109 高普考高考三級 環境工程 流體力學 考古題詳解

109 年・高普考・高考三級・環境工程
試題代碼 流體力學

第 一 題25 分

光滑表面的球體在靜止的水中釋放沉降，該球體比重為 1.021.02，直徑為 3030 公分，若阻力係數（drag coefficient）為 0.50.5。

(一) 試計算球體的終端速度。（20 分）

(二) 若球體表面是粗糙的，其終端速度會較光滑球面者大或小？為什麼？（5 分）

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核心觀念

球體達到終端速度時，速度不再改變，因此合力為零。球體向下的重力，扣除向上的浮力後，恰由流體阻力平衡：

W−FB=FDW-F_B=F_D

阻力係數定義為

CD=FD12ρVt2AC_D=\frac{F_D}{\frac12\rho V_t^2 A}

其中 ρ\rho 為水的密度、VtV_t 為終端速度、AA 為球體迎流投影面積。球體比重為 SG=ρs/ρSG=\rho_s/\rho，所以其有效向下重量為 (ρs−ρ)gV(\rho_s-\rho)g\mathcal{V}。

解題方法與計算

球體直徑 D=0.30 mD=0.30\ \mathrm{m}，體積與迎流投影面積分別為

V=πD36,A=πD24\mathcal{V}=\frac{\pi D^3}{6}, \qquad A=\frac{\pi D^2}{4}

終端速度時，浮力與重量之差等於阻力：

(ρs−ρ)gV=12CDρVt2A(\rho_s-\rho)g\mathcal{V} =\frac12 C_D\rho V_t^2A

利用 ρs=SG ρ\rho_s=SG\,\rho，可得

(SG−1)ρgπD36=12CDρVt2πD24(SG-1)\rho g\frac{\pi D^3}{6} =\frac12 C_D\rho V_t^2\frac{\pi D^2}{4}

約去共同項 ρ\rho、π\pi 及 D2D^2，整理得

Vt=4(SG−1)gD3CDV_t=\sqrt{\frac{4(SG-1)gD}{3C_D}}

代入 SG=1.02SG=1.02、D=0.30 mD=0.30\ \mathrm{m}、CD=0.5C_D=0.5、g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}：

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第 二 題25 分

某一大型風渦輪機模型在大型風洞中進行模型實驗，設現場風速為 50 km/h50\ \mathrm{km/h}，模型的幾何比例尺為 1:151:15，因風洞尺度夠大，且為降低空氣的壓縮性效應，故用相同的原型風速來進行模型試驗。

(一) 若原型風機的轉速為 5 rpm5\ \mathrm{rpm}，試決定試驗模型的風機轉速？（10 分）

(二) 若測量出模型的風機輸出功率為 2.22 kW2.22\ \mathrm{kW}，試計算原型的風機輸出功率？（15 分）

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核心觀念

本題考查風機模型的運動相似與功率相似。模型與原型使用相同流體，且風速相同；幾何比例尺為模型：原型 =1:15=1:15。在風洞試驗中，依幾何與運動相似關係，可由轉速比例求模型轉速，再由功率係數相同求原型功率。

解題方法

令長度比例為 λL=Lm/Lp=1/15\lambda_L=L_m/L_p=1/15，其中下標 mm、pp 分別代表模型與原型。風速相同，因此速度比例 λV=Vm/Vp=1\lambda_V=V_m/V_p=1。

（一）模型風機轉速

運動相似要求無因次轉速相同。由葉尖速比

ωDV\frac{\omega D}{V}

相同，且模型與原型風速相同，可得

ωmωp=DpDm=15.\frac{\omega_m}{\omega_p}=\frac{D_p}{D_m}=15.

因此

Nm=15Np=15(5)=75 rpm.N_m=15N_p=15(5)=75\ \mathrm{rpm}.

（二）原型風機輸出功率

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第 三 題25 分

如下圖所示，渠道中設置一閘門，渠道寬度為 4 m4\ \mathrm{m}，上游水深維持在 6 m6\ \mathrm{m}，下游水深維持在 20 cm20\ \mathrm{cm}，假設不計摩擦及能量損失，試求水流作用於該閘門的力量。（25 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題用伯努力方程式與連續方程式求流速，再以控制體的線性動量方程式求閘門受力。上、下游渠道寬度相同，流量連續；兩處自由液面皆為大氣壓，且題目指定不計能量損失，因此可由水深差求出流速變化。

解題方法

設上游、下游平均流速分別為 V1V_1、V2V_2，水深分別為 y1=6 my_1=6\ \mathrm{m}、y2=0.2 my_2=0.2\ \mathrm{m}。渠道寬度 b=4 mb=4\ \mathrm{m}。

先由連續方程式：

by1V1=by2V2⇒V2=30V1b y_1 V_1=b y_2 V_2 \quad\Rightarrow\quad V_2=30V_1

在兩處自由液面間套用伯努力方程式，取渠道底部為基準面：

y1+V122g=y2+V222gy_1+\frac{V_1^2}{2g} = y_2+\frac{V_2^2}{2g}

代入 V2=30V1V_2=30V_1：

V22−V12=2g(y1−y2)V_2^2-V_1^2=2g(y_1-y_2) (302−1)V12=2(9.81)(6−0.2)(30^2-1)V_1^2=2(9.81)(6-0.2)

因此：

V1=0.356 m/s,V2=10.67 m/sV_1=0.356\ \mathrm{m/s}, \qquad V_2=10.67\ \mathrm{m/s}

流量為：

Q=by1V1=4(6)(0.356)=8.54 m3/sQ=b y_1V_1 =4(6)(0.356) =8.54\ \mathrm{m^3/s}

取包含閘門附近水流的控制體，水平方向動量方程式為：

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第 四 題25 分

二維尤拉方程式（Euler equation）表示如下：

−∂p∂x=ρ(∂u∂t+u∂u∂x+w∂u∂z)-\frac{\partial p}{\partial x}=\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+w\frac{\partial u}{\partial z}\right)

−ρg−∂p∂z=ρ(∂w∂t+u∂w∂x+w∂w∂z)-\rho g-\frac{\partial p}{\partial z}=\rho\left(\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+w\frac{\partial w}{\partial z}\right)

其中 uu 與 ww 分別表示在 xx 與 zz 兩個方向的速度分量，gg 為重力加速度，pp 為壓力，ρ\rho 為流體密度，tt 為時間。若考慮流場為穩定流（steady）、非旋性（irrotational）且流體具不可壓縮性，試推導出柏努利方程式（Bernoulli equation）為：

pρ+12(u2+w2)+gz=常數\frac{p}{\rho}+\frac{1}{2}(u^2+w^2)+gz=\text{常數}

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核心觀念

本題考查由穩定、非旋性流動的尤拉方程式推導柏努利方程式。採用的條件如下：

  • 穩定流：∂u/∂t=∂w/∂t=0\partial u/\partial t=\partial w/\partial t=0。
  • 非旋性：二維流場的旋度為零，即 ∂w/∂x−∂u/∂z=0\partial w/\partial x-\partial u/\partial z=0。
  • 不可壓縮流體：密度 ρ\rho 為常數。

推導時，將尤拉方程式分別乘上速度分量，再相加，使慣性項合併成速度平方的梯度。

解題方法

穩定流下，原題的兩個尤拉方程式化為

−∂p∂x=ρ(u∂u∂x+w∂u∂z)-\frac{\partial p}{\partial x} =\rho\left(u\frac{\partial u}{\partial x} +w\frac{\partial u}{\partial z}\right) −ρg−∂p∂z=ρ(u∂w∂x+w∂w∂z)-\rho g-\frac{\partial p}{\partial z} =\rho\left(u\frac{\partial w}{\partial x} +w\frac{\partial w}{\partial z}\right)

第一式乘以 uu，第二式乘以 ww，再相加：

−u∂p∂x−w∂p∂z−ρgw=ρ(u2∂u∂x+uw∂u∂z+uw∂w∂x+w2∂w∂z)-u\frac{\partial p}{\partial x} -w\frac{\partial p}{\partial z} -\rho gw = \rho\left( u^2\frac{\partial u}{\partial x} +uw\frac{\partial u}{\partial z} +uw\frac{\partial w}{\partial x} +w^2\frac{\partial w}{\partial z} \right)

非旋性條件為

∂w∂x−∂u∂z=0⟹∂u∂z=∂w∂x\frac{\partial w}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial z}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial z} =\frac{\partial w}{\partial x}

因此兩個交叉項可合併：

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