108 高普考高考三級 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

動量校正係數 $\beta$ 用來修正斷面流速分布不均勻時，以平均流速計算動量通量所產生的差異。其定義為

寬矩形渠道的寬度均勻，流速只隨水深 $y$ 變化，因此可將斷面積分中的寬度約去，改以水深方向積分。

解題方法

令水面處為 $y=0$、渠底為 $y=h=1.2\ \mathrm{m}$，題示流速分布為

先求斷面平均流速：

再計算流速平方的水深平均值：

核心觀念

最佳水力斷面的定義是：在渠道底床坡度與糙度相同、流量條件相同時，濕周最小、通水能力最大的斷面。由曼寧公式可知，通水能力與水力半徑 $R=A/P$ 正相關，因此在固定通水面積 $A$ 下，最佳水力斷面等價於使濕周 $P$ 最小。

本題須證明梯形渠道的最佳斷面，其幾何形狀為正六邊形的一半：渠底為正六邊形的一邊，兩側邊及水面線各為一邊的一半。

解題方法

設梯形渠道底寬為 $b$、水深為 $y$、邊坡與鉛直方向夾角為 $\theta$，其中 $\theta$ 為銳角。兩側斜邊長均為 $s$，故

通水面積與濕周分別為

固定 $A$，以 $s$ 表示底寬：

代入濕周，得

對固定的斷面邊坡角 $\theta$，令濕周取極小值：

由此可得

核心觀念

本題考查矩形渠道的臨界水深、正常水深與漸變流水面線判別。渠道寬度與流量不變，底床坡降由前段的 $0.01$ 減為後段的 $0.003$，須先判斷兩段各自屬於急坡或緩坡，再依水深相對於臨界水深與正常水深的位置，判定水面線型態。

矩形渠道的單位寬流量為 $q=Q/b$，臨界水深為

曼寧公式可寫為

其中矩形渠道的通水面積 $A=by$，水力半徑 $R=A/P=by/(b+2y)$。正常水深 $y_n$ 是在均勻流條件下，由曼寧公式求得的水深。若 $y_n<y_c$，為急坡；若 $y_n>y_c$，為緩坡。

解題方法

1. 求臨界水深

單位寬流量為

取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$，得

2. 求兩段正常水深並判斷坡度類型

將矩形渠道的 $A=6y$、$R=6y/(6+2y)$ 代入曼寧公式，分別以兩段底床坡降求正常水深：

前段 $S_0=0.01$：

解得

因此前段為急坡渠道。

後段 $S_0=0.003$：

解得

核心觀念

本題考查乾床上的瞬間潰壩波。將壩下游視為水平、寬廣且摩擦可忽略的一維河道，水流以聖維南方程式描述；其乾床潰壩解析解又稱 Ritter 解。解答所需的初始條件為壩上游水深 $H=25\ \mathrm{m}$、下游初始水深為零，且潰壩瞬間發生。

令 $x$ 為自壩址向下游的距離，$t$ 為潰壩後經過時間，$g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$。在潰壩波尚未到達的波前內，$0\le x\le 2\sqrt{gH}\,t$，水深與流速為

波前速度為 $2\sqrt{gH}$。此解假設河床水平、無摩擦且水流為一維；不考慮河床坡度、糙率、壩體形狀及潰壩歷時。

解題方法

先計算初始水深所對應的波速參數：

（一）壩址處之水深及流速

壩址為 $x=0$。代入 Ritter 解：

（二）潰壩後半小時，距壩下游 $10\ \mathrm{km}$ 斷面之水深及流速

核心觀念

矩形渠道的單寬流量為 $q=V y$，比能為

忽略局部損失與摩擦損失時，總能量不變。渠道底床上升 $\Delta z$ 後，比能會減少 $\Delta z$。同一流量下，比能有最小值；若可用比能低於此最小值，就沒有可行的水深解。

解題方法

斷面①至斷面②的底床高程相同，且忽略損失，因此 $E_2=E_1=1.2\ \mathrm{m}$。代入題給 $y_2=0.25\ \mathrm{m}$：

斷面③與斷面①同高，故 $E_3=1.2\ \mathrm{m}$。底床上升 $0.6\ \mathrm{m}$ 至斷面④後，可用比能為

若斷面④存在水深 $y_4$，須滿足