107 高普考高考三級 水利工程 水文學 考古題詳解

核心觀念

本題考核公職水利工程類科之四大基礎水文領域核心名詞，各小題配分 5 分，作答須掌握精確之「物理機制」、「幾何或數學定義式」及「工程水文應用」：

1. 拘限地下水（Confined groundwater）：地下水水文學中含水層（Aquifer）分類、孔隙水壓力機制、測壓水頭面（Piezometric surface）與儲水係數（Storativity）特性。
2. 河川流量測定之中斷面法（Middle section method）：水文測驗中流速面積法（Velocity-Area Method）之數值積分幾何架構，區分中斷面法與平均斷面法之影響寬度取樣原理。
3. 常日溫度（Normal daily temperature）：水文氣象統計標準，依據世界氣象組織（WMO）之 30 年氣候基準期定義，區分「單日觀測日平均溫」與「長期氣候常態值」。
4. 截留（Interception）：水文循環中降水損失歷程，涵蓋截留容量（Interception capacity）、穿透水（Throughfall）、幹流（Stemflow）與降水質量平衡關係。

解題方法

名詞解釋題切入策略應兼顧「定性描述」與「定量架構」：

1. 定義界定：以一句話點出該名詞的物理與水文學實質。
2. 公式／參數／幾何描述：寫出對應的控制方程式、計算式或邊界條件（如中斷面法之寬度與流量積分式、降雨截留平衡式）。
3. 水文行為與工程意涵：補充邊界特徵（如自流井條件、WMO 基準期、水利量測規範優勢），以展現答題深度。

解題技巧

1. 拘限水切記水頭特徵：作答必須提及「測壓水頭面高於含水層頂部」，若高於「地表面」則形成「自流井（Artesian well）」，儲水係數極小（$S \approx 10^{-5} \sim 10^{-3}$），與非拘限水（以重力給水度 $S_y$ 為主）形成鮮明對比。
2. 中斷面法幾何不要寫錯：第 $i$ 垂線的影響寬度是前後相鄰測站距離的一半，即 $\Delta b_i = \frac{x_{i+1} - x_{i-1}}{2}$；單元斷面積僅乘上「該測站自身水深 $D_i$」，切勿與相鄰水深平均值（平均斷面法）混淆。
3. 常日溫度的「常（Normal）」字意涵：非泛指日常溫度，在氣象水文學中「Normal」為專有名詞，代表 WMO 規範之「30 年長期統計平均值」。
4. 截留須列出降水拆解式：寫出 $P = I + T_h + S_f$ 能精確說明「截留損失（$I$）」與「淨降水（Net precipitation）」之轉換關係。

【答案】

(一) 拘限地下水（Confined groundwater）

1. 定義：指賦存於上、下兩層透水性極低的不透水層（Aquiclude）或弱透水層（Aquitard）之間的地下水體，又稱為受壓地下水（Artesian groundwater）。
2. 水力與壓力特性：

• 含水層內部孔隙水壓力大於大氣壓力。
• 若鑽井穿透上部受限層，井水在壓力驅動下上升所達之平衡水面稱為「測壓水頭面（Piezometric surface）」，此水頭面必高於含水層本身的頂部界面。
• 當測壓水頭面高於當地之地表面時，井水可自然噴湧出地表，形成「自流井（Flowing artesian well）」。

3. 水文產水機制：

• 補給區通常遠離承壓區域，僅由含水層出露於地表之區域接受降水入滲補給。
• 其儲水係數（Storativity, $S$）極小，一般介於 $10^{-5} \sim 10^{-3}$ 之間；受抽水釋水時，主要仰賴承壓水體本身的微小壓縮膨脹與含水層孔隙骨架之彈性回彈，孔隙並未排空疏乾。

(二) 河川流量測定之中斷面法（Middle section method）

1. 定義：為流速面積法（Velocity-Area Method）中計算河川橫斷面總流量的一種空間幾何離散劃分法。

核心觀念

1. 第 (一) 小題：

• 極值第一型分布（Gumbel 分布）之平均年最大洪水（Mean Annual Flood）：水文頻率分析中，年最大洪水序列常採用 Gumbel 分布配適。理論上，平均年最大洪水值 $\bar{Q}$ 所對應之重現期距（迴歸期）恰為 $2.33$ 年。
• 河流地貌學之滿岸流量（Bankfull Discharge）與造床流量（Dominant / Channel-forming Discharge）：在未受嚴重人為干擾之天然河道中，河槽沖淤維持動態平衡的滿岸流量，其統計重現期距平均約為 $1.5 \sim 2.33$ 年。

2. 第 (二) 小題：

• 合理化公式（Rational Formula）：$Q_p = C I A$（或公制單位 $Q_p = \frac{1}{360} C I A$）。
• 同頻率假設（Equal Frequency / Equal Return Period Assumption）：合理化公式本質為「確定性模式（Deterministic Model）」，模式本身無隨機機率機制。在缺乏長期流量觀測資料的未設站小集水區，必須透過「輸入降雨之重現期距等於輸出洪峰之重現期距」之假設，將氣象統計之降雨強度—延時—頻率（IDF）關係轉換為水工結構設計所需之設計洪峰流量。

解題方法

(一) $Q_{2.33}$ 之物理意義與水文意涵

$Q_{2.33}$ 除了代表平均每 $2.33$ 年發生一次（或年超越機率 $P = \frac{1}{2.33} \approx 0.429 = 42.9\%$）之洪水流量外，在水文學與河流地貌學上具有以下兩大關鍵意義：

1. 統計水文學意義：Gumbel 分布之「平均年最大洪水位／流量（Mean Annual Flood, $\bar{Q}$）」 在水文頻率分析中，若年最大洪水序列（Annual Maximum Series）服從極值第一型（Extreme Value Type I, EV1 / Gumbel 分布），其累積機率分布函數（CDF）為： $F(Q) = P(X \le Q) = \exp\left[-\exp(-y)\right]$ 式中，$y$ 為簡化變數（Reduced Variate），$y = \alpha (Q - u)$。 根據極值理論，標準化極值分布之平均值 $\bar{y}$ 為歐拉常數（Euler-Mascheroni Constant）$\gamma \approx 0.5772$。 當流量等於年最大洪水平均值 $\bar{Q}$ 時： $F(\bar{Q}) = \exp\left(-e^{-0.5772}\right) = \exp(-0.5615) \approx 0.5703$ 因此，平均年最大洪水的超越機率為： $P(Q \ge \bar{Q}) = 1 - F(\bar{Q}) = 1 - 0.5703 = 0.4297$ 其對應之重現期距 $T$ 為： $T = \frac{1}{P} = \frac{1}{0.4297} \approx 2.33\text{ 年}$ 故 $Q_{2.33}$ 在統計上精確代表 Gumbel 分布母體之平均年最大洪水流量（$\bar{Q}$）。

2. 河流地貌學意義：天然河道之「滿岸流量（Bankfull Discharge）」與「造床流量（Dominant Discharge）」

• 滿岸流量：指河槽水流剛好充盈至兩岸漫灘（Floodplain）邊界而不致溢淹之流量。
• 造床流量：指在長期沖淤演變中，對河道形狀、寬深比及蜿蜒幾何型態起決定性控制作用的有效流量。
• 根據 Leopold、Wolman 及 Miller 等學者之觀測研究，沖積河流之動態平衡主要是由出現頻率較高之中等洪水（而非極罕見之特大洪水）歷經長期搬運泥砂所形塑。

核心觀念

本題評量水文學中「都市化對集水區水文歷線之影響」、「$\Phi$ 指數入滲分離」以及「單位歷線疊加分析（水文卷積）」之綜合計算能力。核心公式與水文原理如下：

1. 入滲與有效降雨量（淨雨深）： $\Phi$ 指數為降雨期間之平均入滲率（損失率）。當降雨強度 $i > \Phi$ 時，有效降雨強度為 $i - \Phi$；時段長度為 $\Delta t$ 時，淨雨深 $R$ 為： $R = (i - \Phi) \cdot \Delta t$
2. 三角形單位歷線（Triangular Unit Hydrograph, TUH）數學表示式： 已知單位歷線之延時 $D = 1\text{ hr}$、基期 $T_b$、達峰時間 $t_p$ 及單位洪峰流量 $q_p$，歷線包含漲水段與退水段兩條直線： $u(t) = \begin{cases} \frac{q_p}{t_p} t, & 0 \le t \le t_p \\ q_p - \frac{q_p}{T_b - t_p}(t - t_p), & t_p \le t \le T_b \\ 0, & t \ge T_b \end{cases}$
3. 線性疊加原理（卷積原理）： 對於連續兩場 $1\text{ hr}$ 之淨雨深 $R_1$ 與 $R_2$，所產生之直接逕流歷線（DRH）$Q(t)$ 為兩場降雨產生逕流之線性疊加： $Q(t) = R_1 \cdot u(t) + R_2 \cdot u(t - 1)$
4. 逕流量體積計算：

• 歷線綜合法：逕流總體積為直接逕流歷線對時間之積分。因單位歷線代表 $1\text{ cm}$ 淨雨深產生之歷線，單位歷線體積為 $V_{\text{UH}} = \frac{1}{2} T_b q_p$，總逕流體積為： $V = \sum R_i \cdot V_{\text{UH}} = R_{\text{total}} \cdot V_{\text{UH}}$
• 理論水深法：在固定集水區面積 $A$ 下，逕流總體積與總淨雨深成正比（$V = R_{\text{total}} \cdot A$）。

解題方法

步驟一：計算都市化前後之淨雨深（有效降雨量）

連續兩場降雨延時均為 $\Delta t = 1\text{ hr}$，降雨量分別為 $P_1 = 5.0\text{ cm}$、$P_2 = 4.0\text{ cm}$。

1. 都市化前（原本），$\Phi = 0.7\text{ cm/hr}$： $R_1 = P_1 - \Phi \cdot \Delta t = 5.0 - 0.7 \times 1 = 4.3\text{ cm}$ $R_2 = P_2 - \Phi \cdot \Delta t = 4.0 - 0.7 \times 1 = 3.3\text{ cm}$ 總淨雨深： $R_{\text{total}} = R_1 + R_2 = 4.3 + 3.3 = 7.6\text{ cm}$

2. 都市化後，$\Phi' = 0.4\text{ cm/hr}$： $R'_1 = P_1 - \Phi' \cdot \Delta t = 5.0 - 0.4 \times 1 = 4.6\text{ cm}$ $R'_2 = P_2 - \Phi' \cdot \Delta t = 4.0 - 0.4 \times 1 = 3.6\text{ cm}$ 總淨雨深： $R'_{\text{total}} = R'_1 + R'_2 = 4.6 + 3.6 = 8.2\text{ cm}$

步驟二：推求都市化前之洪峰流量 $Q_{p1}$

都市化前 $1\text{ hr}$ 單位歷線參數為：$T_b = 9\text{ hr}$、$t_p = 3\text{ hr}$、$q_p = 3.6\text{ cms}$。 單位歷線方程式為： $u(t) = \begin{cases} \frac{3.6}{3}t = 1.2t, & 0 \le t \le 3 \\ 3.6 - \frac{3.6}{9 - 3}(t - 3) = 5.4 - 0.6t, & 3 \le t \le 9 \\ 0, & t \ge 9 \end{cases}$

直接逕流歷線方程式為 $Q(t) = 4.3 u(t) + 3.3 u(t - 1)$。 第一場洪峰出現在 $t = 3\text{ hr}$，第二場洪峰出現在 $t = 1 + 3 = 4\text{ hr}$，分析 $t \in [3, 4]$ 與 $t \in [4, 5]$ 區間之流量變化：

• 當 $3 \le t \le 4$ 時：$u(t)$ 處於退水段（$5.4 - 0.6t$），$u(t-1)$ 處於漲水段（$1.2(t-1)$）： $Q(t) = 4.3(5.4 - 0.6t) + 3.3[1.2(t - 1)] = 23.22 - 2.58t + 3.96t - 3.96 = 19.26 + 1.38t$ 由於斜率 $+1.38 > 0$，$Q(t)$ 在此區間隨時間遞增。 在 $t = 4\text{ hr}$ 時： $Q(4) = 19.26 + 1.38(4) = 24.78\text{ cms}$

• 當 $4 \le t \le 5$ 時：$u(t)$ 與 $u(t-1)$ 皆處於退水段： $Q(t) = 4.3(5.4 - 0.6t) + 3.3[6.0 - 0.6t] = 43.02 - 4.56t$ 斜率 $-4.56 < 0$，$Q(t)$ 隨時間遞減。

因此，都市化前之洪峰流量發生於 $t = 4\text{ hr}$： $Q_{p1} = 24.78\text{ cms}$

步驟三：推求都市化後之洪峰流量 $Q_{p2}$

核心觀念

本題考查水文學中集水區逕流歷線推求的經典理論——克拉克時間面積法（Clark’s Time-Area Method）。該方法將降雨至出口的逕流歷程拆解為兩種獨立的物理機制：

1. 巡行作用（Translation，純平移延遲）：藉由等時線（Isochrones）與時間面積直方圖（Time-Area Diagram），模擬水流自流域不同子區域流達出口斷面的時間延遲，形成平移入流歷線（Inflow Hydrograph）。
2. 滯蓄作用（Attenuation/Storage，消減擴散）：將上述平移入流量引入一個假設串聯於出口的單一線性水庫（Linear Reservoir），以模擬流域河道與坡面之蓄水緩衝效果。

本題涉及的關鍵公式與定義如下：

1. 瞬時單位歷線（Instantaneous Unit Hydrograph, IUH）： 流域在極短時間內承受均勻分佈之單位有效雨深 $h_e$（台灣國家考試慣用基準為 $h_e = 1\text{ cm}$，亦有採 $h_e = 1\text{ mm}$ 者，兩者呈 10 倍比例關係）所產生之直接逕流歷線。在克拉克法中，平移入流歷線通過線性水庫演算後的出流歷線即為 IUH。

2. 洪水演算連續方程式（水庫水量平衡式）： $\frac{I_1 + I_2}{2}\Delta t - \frac{O_1 + O_2}{2}\Delta t = S_2 - S_1$ 式中，$I$ 為入流量、$O$ 為出流量、$S$ 為蓄水量、$\Delta t$ 為演算時距。

3. 線性水庫蓄水方程式： $S = K O$ 式中，$K$ 為蓄水常數（Storage Constant），具有時間維度。

4. 出流量演算差分公式： 將 $S = KO$ 代入連續方程式： $\bar{I}\Delta t - \frac{\Delta t}{2}(O_1 + O_2) = K(O_2 - O_1)$ 其中 $\bar{I} = \frac{I_1 + I_2}{2}$ 為時段平均入流量。移項整理得： $O_2 = c_1 \bar{I} + c_2 O_1$ 演算係數為： $c_1 = \frac{\Delta t}{K + 0.5\Delta t} = \frac{2\Delta t}{2K + \Delta t}$ $c_2 = \frac{K - 0.5\Delta t}{K + 0.5\Delta t} = \frac{2K - \Delta t}{2K + \Delta t}$ 且滿足權重和為一之守恆條件：$c_1 + c_2 = 1$。

解題方法

步驟一：計算水庫演算係數

題目給定集流時間 $T_c = 9\text{ hr}$，蓄水常數 $K = 6\text{ hr}$。 由題目表格之等時線時段間隔，取演算時距 $\Delta t = 1\text{ hr}$。 代入係數公式： $c_1 = \frac{1}{6 + 0.5 \times 1} = \frac{1}{6.5} = \frac{2}{13} \approx 0.1538$ $c_2 = \frac{6 - 0.5 \times 1}{6 + 0.5 \times 1} = \frac{5.5}{6.5} = \frac{11}{13} \approx 0.8462$ 出流量逐步推算遞迴式為： $O_t = \frac{2}{13} \bar{I}_t + \frac{11}{13} O_{t-1}$

步驟二：推求平移入流歷線 $\bar{I}$

以台灣水文學考試標準單位降雨深度 $h_e = 1\text{ cm} = 0.01\text{ m}$ 為例： 每平方公里在 1 小時內產生的平均流量轉換係數為： $1\text{ km}^2 \times 1\text{ cm} / 1\text{ hr} = \frac{10^6\text{ m}^2 \times 0.01\text{ m}}{3600\text{ s}} = \frac{10000}{3600} = \frac{25}{9} \approx 2.7778\text{ m}^3/\text{s}$ 因此，第 $i$ 個時段（時段長度 1 小時）之平均入流量為： $\bar{I}_i = \frac{25}{9} \times \Delta A_i\quad (\text{m}^3/\text{s})$ 若採 $h_e = 1\text{ mm}$，轉換係數則為 $\frac{2.5}{9} \approx 0.2778\text{ m}^3/\text{s}$。

各時段入流量計算如下：

• 時段 0–1：$\bar{I}_1 = \frac{25}{9} \times 8.0 = 22.22\text{ m}^3/\text{s}$
• 時段 1–2：$\bar{I}_2 = \frac{25}{9} \times 14.0 = 38.89\text{ m}^3/\text{s}$
• 時段 2–3：$\bar{I}_3 = \frac{25}{9} \times 25.0 = 69.44\text{ m}^3/\text{s}$
• 時段 3–4：$\bar{I}_4 = \frac{25}{9} \times 27.0 = 75.00\text{ m}^3/\text{s}$
• 時段 4–5：$\bar{I}_5 = \frac{25}{9} \times 21.0 = 58.33\text{ m}^3/\text{s}$
• 時段 5–6：$\bar{I}_6 = \frac{25}{9} \times 23.0 = 63.89\text{ m}^3/\text{s}$
• 時段 6–7：$\bar{I}_7 = \frac{25}{9} \times 15.0 = 41.67\text{ m}^3/\text{s}$
• 時段 7–8：$\bar{I}_8 = \frac{25}{9} \times 13.0 = 36.11\text{ m}^3/\text{s}$
• 時段 8–9：$\bar{I}_9 = \frac{25}{9} \times 9.0 = 25.00\text{ m}^3/\text{s}$
• $t > 9\text{ hr}$（超過集流時間 $T_c$）：全流域降雨均已流達出口，無新增平移入流，$\bar{I}_t = 0\text{ m}^3/\text{s}$。

步驟三：逐步水庫演算求出瞬時單位歷線（IUH）縱距

設初始出流 $O_0 = 0\text{ m}^3/\text{s}$：

1. $t = 1\text{ hr}$： $O_1 = \frac{2}{13}(22.22) + \frac{11}{13}(0) = 3.42\text{ m}^3/\text{s}$
2. $t = 2\text{ hr}$： $O_2 = \frac{2}{13}(38.89) + \frac{11}{13}(3.42) = 5.98 + 2.89 = 8.88\text{ m}^3/\text{s}$
3. $t = 3\text{ hr}$： $O_3 = \frac{2}{13}(69.44) + \frac{11}{13}(8.88) = 10.68 + 7.51 = 18.19\text{ m}^3/\text{s}$
4. $t = 4\text{ hr}$： $O_4 = \frac{2}{13}(75.00) + \frac{11}{13}(18.19) = 11.54 + 15.39 = 26.93\text{ m}^3/\text{s}$
5. $t = 5\text{ hr}$：

核心觀念

1. Horton 入滲容量公式（Horton's Infiltration Equation） 土壤入滲容量隨時間呈指數衰減，其標準數學式為： $f_p(t) = f_c + (f_0 - f_c)e^{-kt}$ 式中各符號之物理意義與單位如下：

• $f_p(t)$：歷時 $t$ 時之入滲容量（Infiltration Capacity，$\text{cm/hr}$）
• $f_0$：初始入滲容量（Initial Infiltration Capacity，$\text{cm/hr}$）
• $f_c$：終期穩定入滲容量（Ultimate/Constant Infiltration Capacity，$\text{cm/hr}$）
• $k$：入滲衰減係數（Decay Constant，$\text{hr}^{-1}$）
• $t$：試驗歷時（Time，$\text{hr}$）

2. 公式線性化（Linearization）與作圖原理 將 Horton 公式移項後兩邊取自然對數： $(f_p - f_c) = (f_0 - f_c)e^{-kt}$ $\ln(f_p - f_c) = \ln(f_0 - f_c) - kt$ 此式為標準直線方程式 $Y = A + B X$：

• 應變數 $Y = \ln(f_p - f_c)$
• 自變數 $X = t$
• 縱軸截距 $A = \ln(f_0 - f_c) \implies (f_0 - f_c) = e^A$
• 直線斜率 $B = -k \implies k = -B$

3. 作圖法之意義 題目明定「應用作圖方法替代最小二乘法」，意即免去考場上冗長的最小二乘法回歸統計計算，改為建立 $\ln(f_p - f_c)$ 與 $t$ 之數據轉換表，在坐標軸上點繪數據點，繪製最佳目視配適直線（Best-fit Line），並於線上選取代表點推求斜率與截距。

解題方法

步驟一：判定終期穩定入滲容量 $f_c$

觀察實驗數據表，當試驗時間達 $t = 1.75\text{ hr}$ 與 $t = 2.0\text{ hr}$ 時，入滲容量均維持於 $2.0\text{ cm/hr}$ 恆定不變，代表土壤入滲已達飽和穩定狀態。因此判定： $f_c = 2.0\text{ cm/hr}$

步驟二：建立數據轉換表

將各試驗時間之入滲容量扣除 $f_c = 2.0\text{ cm/hr}$，計算 $(f_p - f_c)$ 並取自然對數 $\ln(f_p - f_c)$。

步驟三：作圖配適並求取參數 $k$ 與 $f_0$

以橫軸為時間 $t$、縱軸為 $\ln(f_p - f_c)$ 點繪前 6 組數據點 $(t, \ln(f_p - f_c))$。點群呈現高度線性關係，繪製穿過點群中央之最佳配適直線。

於該配適直線上選取相距較遠且代表性佳之兩點進行推算：

• 點 1：$(t_1, Y_1) = (0.50, 0.788)$