108 高普考高考三級 水利工程 水文學 考古題詳解

核心觀念

本題使用非拘限含水層的 Dupuit–Forchheimer 近似：假設地下水流近似水平，且水力坡降可用地下水面坡度表示。均勻入滲量 $R$ 會沿水流方向逐漸累積，因此距兩溝渠中點越遠，流向溝渠的單位寬度流量越大。

依圖取兩溝渠中點為 $x=0$，溝渠為 $x=L/2$。令 $h(x)$ 為地下水面相對於溝渠水位基準的高度，則含水層厚度為 $D+h(x)$；中點水位為 $h_m$，溝渠邊水位為 $h_0$。

解題方法

取單位寬度含水層，對中點至距中點 $x$ 的範圍作水量平衡。此範圍收到的入滲量為 $Rx$，且中點因對稱而無水平流量，因此流向溝渠的流量為

由 Dupuit 近似，含水層厚度為 $D+h$，水平流量亦可寫成

負號表示水由水位較高處流向水位較低處。聯立兩式：

從中點 $x=0,\ h=h_m$ 積分至溝渠 $x=L/2,\ h=h_0$：

核心觀念

本題融合「水文頻率分析」與「水文風險及工程經濟」兩大主題，為高普考與技師考試之經典題型。所涉及之核心觀念與公式如下：

1. 極值第一型分布（Gumbel Distribution, EV-I）：

• 其累積分布函數（CDF）定義為： $F(Q) = P(X \le Q) = \exp\left[-\exp(-y)\right]$
• 簡化變量（Reduced Variate, $y$）之定義： $y = \frac{Q - u}{\alpha}$ 其中 $u$ 為位置參數（Location parameter），$\alpha$ 為尺度參數（Scale parameter）。
• 簡化變量與重現期（Return Period, $T$）之關係： 由 $F(Q_T) = 1 - \frac{1}{T}$，推導得： $y_T = -\ln\left[-\ln\left(1 - \frac{1}{T}\right)\right]$
• 頻率分析之線性化關係式： $Q_T = u + \alpha \cdot y_T$

2. 保險精算之期望損失（純保費, Pure Premium）：

• 年淹水機率為年超越機率 $p = P(Q > Q_{\text{設計}}) = 1 - F(Q_{\text{設計}})$。
• 保險公司每年賠償之期望值（期望年損失）為： $E(\text{Loss}) = p \times \text{單次災損金額}$
• 保險公司為達財務平衡不虧損，所訂定之年保費至少須等於純保費（不計行政營運成本與利潤附加費之公平保費）。

3. 水文風險（Hydrologic Risk, $R$）：

• 設施在 $N$ 年設計年限內，至少發生一次超過防洪容量洪水的機率（二項分布之互補機率）： $R = 1 - (1 - p)^N$

解題方法

步驟一：求解甘保分布參數（$u$ 與 $\alpha$）

1. 計算重現期 $T = 50$ 年與 $T = 5$ 年所對應之簡化變量：

• 當 $T = 50$ 年： $F(Q_{50}) = 1 - \frac{1}{50} = 0.98$ $y_{50} = -\ln[-\ln(0.98)] = -\ln(0.020203) \approx 3.9019$
• 當 $T = 5$ 年： $F(Q_5) = 1 - \frac{1}{5} = 0.80$ $y_5 = -\ln[-\ln(0.80)] = -\ln(0.223144) \approx 1.5000$

2. 聯立求解參數： 依據 $Q = u + \alpha \cdot y$ 列式：

核心觀念

本題評量水文學中「概念集水區模型」（Conceptual Watershed Model）與「降雨—逕流分析」（Rainfall-Runoff Analysis）之核心應用，主要包含以下定義與理論公式：

1. Nash 概念模型（Nash's Conceptual Model）： 假設集水區之調蓄作用可由 $n$ 個完全相同且串聯（in series）的線性水庫（Linear Reservoirs）所組成。依連續方程式與蓄水方程式（$S = K Q$）聯立推導，其瞬時單位歷線（Instantaneous Unit Hydrograph, IUH）為伽瑪機率密度函數（Gamma Probability Density Function）形式： $u(t) = \frac{1}{K \cdot \Gamma(n)} \left(\frac{t}{K}\right)^{n-1} e^{-t/K}$ 式中：

• $K$：線性水庫蓄水常數（儲蓄係數，Storage Coefficient），單位為時間（$\mathrm{hr}$）。
• $n$：線性水庫個數（形狀參數，Shape Parameter），為無因次實數。
• $\Gamma(n)$：伽瑪函數（Gamma Function）；當 $n$ 為正整數時，$\Gamma(n) = (n-1)!$。
• $u(t)$：時間 $t$ 之瞬時單位歷線縱距（單位為 $\mathrm{hr^{-1}}$）。

2. S 歷線（S-Hydrograph）與特定延時單位歷線（$D\text{-hr UH}$）轉換： 連續降雨強度為 $1\ \mathrm{cm/hr}$ 之無限長降雨所產生的逕流歷線稱為 S 歷線。 $S(t) = \int_0^t u(\tau) \, d\tau$ 延時為 $D$ 小時之單位歷線縱距 $U(D, t)$ 可由 S 歷線平移相減求得： $U(D, t) = \frac{S(t) - S(t-D)}{D}$

3. 單位換算與水量平衡關係： 集水區面積 $A$（$\mathrm{km^2}$）接受有效雨深 $P_e$（$\mathrm{cm}$）時，單位歷線流量縱距 $q(t)$（$\mathrm{m^3/s}$）與無因次縱距之換算關係為： $C = \frac{A \times 10^6\ \mathrm{m^2} \times (1\ \mathrm{cm} \times 10^{-2}\ \mathrm{m})}{3600\ \mathrm{s}} = \frac{10000 \cdot A}{3600} = \frac{25}{9} A \approx 2.778 A\ \left(\mathrm{\frac{m^3/s}{cm \cdot hr^{-1}}}\right)$

4. 離散褶積（Discrete Convolution）： 若降雨延時以 1 小時為一區段，有效降雨深分別為 $R_1, R_2, \dots, R_m$，則時間 $t$ 之直接逕流歷線（Direct Runoff Hydrograph, DRH）流量 $Q(t)$ 為： $Q(t) = \sum_{m} R_m \cdot UH(D, t - (m-1)D)$

解題方法

第一部分：推求集水區之瞬時單位歷線（IUH）

已知條件：

• 集水區面積 $A = 50\ \mathrm{km^2}$
• 線性水庫常數 $K = 2\ \mathrm{hr}$
• 伽瑪函數參數 $n = 2$

計算 $\Gamma(n)$： $\Gamma(2) = (2-1)! = 1! = 1$

將 $n=2$ 與 $K=2\ \mathrm{hr}$ 代入 Nash 模型 IUH 公式： $u(t) = \frac{1}{2 \times 1} \left(\frac{t}{2}\right)^{2-1} e^{-t/2} = \frac{t}{4} e^{-t/2} \quad (\mathrm{hr^{-1}})$

若表示為單位有效降雨量（$1\ \mathrm{cm}$）所產生之逕流率（流量形式）： 單位換算係數： $C = \frac{50 \times 10^6 \times 0.01}{3600} = \frac{500,000}{3600} = \frac{1250}{9} \approx 138.89\ \mathrm{m^3/(s \cdot cm \cdot hr^{-1})}$

流量形式之瞬時單位歷線方程式為： $q(t) = 138.89 \times \frac{t}{4} e^{-t/2} \approx 34.72\, t\, e^{-t/2} \quad (\mathrm{m^3/(s \cdot cm)})$

第二部分：推求 1 小時延時之單位歷線（1-hr UH）

由於降雨資料以 1 小時為分段單位（第 1 小時強度 $5\ \mathrm{cm/hr}$、第 2 小時強度 $8\ \mathrm{cm/hr}$），因此需先將 IUH 轉化為延時 $D = 1\ \mathrm{hr}$ 之單位歷線。

1. 推導 S 歷線方程式 $S(t)$： $S(t) = \int_0^t u(\tau) \, d\tau = \int_0^t \frac{\tau}{4} e^{-\tau/2} \, d\tau$ 利用分部積分法（Integration by parts）： 令 $w = \frac{\tau}{4} \implies dw = \frac{1}{4} d\tau$；$dv = e^{-\tau/2} d\tau \implies v = -2 e^{-\tau/2}$ $S(t) = \left[ -2 \cdot \frac{\tau}{4} e^{-\tau/2} \right]_0^t - \int_0^t \left( -2 e^{-\tau/2} \right) \frac{1}{4} \, d\tau = -\frac{t}{2} e^{-t/2} + \left[ -e^{-\tau/2} \right]_0^t$ $S(t) = 1 - \left(1 + \frac{t}{2}\right) e^{-t/2}$

2. 計算 1 小時單位歷線 $U_1(t)$： $U_1(t) = \frac{S(t) - S(t-1)}{1} = S(t) - S(t-1) \quad (\text{當 } t < 1 \text{ 時，} S(t-1) = 0)$ 以流量單位（$\mathrm{m^3/s}$）表示之 1-hr UH 縱距 $UH(t)$ 為： $UH(t) = 138.89 \times U_1(t) = 138.89 \times [S(t) - S(t-1)]$

3. 計算 $t = 0 \sim 8\ \mathrm{hr}$ 各時階數值：

• $t=0$：$S(0) = 1 - 1 = 0$
• $t=1$：$S(1) = 1 - 1.5 e^{-0.5} \approx 1 - 1.5(0.60653) = 0.0902$
• $t=2$：$S(2) = 1 - 2.0 e^{-1.0} \approx 1 - 2(0.36788) = 0.2642$
• $t=3$：$S(3) = 1 - 2.5 e^{-1.5} \approx 1 - 2.5(0.22313) = 0.4422$

核心觀念

本題評量水文學中「水文歷線逕流分析」與「霍頓（Horton）入滲理論」之整合應用，核心觀念包含：

1. 降雨損失與水平衡原理：在降雨過程中，若其他損失（窪蓄、截留、蒸發）可忽略，則總降雨量（$P$）等於直接逕流深（$R_d$）與總入滲量（$F$）之和： $P = R_d + F$
2. 集水區逕流深換算：已知直接逕流總體積 $V_d$ 與集水區面積 $A$，直接逕流深公式為： $R_d = \frac{V_d}{A}$
3. 霍頓（Horton）入滲公式：

• 瞬時入滲率（Infiltration Capacity / Rate）： $f(t) = f_c + (f_0 - f_c) e^{-kt}$
• 累積入滲量（Cumulative Infiltration Depth）： $F(t) = \int_0^t f(\tau)\, d\tau = f_c t + \frac{f_0 - f_c}{k} \left(1 - e^{-kt}\right)$ 其中：
• $f(t)$：時間 $t$ 之入滲率（$\mathrm{mm/hr}$）
• $f_0$：降雨初期之初始入滲率（$\mathrm{mm/hr}$）
• $f_c$：最終穩定入滲率（$\mathrm{mm/hr}$）
• $k$：入滲衰減係數（$\mathrm{hr^{-1}}$）
• $t$：降雨延時（$\mathrm{hr}$）

解題方法

步驟一：計算直接逕流深及 12 小時內之總入滲量

1. 集水區面積單位換算： $A = 50\ \mathrm{km^2} = 50 \times 10^6\ \mathrm{m^2}$
2. 計算直接逕流深 $R_d$： $R_d = \frac{V_d}{A} = \frac{1 \times 10^7\ \mathrm{m^3}}{50 \times 10^6\ \mathrm{m^2}} = 0.2\ \mathrm{m} = 200\ \mathrm{mm}$
3. 由水平衡求 12 小時之總累積入滲深 $F(12)$： $F(12) = P - R_d = 300\ \mathrm{mm} - 200\ \mathrm{mm} = 100\ \mathrm{mm}$

步驟二：反推初始入滲率 $f_0$

已知 $t = 12\ \mathrm{hr}$ 時，$F(12) = 100\ \mathrm{mm}$、$f_c = 0.25\ \mathrm{mm/hr}$、$k = 0.14\ \mathrm{hr^{-1}}$。代入累積入滲量公式： $F(12) = f_c \times 12 + \frac{f_0 - f_c}{k} \left(1 - e^{-12k}\right)$

計算指數項： $e^{-12 \times 0.14} = e^{-1.68} \approx 0.186374$ $1 - e^{-1.68} \approx 0.813626$

代入數值推導： $100 = 0.25 \times 12 + \frac{f_0 - 0.25}{0.14} \times 0.813626$ $100 = 3.0 + (f_0 - 0.25) \times 5.811614$ $97.0 = (f_0 - 0.25) \times 5.811614$ $f_0 - 0.25 = \frac{97.0}{5.811614} \approx 16.6907\ \mathrm{mm/hr}$ $f_0 \approx 16.9407\ \mathrm{mm/hr} \approx 16.94\ \mathrm{mm/hr}$

步驟三：求降雨後第 10 小時之入滲率 $f(10)$

將 $t = 10\ \mathrm{hr}$ 代入入滲率公式： $f(10) = f_c + (f_0 - f_c) e^{-10k}$