} \times 5.01\ \mathrm{m/s} \approx 7098\ \mathrm{N} = 7.10\ \mathrm{kN}$

步驟二：截面壓力計算（採表壓力 Gauge Pressure）

控制體積外圍均受均勻大氣壓力 $p_{\text{atm}} = 101.3\ \mathrm{kPa}$ 作用，其封閉曲面積分為零，故全題採用表壓力計算合力：

1. 截面 $(2)$ 直接排出至大氣，其表壓力為： $p_{2,\text{gage}} = 0\ \mathrm{kPa}$
2. 由能量方程式，兩截面流速與高程相同，壓力差即為摩擦壓力損失： $p_{1,\text{gage}} - p_{2,\text{gage}} = \Delta p_L = 415\ \mathrm{kPa}$ $p_{1,\text{gage}} = 415\ \mathrm{kPa} = 4.15 \times 10^5\ \mathrm{N/m^2}$
3. 截面 $(1)$ 處之靜水壓力推力為：

核心觀念

本題考查環境工程中流體力學與水處理「重力沉降」的核心基礎理論——司托克定律（Stokes' Law）沉降終端速度之推導。涉及之核心觀念與定義包括：

1. 力平衡條件：砂粒在流體中等速沉降時，加速度為零，顆粒所受之向下重力（$W$）與向上之浮力（$F_B$）及流體拽引力（$F_D$，題意記為 $D$）達到力平衡。
2. 球形幾何體積與投影面積：直徑為 $D$ 的圓形（球形）砂粒，其體積為 $V = \frac{\pi}{6}D^3$，迎風投影面積為 $A = \frac{\pi}{4}D^2$。
3. 低雷諾數層流拽引力（Stokes Flow）：在極低雷諾數（$Re < 1$）之蠕動流（Creeping flow）條件下，拽引力係數 $C_D = \frac{24}{Re}$，將其代入流體動壓公式可還原為司托克拽引力公式 $F_D = 3\pi\mu U D$。

解題方法

為避免題意中「拽引力」與「砂粒粒徑」皆使用符號 $D$ 造成混淆，以下推導過程將水作用在砂粒的拽引力以 $F_D$（即題目之 $D$）標記，砂粒粒徑以 $D$ 標記。

步驟一：列出砂粒重量 $W$ 與浮力 $F_B$

直徑為 $D$ 之球形砂粒，其體積為： $V = \frac{\pi}{6}D^3$

已知水的密度為 $\rho_w$，砂粒比重為 $S$，故砂粒密度為 $\rho_s = S \cdot \rho_w$。

1. 砂粒重量 $W$（方向向下）： $W = \rho_s g V = S \rho_w g \left(\frac{\pi}{6}D^3\right)$
2. 水的浮力 $F_B$（方向向上，依阿基米德浮力原理，等於排開同體積水之重量）： $F_B = \rho_w g V = \rho_w g \left(\frac{\pi}{6}D^3\right)$

砂粒所受之淨重力（有效重力 $W_{net}$）為： $W - F_B = (S - 1)\rho_w g \left(\frac{\pi}{6}D^3\right)$

步驟二：推導拽引力 $F_D$

流體對運動物體之拽引力標準公式為： $F_D = C_D \cdot A \cdot \left(\frac{1}{2}\rho_w U^2\right)$

其中：

• $A$ 為砂粒之投影面積：$A = \frac{\pi}{4}D^2$
• $C_D$ 為拽引力係數，題目給定 $C_D = \frac{24}{Re}$
• $Re$ 為雷諾數：$Re = \frac{\rho_w U D}{\mu}$

將 $C_D$ 與 $Re$ 代入拽引力公式： $F_D = \left(\frac{24}{Re}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}D^2\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\rho_w U^2\right)$ $F_D = \left(\frac{24\mu}{\rho_w U D}\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4}D^2\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\rho_w U^2\right)$