107 高普考高考三級 水利工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查流體靜力學（Fluid Statics）​中差壓計（Differential Manometer）的液位平衡與流體靜水壓方程式應用，涉及之核心原理與公式如下：

1. 靜水壓方程式：在同一連續靜止流體中，同水平高度之壓力相等；隨深度增加，壓力依 $p = p_0 + \gamma h$ 增加（其中 $\gamma = \rho g$ 為流體單位重）。
2. 差壓計靜力平衡方程式：沿著管路自管 $A$ 沿指示液（水銀）推算至管 $B$，向下行進時壓力增加（$+\gamma \Delta z$），向上行進時壓力減少（$-\gamma \Delta z$）。
3. 不可壓縮流體體積守恆：水銀視為不可壓縮流體。在等截面均勻管徑的 U 型管中，左側管柱水銀面下降之體積必等於右側管柱水銀面上升之體積。若左側水銀面下降高度為 $\Delta h$，右側水銀面必上升 $\Delta h$，兩側水銀柱相對液位差變化量為 $2\Delta h$。
4. 差分攝動分析法：受壓前後列出初始與變動後兩次靜力平衡式相減，可直接消除初始未知之絕對高程與絕對壓力，直接求得水位移量。

解題方法

1. 符號定義與題意合理假設

若考卷圖形未個別註記流體性質與尺寸，依國家考試水利工程類科之標準命題慣例：

• 管 $A$ 與管 $B$ 均為水管，內部輸送流體為常溫水，其比重 $\text{SG}_w = 1.0$，單位重取 $\gamma_w = 9.80\ \mathrm{kN/m^3}$（若取 $\gamma_w = 9.81\ \mathrm{kN/m^3}$ 亦列出計算數值）。
• 壓力計指示液為水銀，其比重 $\text{SG}_m = 13.6$，單位重 $\gamma_m = 13.6\gamma_w$。
• U 型壓力計兩側垂直管柱截面積相等（均勻管徑），且管 $A$、$B$ 截面積遠大於壓力計管徑，主管內之液位位移可略去不計。

2. 初始靜力平衡（狀態 1）

設初始時管 $A$ 壓力為 $p_{A1}$，管 $B$ 壓力為 $p_{B1}$。 令管 $A$ 中心至左側水銀液面之垂直距離為 $y_A$； 兩側水銀柱初始高度差為 $h_m$； 右側水銀液面至管 $B$ 中心之垂直距離為 $y_B$。 沿流體靜壓路徑自管 $A$ 推至管 $B$： $p_{A1} + \gamma_w y_A - \gamma_m h_m - \gamma_w y_B = p_{B1}$

3. 壓力改變後之靜力平衡（狀態 2）

當管 $A$ 壓力增加 $\Delta p_A = 34.4\ \mathrm{kPa} = 34400\ \mathrm{Pa}$，管 $B$ 壓力維持固定（$\Delta p_B = 0$）：

• 增加之壓力推動左側水銀面下降 $\Delta h$。
• 依等截面積體積守恆，右側水銀面上升 $\Delta h$。
• 左管水柱長度延伸為 $y_A + \Delta h$。
• 兩側水銀柱之高度差變為 $h_m + 2\Delta h$。
• 右管水柱長度縮短為 $y_B - \Delta h$。

列出狀態 2 之流體靜力平衡方程式： $(p_{A1} + \Delta p_A) + \gamma_w (y_A + \Delta h) - \gamma_m (h_m + 2\Delta h) - \gamma_w (y_B - \Delta h) = p_{B1}$

4. 聯立相減推導關鍵關係式

將狀態 2 之方程式減去狀態 1 之方程式： $\Delta p_A + \gamma_w \Delta h - 2\gamma_m \Delta h + \gamma_w \Delta h = 0$

整理得： $\Delta p_A = (2\gamma_m - 2\gamma_w) \Delta h = 2(\gamma_m - \gamma_w) \Delta h = 2(\text{SG}_m - 1)\gamma_w \Delta h$

解出左側柱水銀之高度改變值 $\Delta h$： $\Delta h = \frac{\Delta p_A}{2(\text{SG}_m - 1)\gamma_w}$

核心觀念

本題屬於水利工程類科《流體力學》中「非黏性不可壓縮流體之定常流動」經典題型，核心考點包含以下三個理論：

1. 連續方程式（質量守恆）： 對於不可壓縮流體，流動滿足： $Q = A_1 V_1 = A_2 V_2$ 當水槽水位維持固定高度 $h$ 時，表示槽內蓄水量不隨時間改變（$\frac{\mathrm{d}V_{\text{tank}}}{\mathrm{d}t} = 0$），系統處於定常流（Steady Flow）​狀態，流入流量必等於流出流量： $Q_{\text{in}} = Q_{\text{out}}$

2. 白努利方程式（動能與位能守恆）： 沿著流線在理想流體（無黏性、不可壓縮、無能量損失）中，能量守恆式為： $\frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{V_2^2}{2g}$

3. 托里切利定理（Torricelli's Law）及其修正： 若出流口面積遠小於水槽截面積（$d \ll D$），水槽自由液面下降速度可忽略（$V_1 \approx 0$），出口流速即為 $V_2 \approx \sqrt{2gh}$。若考慮水槽截面積的有限尺寸，則由白努利方程式與連續方程式聯立求得精確流速解。

解題方法

步驟一：設定基準面與邊界條件

以出流口截面中心為基準面（Datum）：

• 剖面 1（水槽自由液面）：
• 壓力：與大氣接觸，取表壓力 $p_1 = 0$
• 位置水頭：$z_1 = h = 0.20\ \mathrm{m}$
• 截面積：$A_1 = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (0.20)^2 = 0.01\pi\ \mathrm{m}^2$
• 剖面 2（出流口射流截面）：
• 壓力：射流流出進入大氣，取表壓力 $p_2 = 0$
• 位置水頭：$z_2 = 0$
• 截面積：$A_2 = \frac{\pi}{4} d^2 = \frac{\pi}{4} (0.01)^2 = 2.5 \times 10^{-5}\pi\ \mathrm{m}^2$

步驟二：由連續方程式建立速度關係

由不可壓縮流之連續方程式： $A_1 V_1 = A_2 V_2$ 可得液面速度 $V_1$ 與出流速度 $V_2$ 之關係： $V_1 = \frac{A_2}{A_1} V_2 = \left(\frac{d}{D}\right)^2 V_2 = \left(\frac{0.01}{0.20}\right)^2 V_2 = \left(\frac{1}{20}\right)^2 V_2 = \frac{1}{400} V_2 = 0.0025 V_2$

步驟三：代入白努利方程式求解出流速度 $V_2$

在剖面 1 與剖面 2 之間列白努利方程式： $\frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{V_2^2}{2g}$

代入邊界條件 $p_1 = p_2 = 0$ 與 $z_1 - z_2 = h$： $h + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{V_2^2}{2g}$

將 $V_1 = \left(\frac{d}{D}\right)^2 V_2$ 代入上式： $h + \frac{1}{2g}\left[\left(\frac{d}{D}\right)^2 V_2\right]^2 = \frac{V_2^2}{2g}$ $h = \frac{V_2^2}{2g} \left[1 - \left(\frac{d}{D}\right)^4\right]$ 解得理論出流流速： $V_2 = \sqrt{\frac{2gh}{1 - \left(\frac{d}{D}\right)^4}}$

檢驗面積比四次方項： $\left(\frac{d}{D}\right)^4 = \left(\frac{1}{20}\right)^4 = \frac{1}{160000} = 6.25 \times 10^{-6}$

核心觀念

本題考查明渠流（Open Channel Flow）中極為經典的水躍現象（Hydraulic Jump），核心觀念包含：

1. 連續方程式（Continuity Equation）：不可壓縮流體在矩形明渠斷面間之質量守恆，$q = V_1 z_1 = V_2 z_2$。
2. 動量方程式（Linear Momentum Equation）：水躍為急遽變水流，水頭損失甚鉅且紊流劇烈，無法使用能量方程式求解，必須取水躍段為控制容積，藉由靜水壓力差與動量通量差之平衡推導共軛水深（Sequent Depths）。
3. 白朗格方程式（Bélanger Equation）：矩形渠道水躍前、後水深之共軛關係式： $\frac{z_2}{z_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right)$
4. 福祿數（Froude Number, $Fr$）與水躍存在條件： $Fr = \frac{V}{\sqrt{g z}}$ 水躍在物理學理上必須是由超臨界流（急流，$Fr_1 > 1$）轉變為亞臨界流（緩流，$Fr_2 < 1$），且伴隨機械能消散（能量損失 $\Delta H > 0$）。

解題方法

1. 控制方程式推導

取兩斷面間之水躍段為控制容積，設渠道為水平矩形渠道，單位寬度為 $b=1$，忽略短距離內之渠底摩擦阻力：

• 連續方程式： $q = V_1 z_1 = V_2 z_2 \implies V_2 = V_1 \frac{z_1}{z_2}$

• x 方向動量方程式： $\sum F_x = \dot{m} (V_2 - V_1) = \rho q (V_2 - V_1)$ 作用於控制容積上的外力為兩側之靜水壓力： $P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho g z_1^2 - \frac{1}{2} \rho g z_2^2$ 代入動量方程式： $\frac{1}{2} \rho g (z_1^2 - z_2^2) = \rho (V_1 z_1) \left( V_1 \frac{z_1}{z_2} - V_1 \right) = \rho V_1^2 z_1 \left( \frac{z_1 - z_2}{z_2} \right)$ 兩邊同除以 $\rho (z_1 - z_2)$（因 $z_1 \neq z_2$）： $\frac{1}{2} g (z_1 + z_2) = \frac{V_1^2 z_1}{z_2}$ 整理可得無因次二次方程式： $\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^2 + \left(\frac{z_2}{z_1}\right) - \frac{2 V_1^2}{g z_1} = 0$ 定義躍前福祿數 $Fr_1 = \frac{V_1}{\sqrt{g z_1}}$，取正根即得白朗格公式： $\frac{z_2}{z_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right)$

2. 數值代入計算

取重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$（若取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$，結果至小數後三位相同）：

• 計算躍前福祿數 $Fr_1$：

核心觀念

本題旨在測驗明渠水力學與水工模型試驗中的水力相似律（Hydraulic Similitude），特別是開渠自由液面重力流所適用的福祿數相似律（Froude Number Similarity）。

1. 幾何相似（Geometric Similarity）： 模型（標記 $m$）與原型（標記 $p$）所有對應線性尺寸之比值為一常數，定義長度比例尺（Length Scale Ratio）為： $\lambda_L = \frac{L_m}{L_p} = \frac{1}{15}$

2. 動力相似（Dynamic Similarity）與福祿數相似： 水庫溢洪道水流具自由液面，重力為支配流動的主導力量，黏滯力、表面張力相對可忽略，因此動力相似要求兩者的福祿數相等： $\mathrm{Fr}_m = \mathrm{Fr}_p \implies \frac{V_m}{\sqrt{g_m L_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{g_p L_p}}$ 在同一重力場下，$g_m = g_p$，故速度比例尺 $\lambda_V$ 為： $\lambda_V = \frac{V_m}{V_p} = \sqrt{\frac{L_m}{L_p}} = \lambda_L^{1/2}$

3. 導出物理量比例尺：

• 流量比例尺（Discharge Scale Ratio）： 由連續方程式 $Q = A \cdot V$，斷面積比 $\lambda_A = \lambda_L^2$，故： $\lambda_Q = \frac{Q_m}{Q_p} = \lambda_A \cdot \lambda_V = \lambda_L^2 \cdot \lambda_L^{1/2} = \lambda_L^{5/2}$
• 時間比例尺（Time Scale Ratio）： 由運動學定義 $T = \frac{L}{V}$，故： $\lambda_T = \frac{T_m}{T_p} = \frac{\lambda_L}{\lambda_V} = \frac{\lambda_L}{\lambda_L^{1/2}} = \lambda_L^{1/2}$

解題方法

(一) 求模型寬度與流量

1. 計算模型寬度 $B_m$： 依幾何相似關係，溢洪道寬度 $B_p = 20\ \mathrm{m}$，比例尺 $\lambda_L = \frac{1}{15}$： $B_m = B_p \times \lambda_L = 20\ \mathrm{m} \times \frac{1}{15} = \frac{4}{3}\ \mathrm{m} \approx 1.333\ \mathrm{m}$

2. 計算模型流量 $Q_m$： 原型設計洩洪量 $Q_p = 125\ \mathrm{m^3/s}$。 根據福祿數相似導出的流量比： $\lambda_Q = \lambda_L^{5/2} = \left(\frac{1}{15}\right)^{5/2} = \frac{1}{15^{2.5}} = \frac{1}{225\sqrt{15}}$ 代入計算模型流量： $Q_m = Q_p \times \lambda_Q = 125 \times \left(\frac{1}{15}\right)^{5/2} = \frac{125}{225\sqrt{15}} = \frac{5}{9\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{27}\ \mathrm{m^3/s}$ 取數值近似值（$\sqrt{15} \approx 3.8730$）： $Q_m \approx 0.1434\ \mathrm{m^3/s} = 143.4\ \mathrm{L/s}$

(二) 求相對於原型 24 小時之模型試驗時間

核心觀念

本題屬於流體力學中管流動力學的典型考題，評量考生整合「連續方程式」、「能量方程式（含水頭損失）」與「雷諾傳輸定理之線性動量方程式（控制體積法）」的能力：

1. 連續方程式（不可壓縮流）： $Q = A_1 V_1 = A_2 V_2$
2. 能量方程式（水平平面裝置）： 流體於水平面上流動時，無高程差（$z_1 = z_2$）。管徑均勻則流速相等（$V_1 = V_2$），壓力損失 $\Delta p_{\text{loss}}$ 直接對應兩截面間之壓力差： $p_1 - p_2 = \Delta p_{\text{loss}}$
3. 線性動量方程式（Reynolds Transport Theorem）： 針對定常流之控制體積（Control Volume, CV），作用於流體之外力合力等於流體動量通量之淨流出率： $\sum \vec{F} = \iint_{CS} \vec{V} (\rho \vec{V} \cdot d\vec{A}) = \dot{m} (\vec{V}_2 - \vec{V}_1)$ 其中外力包含截面壓力作用力與管壁施於流體之反作用力 $\vec{R}$。依牛頓第三運動定律，水流施於管壁之作用力為 $\vec{F}_{\text{fluid}} = -\vec{R}$。

解題方法

1. 幾何配置與圖形條件設定

圖五為安裝於水平面之圓弧彎管（曲率中心位於第一象限）。依考卷圖形標準幾何標示：

• 截面 $(1)$ 位於入口，水流沿水平方向（$+x$ 方向）流入：$\vec{V}_1 = V_1 \hat{i}$。
• 截面 $(2)$ 位於出口，圓弧管轉折 $90^\circ$，水流沿垂直向上方向（$+y$ 方向）排出至大氣：$\vec{V}_2 = V_2 \hat{j}$。
• 水流在水平面內流動，重力方向垂直於流動平面（朝 $-z$ 方向），在 $x-y$ 平面上無分量。

2. 流速與質量流率計算

• 管徑 $D = 0.6\ \mathrm{m}$，截面積： $A = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (0.6)^2 = 0.09\pi \approx 0.2827\ \mathrm{m^2}$
• 流量 $Q = 85\ \mathrm{m^3/min} = \frac{85}{60}\ \mathrm{m^3/s} \approx 1.4167\ \mathrm{m^3/s}$
• 取水之密度 $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$，流速大小為： $V_1 = V_2 = V = \frac{Q}{A} = \frac{1.4167}{0.2827} \approx 5.011\ \mathrm{m/s}$
• 質量流率： $\dot{m} = \rho Q = 1000 \times 1.4167 = 1416.7\ \mathrm{kg/s}$
• 動量流率項： $\dot{m} V = 1416.7 \times 5.011 \approx 7099\ \mathrm{N} = 7.10\ \mathrm{kN}$

3. 截面壓力計算（採用表壓力）

出口端截面 $(2)$ 直接排入大氣，故截面 $(2)$ 之表壓力為零： $p_{2,\text{gage}} = 0\ \mathrm{kPa}$ 兩截面間管徑不變且無高程差，因流體摩擦產生之壓力損失為 $\Delta p_{\text{loss}} = 415\ \mathrm{kPa}$： $p_{1,\text{gage}} - p_{2,\text{gage}} = \Delta p_{\text{loss}} = 415\ \mathrm{kPa}$ $p_{1,\text{gage}} = 415\ \mathrm{kPa} = 4.15 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$

核心觀念

本題旨在測驗黏性流體力學中低雷諾數蠕動流（Creeping Flow / Stokes Flow）​與粒子沉降終端速度（Terminal Settling Velocity）​之推導能力。核心觀念包含：

1. 力的平衡條件：球形顆粒以等速沉降時，顆粒處於動態平衡（加速度 $a=0$），向下之重力等於向上之浮力與流體拽引力之和。
2. 球形幾何性質：粒徑為 $D$ 之球體，其體積 $\mathcal{V}=\frac{\pi}{6}D^3$，迎風投影面積（Frontal Area）$A_p=\frac{\pi}{4}D^2$。
3. 拽引力（Drag Force）與拽引力係數：由動壓（Dynamic Pressure）與投影面積定義之拽引力公式結合層流拽引力係數 $C_D = \frac{24}{Re}$，推導出符合斯托克司定律（Stokes' Law）之阻力公式。

解題方法

1. 受力平衡方程式建立

當砂粒在水中以等速沉降速度 $U$ 向下運動時，加速度為零，垂直方向受力達靜態平衡： $W = F_B + F_D$

式中：

• $W$ 為砂粒自身重量（向下）
• $F_B$ 為水對砂粒施加之浮力（向上）
• $F_D$ 為水對砂粒施加之拽引力（向上，題目原文記為 $D$，為免與粒徑 $D$ 混淆，推導中拽引力以 $F_D$ 表示）

移項可得淨沉降動力（水下有效重量）與拽引力平衡： $F_D = W - F_B$

2. 計算砂粒重量 $W$ 與浮力 $F_B$

粒徑為 $D$ 之球形砂粒，其體積為： $\mathcal{V} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{D}{2}\right)^3 = \frac{\pi}{6}D^3$

• 砂粒密度為 $\rho_s = S \rho_w$（$S$ 為砂粒比重，$\rho_w$ 為水的密度），故砂粒重量為： $W = \rho_s g \mathcal{V} = S \rho_w g \left(\frac{\pi}{6}D^3\right)$
• 根據阿基米德浮力原理，浮力等於排開同體積水之重量： $F_B = \rho_w g \mathcal{V} = \rho_w g \left(\frac{\pi}{6}D^3\right)$
• 兩者相減得到砂粒之水下有效重量： $W - F_B = (S - 1)\rho_w g \left(\frac{\pi}{6}D^3\right)$

3. 計算流體拽引力 $F_D$

流體對運動球體之拽引力定義為： $F_D = C_D \cdot A_p \cdot \left(\frac{1}{2}\rho_w U^2\right)$

其中：

• 迎風投影面積 $A_p = \frac{\pi}{4}D^2$
• 題目給定層流條件下之拽引力係數 $C_D = \frac{24}{Re}$
• 雷諾數 $Re = \frac{\rho_w U D}{\mu}$

將 $Re$ 代入 $C_D$ 可得： $C_D = \frac{24}{\dfrac{\rho_w U D}{\mu}} = \frac{24\mu}{\rho_w U D}$