107 高普考高考三級 水利工程 水資源工程學 考古題詳解

核心觀念

本題評量水利工程中都市排水與集水區水文設計的核心工具——合理化公式（Rational Method）​之綜合應用，涵蓋以下關鍵觀念與公式：

1. 合理化公式（Rational Formula）： 在工程實務與國家考試慣用公制單位下，合理化公式表示為： $Q = \frac{1}{360} C \cdot i \cdot A$ 式中：

• $Q$：出口之設計尖峰流量（$\mathrm{m^3/sec}$）。
• $C$：逕流係數（無因次）。若集水區由不同地表組成，採用加權逕流係數 $C_w = \frac{\sum C_j A_j}{\sum A_j}$。
• $i$：降雨強度（$\mathrm{mm/hr}$），依強度—延時關係式 $i = \frac{510}{t}$ 計算。
• $A$：集水區面積（$\mathrm{ha}$，公頃，$1\ \mathrm{ha} = 10{,}000\ \mathrm{m^2}$）。
• $\frac{1}{360}$：單位換算常數（$\frac{10{,}000\ \mathrm{m^2} \times 10^{-3}\ \mathrm{m}}{3600\ \mathrm{sec}} = \frac{1}{360}$）。

2. 集流時間（Time of Concentration, $t_c$）的構成： 集水區之集流時間定義為水力最遠點之雨水流達集水區出口所需的時間。包含：

• 流入時間（Inlet Time / Overland Flow Time, $t_o$）：地表漫流至排水溝渠的時間。
• 流達時間（Channel Flow Travel Time, $t_d$）：水流在排水溝渠內流動至出口的時間，$t_d = \frac{L}{V}$。 $t_c = t_o + t_d$

3. 部分面積效應（Partial Area Effect）檢驗： 當集水區由性質懸殊之次分區組成（例如：面積小、高逕流係數、短集流時間的停車場，對比面積大、低逕流係數、長集流時間的公園）時，必須檢驗：

• 全區同時貢獻（長延時、低降雨強度、全區面積）。
• 僅快速次分區貢獻（短延時、高降雨強度、部分面積）。 取兩者推求流量較大者作為出口之設計流量。

解題方法

步驟一：計算次分區面積與水文特性

排水溝渠長 $400\ \mathrm{m}$ 貫穿集水區，將集水區劃分為停車場與公園兩個區塊：

• 分區 1（停車場）：
• 面積 $A_1 = 400\ \mathrm{m} \times 50\ \mathrm{m} = 20{,}000\ \mathrm{m^2} = 2.0\ \mathrm{ha}$
• 逕流係數 $C_1 = 0.90$
• 地表流入時間 $t_{o1} = 5\ \mathrm{min}$
• 分區 2（公園）：
• 面積 $A_2 = 400\ \mathrm{m} \times 300\ \mathrm{m} = 120{,}000\ \mathrm{m^2} = 12.0\ \mathrm{ha}$
• 逕流係數 $C_2 = 0.40$
• 地表流入時間 $t_{o2} = 40\ \mathrm{min}$
• 總集水面積： $A_{\text{total}} = A_1 + A_2 = 2.0 + 12.0 = 14.0\ \mathrm{ha}$

步驟二：計算排水溝渠之水流流達時間 $t_d$

水流自溝渠最上游端流至出口處，長度 $L = 400\ \mathrm{m}$，流速 $V = 0.80\ \mathrm{m/sec}$： $t_d = \frac{L}{V} = \frac{400\ \mathrm{m}}{0.80\ \mathrm{m/sec}} = 500\ \mathrm{sec} = \frac{500}{60}\ \mathrm{min} = \frac{25}{3}\ \mathrm{min} \approx 8.333\ \mathrm{min}$

步驟三：評估各分區到達出口的最長集流時間

• 停車場最遠點至出口之時間： $t_{c1} = t_{o1} + t_d = 5 + \frac{25}{3} = \frac{40}{3}\ \mathrm{min} \approx 13.333\ \mathrm{min}$
• 公園區最遠點至出口之時間： $t_{c2} = t_{o2} + t_d = 40 + \frac{25}{3} = \frac{145}{3}\ \mathrm{min} \approx 48.333\ \mathrm{min}$

核心觀念

本題為開渠水力學與防洪工程之複合斷面水力計算，核心在於利用均勻流動水力公式推求設計水深，進而決定防洪結構物尺度。主要涵蓋以下觀念與公式：

1. 曼寧均勻流公式（Manning's Formula）： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_0^{1/2}$ 式中，$Q$ 為流量（$\mathrm{m^3/s}$），$n$ 為曼寧粗糙係數，$A$ 為通水斷面積（$\mathrm{m^2}$），$R = \frac{A}{P}$ 為水力半徑（$\mathrm{m}$），$P$ 為潤周（$\mathrm{m}$），$S_0$ 為渠底坡度。在渠道糙度 $n$ 與渠坡 $S_0$ 不變的前提下，流量特性滿足： $\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{A_2 R_2^{2/3}}{A_1 R_1^{2/3}}$
2. 梯形渠道幾何特性：

• 邊坡角 $\theta = 30^\circ$（與水平面夾角），側坡水平對垂直比 $z = \cot 30^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$。
• 渠槽原深 $h_0$ 與底寬 $b$、頂寬 $T$ 之關係：$T = b + 2 z h_0 \implies h_0 = \frac{T - b}{2 z}$。

3. 複合斷面（梯形渠槽加頂部直立防洪牆）之幾何計算： 當水深超過梯形渠頂高程時，水流進入兩側直立防洪牆區間（寬度為原渠頂寬 $T = 24.5\ \mathrm{m}$），其斷面積與潤周需採分段疊加。
4. 防洪牆高度定義： 防洪牆高度包含牆內水深增量與出水高度（Freeboard, $F_b$）： $H_{\text{wall}} = \Delta y + F_b$

解題方法

步驟一：推求原梯形渠道之槽深 $h_0$

渠道底寬 $b = 10.0\ \mathrm{m}$，頂寬 $T = 24.5\ \mathrm{m}$，側邊坡角 $\theta = 30^\circ$： $z = \cot 30^\circ = \sqrt{3} \approx 1.73205$ 由頂寬幾何關係 $T = b + 2 z h_0$，求得原梯形斷面之渠槽深度 $h_0$： $h_0 = \frac{24.5 - 10.0}{2 \times \sqrt{3}} = \frac{14.5}{2\sqrt{3}} \approx 4.186\ \mathrm{m}$

步驟二：利用已知洪水狀況求通水能力指標

過去洪水紀錄流量 $Q_1 = 400\ \mathrm{m^3/s}$ 時，水深 $y_1 = 4.0\ \mathrm{m}$。 因為 $y_1 = 4.0\ \mathrm{m} < h_0 = 4.186\ \mathrm{m}$，水流完全在原梯形斷面之內：

• 水面寬度： $T_1 = b + 2 z y_1 = 10.0 + 2 \times \sqrt{3} \times 4.0 = 10.0 + 13.856 = 23.856\ \mathrm{m}$
• 通水斷面積： $A_1 = \frac{b + T_1}{2} \times y_1 = \frac{10.0 + 23.856}{2} \times 4.0 = 67.712\ \mathrm{m^2}$
• 潤周： $P_1 = b + \frac{2 y_1}{\sin 30^\circ} = 10.0 + \frac{2 \times 4.0}{0.5} = 10.0 + 16.0 = 26.0\ \mathrm{m}$
• 水力半徑： $R_1 = \frac{A_1}{P_1} = \frac{67.712}{26.0} \approx 2.604\ \mathrm{m}$
• 通水特性值： $A_1 R_1^{2/3} = 67.712 \times (2.604)^{2/3} = 67.712 \times 1.8930 \approx 128.18\ \mathrm{m^{8/3}}$

步驟三：建立設計洪水量 $Q_2 = 700\ \mathrm{m^3/s}$ 之水力關係

根據曼寧公式，渠道坡度及糙度維持定值，兩組水流條件滿足正比關係： $A_2 R_2^{2/3} = A_1 R_1^{2/3} \times \left(\frac{Q_2}{Q_1}\right) = 128.18 \times \left(\frac{700}{400}\right) = 128.18 \times 1.75 = 224.32\ \mathrm{m^{8/3}}$

步驟四：求解直立防洪牆區間之水深 $\Delta y$

原梯形渠道滿管（水深達 $h_0 = 4.186\ \mathrm{m}$）時：

• 梯形部斷面積：

核心觀念

本題考核農田灌溉之「土壤鹽分平衡（Salt Balance）」與「洗鹽需求（Leaching Requirement, $LR$）」觀念。

1. 根生層水量平衡原理（Water Balance）： 在穩定狀態下，進入作物根生層的水量等於離開根生層的水量。 $I + R_e = CU + D_d$

• $I$：灌溉用水量（Irrigation water depth）
• $R_e$：有效降雨量（Effective rainfall）
• $CU$：作物需水量／耗水量（Consumptive use）
• $D_d$：洗鹽所需之深層排水量（Deep percolation / Drainage water depth）

2. 根生層鹽分平衡原理（Salt Balance）： 欲持續維持土壤根生層之鹽分濃度恆定，進入根生層的鹽分總量必須等於隨深層排水帶出根生層的鹽分總量（降雨視為不含鹽分之純水，即 $C_r = 0$；深層滲出水之鹽分濃度即等於土壤平衡鹽分濃度 $C_d = C_s$）。 $I \cdot C_i + R_e \cdot C_r = D_d \cdot C_s \implies I \cdot C_i = D_d \cdot C_s$

• $C_i$：灌溉用水鹽分濃度
• $C_s$：土壤容許平衡鹽分濃度（排水鹽分濃度）
• $C_r$：降雨鹽分濃度（一般取 $0\ \mathrm{mg/L}$）

3. 洗鹽率（Leaching Fraction / Leaching Requirement, $LR$）： $LR = \frac{D_d}{I} = \frac{C_i}{C_s}$

解題方法

步驟一：整理已知條件

• 土壤維持之鹽分濃度：$C_s = 1000\ \mathrm{mg/L}$
• 灌溉用水所含鹽分濃度：$C_i = 380\ \mathrm{mg/L}$
• 作物需水量：$CU = 750\ \mathrm{mm}$
• 有效降雨量：$R_e = 600\ \mathrm{mm}$
• 降雨鹽分濃度：$C_r = 0\ \mathrm{mg/L}$

步驟二：建立聯立方程式

1. 由鹽分平衡條件求排水量 $D_d$ 與灌溉水量 $I$ 的關係： $I \cdot C_i = D_d \cdot C_s$ $D_d = I \cdot \frac{C_i}{C_s} = I \cdot \frac{380}{1000} = 0.38\,I$

核心觀念

本題考查水文學與水資源工程中的時間－面積法（Time-Area Method）​與等時線法（Isochrone Method）​之基本原理與歷線卷積推求。

1. 時間－面積關係與 S 歷線： 在長延時均勻降雨情況下，集流時間小於或等於 $t$ 的區域皆會產生逕流流達出口。因此，當時出口的流量與當時已開始貢獻之集水面積成正比。累積貢獻面積隨時間之變化曲線即對應於集水區的 S 歷線形狀。
2. 等時分區面積增量（Isochronal Area Increment）： 集水區依流達出口所需的時間劃分為數個等時區間（$\Delta t = 5\text{ min}$），相鄰等時線之間的淨面積增量 $\Delta A_k$ 代表在降雨開始後第 $k$ 個時段內，降雨需歷時 $(k-1)\Delta t$ 至 $k\Delta t$ 才能到達出口的區域面積。
3. 單位換算與流量計算： 降雨強度 $I$ 單位為 $\mathrm{mm/hr}$，面積 $\Delta A$ 單位為公頃（$\mathrm{ha}$），流量 $Q$ 單位為 $\mathrm{m^3/s}$（$\mathrm{cms}$）。 由合理化公式原理轉換單位： $1\text{ mm/hr} \times 1\text{ ha} = \frac{10^{-3}\text{ m}}{3600\text{ s}} \times 10^{4}\text{ m}^2 = \frac{10}{3600}\text{ m}^3\text{/s} = \frac{1}{360}\text{ m}^3\text{/s}$ 故任一降雨強度 $I$（$\mathrm{mm/hr}$）降於面積 $\Delta A$（$\mathrm{ha}$）所產生的出口流量為： $Q = \frac{I \times \Delta A}{360} \quad (\mathrm{m^3/s})$
4. 線性疊加原理（離散卷積）： 直接逕流歷線在時間 $t = n\Delta t$ 之瞬時流量 $Q_n$ 為各時段降雨強度與相對應抵達出口之等時分區面積增量乘積之總和： $Q_n = \frac{1}{360} \sum_{k=1}^{n} I_{n-k+1} \cdot \Delta A_k$

解題方法

步驟一：計算各等時區間之面積增量（$\Delta A$）

時段間隔 $\Delta t = 5\text{ min}$，依題目所給累積貢獻面積求後項與前項之差：

集水區總面積 $\sum \Delta A_k = 3 + 6 + 16 + 26 + 40 + 9 = 100\text{ ha}$。

步驟二：整理降雨強度歷程（$I$）

題目給定降雨延時與強度，注意 $15-25\text{ min}$ 題目未列出，代表該時段無有效降雨（$I = 0\text{ mm/hr}$）：

步驟三：卷積計算各時間點之逕流流量

降雨延時 $t_r = 30\text{ min}$，集水區最長集流時間 $t_c = 30\text{ min}$，總逕流基期為 $t_b = t_r + t_c = 60\text{ min}$。

令 $S_n = \sum I_{n-k+1} \cdot \Delta A_k$，則流量 $Q_n = \frac{S_n}{360}$：

1. $t = 0\text{ min}$： $Q_0 = 0\text{ m}^3\text{/s}$
2. $t = 5\text{ min}$： $S_1 = I_1 \Delta A_1 = 132 \times 3 = 396 \implies Q_1 = \frac{396}{360} = 1.10\text{ m}^3\text{/s}$
3. $t = 10\text{ min}$： $S_2 = I_1 \Delta A_2 + I_2 \Delta A_1 = 132 \times 6 + 84 \times 3 = 792 + 252 = 1044 \implies Q_2 = \frac{1044}{360} = 2.90\text{ m}^3\text{/s}$
4. $t = 15\text{ min}$： $S_3 = I_1 \Delta A_3 + I_2 \Delta A_2 + I_3 \Delta A_1 = 132 \times 16 + 84 \times 6 + 60 \times 3 = 2112 + 504 + 180 = 2796 \implies Q_3 = \frac{2796}{360} \approx 7.77\text{ m}^3\text{/s}$
5. $t = 20\text{ min}$：

核心觀念

本題屬於水資源工程學與工程經濟學中的防洪工程最適設計規模評估（互斥方案決策），主要涉及以下觀念與公式：

1. 年超越機率（Annual Exceedance Probability, $P$）與重現期（Return Period, $T$）： 重現期為 $T$ 年的洪水量，在任一年內被超越的機率為： $P = \frac{1}{T}$
2. 年期望洪災損失（Expected Annual Damage, $EAD$）： 當洪水超過設計標準時造成固定損失 $L = 600$ 百萬元，其年期望損失為： $EAD = P \times L = \frac{600}{T}\text{（百萬元/年）}$
3. 經濟決策準則：

• 總年成本最小化法（Minimum Total Annual Cost Criterion）： 防洪工程的總年成本（$TC$）包含年投資與維修成本（$C$）及年期望洪災損失（$EAD$）： $TC = C + EAD$ 經濟最適方案即為使 $TC$ 達到最小的方案。
• 淨年效益最大化法（Maximum Net Annual Benefit Criterion）： 以現況（無計畫）為基準，方案之年效益 $B$ 定義為「減少之年期望洪災損失」（$B = EAD_0 - EAD$），年增額成本 $\Delta C = C - C_0$。淨年效益為： $NB = B - \Delta C = TC_0 - TC$ 極大化淨效益 $NB$ 與極小化總年成本 $TC$ 在數學上完全等價。
• 增額益本比法（Incremental Benefit-Cost Ratio, $\Delta B / \Delta C$）： 對互斥方案依成本由小到大排序，追加投資的條件為： $\frac{\Delta B}{\Delta C} \ge 1.0$

解題方法

步驟一：評估現況（既有河道，無改善方案）之成本與損失

• 現況保護標準：$T_0 = 5$ 年。
• 現況年超越機率：$P_0 = \frac{1}{5} = 0.20$。
• 現況年維修成本：$C_0 = 4$ 百萬元/年。
• 現況年期望洪災損失：$EAD_0 = 600 \times \frac{1}{5} = 120$ 百萬元/年。
• 現況總年成本： $TC_0 = C_0 + EAD_0 = 4 + 120 = 124\text{（百萬元/年）}$

步驟二：計算各興建方案之年期望損失與總年成本

各保護計畫方案的年成本 $C$ 已包含興建與未來所有維修費用：

1. $10$ 年方案：

• $EAD_{10} = \frac{600}{10} = 60$ 百萬元/年
• $TC_{10} = 30 + 60 = 90$ 百萬元/年

2. $20$ 年方案：

• $EAD_{20} = \frac{600}{20} = 30$ 百萬元/年
• $TC_{20} = 40 + 30 = 70$ 百萬元/年

3. $50$ 年方案：

• $EAD_{50} = \frac{600}{50} = 12$ 百萬元/年
• $TC_{50} = 50 + 12 = 62$ 百萬元/年

4. $100$ 年方案：

• $EAD_{100} = \frac{600}{100} = 6$ 百萬元/年
• $TC_{100} = 65 + 6 = 71$ 百萬元/年

5. $200$ 年方案：

• $EAD_{200} = \frac{600}{200} = 3$ 百萬元/年
• $TC_{200} = 75 + 3 = 78$ 百萬元/年

步驟三：彙整各方案經濟分析表