107 高普考高考三級 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

1. 動量方程式（Momentum Equation）：在定常流（steady flow）條件下，作用於控制體積上的外力合力等於流體動量通量的淨流出率： $\sum F_x = \rho Q (\beta_2 V_2 - \beta_1 V_1)$
2. 比力（Specific Force, $F_s$ 或 $M$）之定義：在水平且摩擦阻力可忽略的短距離渠道內（例如水躍發生的渠段），控制體積兩端之「靜水壓力」與「動量通量」的組合量維持守恆。將總作用力除以液體單位重 $\gamma$，定義為比力（又稱動量函數 Momentum Function），其量綱為長度的三次方（$[L^3]$），代表單位重量流體所受之動壓力與靜水壓力之和。
3. 共軛水深（Conjugate Depths / Sequent Depths）：在給定流量下，比力相同的兩個不同水深，分別為急流水深（跳前水深 $y_1$）與常流水深（跳後水深 $y_2$）。
4. 極值定理（臨界流條件）：比力對水深微分為零（$\frac{dF_s}{dy} = 0$）時，對應之流況為臨界流（$Fr = 1$），此時比力具有極小值（$F_{s,\min}$）。

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解題方法

一、 比力方程式之詳細推導

1. 控制體積選取與基本假設

選取一斷面形狀任意之稜柱形渠道（Prismatic Channel），在斷面 1 與斷面 2 之間取一控制體積：

• 流況為一維定常流（1D Steady Flow）。
• 渠道為水平或底坡極緩（$\theta \approx 0$，渠底坡降之重力分量 $W \sin\theta \approx 0$）。
• 渠段長度甚短（如水躍現象），邊壁與渠底之摩擦剪應力可忽略不計（$F_f \approx 0$）。
• 速度分佈均勻，動量修正係數取 $\beta_1 = \beta_2 = 1$。
• 流線平行，兩端斷面之壓力水頭皆呈靜水壓力分佈（Hydrostatic Pressure Distribution）。

2. 建立動量平衡式

沿順流方向之控制體積水平動量方程式為： $\sum F_x = P_1 - P_2 = \rho Q (V_2 - V_1)$

式中：

• $P_1, P_2$：作用於兩端斷面之靜水總壓力。 $P_1 = \gamma \bar{z}_1 A_1, \quad P_2 = \gamma \bar{z}_2 A_2$ 其中 $A$ 為通水斷面積，$\bar{z}$ 為斷面形心至自由液面之垂直距離。
• $\rho$：流體密度，$\rho = \frac{\gamma}{g}$。
• $Q$：渠道總流量，$V = \frac{Q}{A}$ 為斷面平均流速。

3. 整理並導出比力定義式

將靜水壓力與平均流速代入動量式： $\gamma \bar{z}_1 A_1 - \gamma \bar{z}_2 A_2 = \frac{\gamma}{g} Q \left(\frac{Q}{A_2} - \frac{Q}{A_1}\right) = \frac{\gamma Q^2}{g A_2} - \frac{\gamma Q^2}{g A_1}$

同除以液體單位重 $\gamma$： $\bar{z}_1 A_1 - \bar{z}_2 A_2 = \frac{Q^2}{g A_2} - \frac{Q^2}{g A_1}$

將斷面 1 與斷面 2 之各項分別移至等號兩端： $\frac{Q^2}{g A_1} + \bar{z}_1 A_1 = \frac{Q^2}{g A_2} + \bar{z}_2 A_2$

由此可見，量值 $\left(\frac{Q^2}{gA} + \bar{z}A\right)$ 在外力合力為零之斷面間保持常數，故定義**比力方程式（Specific Force Equation）**為： $F_s = \frac{Q^2}{gA} + \bar{z}A$

• 第一項 $\frac{Q^2}{gA}$：動水力項（動量通量項）。
• 第二項 $\bar{z}A$：靜水力項（斷面積對水面之一次矩）。

4. 矩形渠道特例

若渠道為寬度 $b$、水深 $y$ 之矩形斷面：

• 斷面積 $A = by$
• 水面至形心深度 $\bar{z} = \frac{y}{2}$，故 $\bar{z}A = \frac{1}{2}by^2$
• 設單寬流量為 $q = \frac{Q}{b}$

總比力為： $F_s = \frac{Q^2}{gby} + \frac{1}{2}by^2$

單位寬度比力（$F_s' = \frac{F_s}{b}$）為： $F_s' = \frac{q^2}{gy} + \frac{1}{2}y^2$

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二、 比力曲線之極值與特性分析

對一般斷面的比力方程式對水深 $y$ 進行一階微分： $\frac{dF_s}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\frac{Q^2}{gA}\right) + \frac{d(\bar{z}A)}{dy}$

由幾何水力關係：

1. 斷面積變化率為水面寬 $T$：$\frac{dA}{dy} = T$
2. 面積對自由液面之一次矩 $\bar{z}A = \int_0^y (y - \eta) T(\eta) d\eta$。依萊布尼茲積分法則對 $y$ 微分： $\frac{d(\bar{z}A)}{dy} = \int_0^y T(\eta) d\eta = A$

核心觀念

1. 水躍（Hydraulic Jump）之水力本質：水躍為明渠急變流（Rapidly Varied Flow, RVF）的一種現象，係水流自「超臨界流」（射流，Supercritical Flow, $Fr > 1$）轉變為「次臨界流」（緩流，Subcritical Flow, $Fr < 1$）時，水深急遽升高並伴隨強烈紊流、滾浪（Roller）與空氣摻氣之不連續過渡現象。
2. 分析工具之選擇：由於水躍內部伴隨劇烈之紊流剪力與渦漩，機械能量損耗極大且無法事先得知，故不可使用能量方程式（白努利方程式）求解共軛水深；必須選取包含水躍區的控制體積，依據**動量方程式（Momentum Equation）或比力守恆（Specific Force Conservation）**進行求解。
3. 相關重要公式：

• 矩形斷面連續方程式：$q = \frac{Q}{b} = v_1 y_1 = v_2 y_2$
• 斷面 1 之福祿數：$Fr_1 = \frac{v_1}{\sqrt{g y_1}}$
• 矩形水平渠槽共軛水深公式（Bélanger 方程式）：$\frac{y_2}{y_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right)$
• 水頭損失公式：$\Delta E = E_1 - E_2 = \frac{(y_2 - y_1)^3}{4 y_1 y_2}$

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解題方法

一、發生水躍之成因

水躍發生的根本原因在於「水流流態被迫由超臨界流轉化為次臨界流」：

1. 控制條件失衡：在陡坡或閘門出口下方，上游水流維持水深較小、流速極高之超臨界流（$Fr_1 > 1$）。若下游因邊界條件（如渠坡由陡變緩、存在下游堰、閘門阻抗或下游正常水深過深）強制要求水流必須維持次臨界水深（$Fr_2 < 1$），此兩種流態無法以平緩水面線（如漸變流）光滑銜接。
2. 能量與比力之動態調整：由於超臨界流之動量衝力過大，水流必須藉由局部產生強烈的逆向滾浪與紊流摩擦，耗散大量多餘動能，使總比能由 $E_1$ 驟降至 $E_2$，流動動量與靜水壓力重新在前後兩斷面達到比力平衡（$F_{m1} = F_{m2}$），因而形成劇烈翻騰之水躍水面。

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二、水躍型式之分類法

根據美國墾務局（USBR）試驗研究，水平底面矩形渠道之水躍型式依**上游入流福祿數（$Fr_1$）**進行分類：

1. 波動水躍（Undular Jump, $1.0 < Fr_1 \le 1.7$）：

• 水面呈現微小波浪起伏，下游水面平穩。
• 幾無表面滾浪，能量損失極小（$< 5\%$）。

2. 弱水躍（Weak Jump, $1.7 < Fr_1 \le 2.5$）：

• 水面開始出現小滾浪，但水流速度分佈尚稱均勻。
• 能量損失約在 $5\% \sim 20\%$。

3. 震盪水躍（Oscillating Jump, $2.5 < Fr_1 \le 4.5$）：

• 水躍底部之噴流在渠底與水面之間不規則上下震盪，週期性產生巨大表面波動向下游傳播。
• 易引發下游未襯砌渠道護岸之淘刷破壞，在水工設計上應盡量避免此區間。

4. 穩定水躍（Steady Jump / Well-established Jump, $4.5 < Fr_1 \le 9.0$）：

• 水躍位置固定且穩定，滾浪充分發展，消能效果良好。
• 能量損失達 $45\% \sim 70\%$，為水工消力池（Stilling Basin）設計最理想之範圍。

5. 強水躍（Strong Jump / Choppy Jump, $Fr_1 > 9.0$）：

• 射流衝擊極為劇烈，伴隨強大震動、巨大飛浪與高摻氣率，水面粗糙混亂。
• 能量損失可達 $70\% \sim 85\%$ 以上；因衝擊力巨大，底床與導水牆需作重度加固保護以防淘刷剝落。

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三、水躍於人工渠道及自然河道中扮演之角色

1. 人工渠道（水利工程結構物）中：

• 消除動能（主要功能）：溢洪道末端、水閘門下游或跌水工後方之超臨界流流速極大，引導水躍發生於「消力池」內，可消除 $50\%$ 以上之破壞性動能，防止下游未襯砌土渠遭受嚴重沖刷。
• 抬高水位與水頭控制：利用水躍後之水深提升，便利引水灌溉渠道進行重力分水。
• 充氧與水質混合：水躍具備強烈的吸氣掺氣及紊流剪切效應，在自來水或污水處理工程中常作為高效率的快速加藥混合池與曝氣設施。
• 排除渠道閉氣：於暗渠過渡段排除水流夾帶之氣囊，降低水錘與氣塞破壞。

2. 自然河道中：

• 天然消能與階生水力控制：山區陡峻河道之跌水、瀑布或「急灘—深潭系統（Step-pool system）」中，水流在深潭前端產生天然水躍，消弭洪水之巨大沖刷能量，維護河床縱向動態平衡。
• 河床地貌塑造與泥砂搬運突變：水躍發生處流速驟降，導致水流挾砂能力大幅降低，常促使粗顆粒礫石在躍後迅速淤積，形成深潭尾部的砂礫堆（Pool tail deposit）；但若水躍震盪偏向岸壁，亦可能造成局部岸壁沖刷淘塌。
• 河川生態棲地維繫與溶氧補充：水躍滾浪促使大氣氧氣大量溶入河水，提高下游水體溶氧量（DO），並形成急流與緩流交錯之微棲地環境，利於魚類溯游休憩與底棲生物繁衍。

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四、共軛水深方程式推導

基本假設：

1. 底床為水平底坡（$S_0 = 0$），重力沿水流流向之分力為零。
2. 渠槽為等寬矩形斷面（寬度為 $b$），斷面性質均勻。
3. 水躍發生長度短，渠底及邊壁摩擦阻力忽略不計（$F_f \approx 0$）。
4. 躍前斷面 1 與躍後斷面 2 之流線均為平行直線，斷面壓力分佈符合靜水壓力分佈。
5. 動量修正係數 $\beta_1 = \beta_2 \approx 1.0$。

推導步驟： 選取斷面 1 與斷面 2 之間的水體為控制體積，依據一維穩態動量方程式： $\sum F_x = \rho Q (v_2 - v_1)$

代入作用於控制體積上之水平外力（僅剩靜水總壓力）： $P_1 - P_2 = \rho Q (v_2 - v_1)$

其中斷面靜水壓力合力為： $P_1 = \frac{1}{2} \gamma b y_1^2, \quad P_2 = \frac{1}{2} \gamma b y_2^2$

將單位重 $\gamma = \rho g$ 及單位寬度流量 $q = \frac{Q}{b} = v_1 y_1 = v_2 y_2$ 代入，兩端同除以渠道寬度 $b$： $\frac{1}{2} \rho g y_1^2 - \frac{1}{2} \rho g y_2^2 = \rho q (v_2 - v_1)$

兩端同除以 $\rho$ 並整理： $\frac{g}{2} (y_1^2 - y_2^2) = q \left( \frac{q}{y_2} - \frac{q}{y_1} \right) = q^2 \left( \frac{y_1 - y_2}{y_1 y_2} \right)$

核心觀念

本題考查開渠水力學中稜柱型渠道斷面幾何水力特性、臨界水深（$y_c$）、正常水深（$y_n$）的試誤計算，以及連續渠段之底床坡度分類與漸變流水面剖線（Water Surface Profile）定性分析。

1. 斷面幾何關係（對稱梯形斷面，底寬 $B_d = 4.0\ \mathrm{m}$，兩側邊坡 $1:1$，即側坡係數 $z = 1$）：

• 通水面積：$A = (B_d + z y)y = (4 + y)y = 4y + y^2$
• 濕周：$P = B_d + 2y\sqrt{1 + z^2} = 4 + 2\sqrt{2}y$
• 水面寬：$T = B_d + 2z y = 4 + 2y$
• 水力半徑：$R = \frac{A}{P} = \frac{4y + y^2}{4 + 2\sqrt{2}y}$

2. 臨界水深（Critical Depth, $y_c$）： 渠道達到臨界流（$Fr = 1$）時滿足： $\frac{Q^2}{g} = \frac{A_c^3}{T_c}$ 臨界水深僅由渠道斷面形狀與流量 $Q$ 決定，與底床坡度 $S_0$ 及糙率 $n$ 無關。因此三渠段之臨界水深完全相同。

3. 正常水深（Normal Depth, $y_n$）： 由曼寧公式（Manning's Formula）計算等深流（均勻流）： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_0^{1/2} \implies A R^{2/3} = \frac{n Q}{S_0^{1/2}}$ 正常水深隨各渠段之糙率 $n$ 與底床坡度 $S_0$ 而異。

4. 坡度判定與水面剖線控制：

• 若 $y_n > y_c$（即 $S_0 < S_c$），為緩坡（Mild slope, M）；水流受下游控制。
• 若 $y_n < y_c$（即 $S_0 > S_c$），為急坡（Steep slope, S）；水流受上游控制。
• 區帶劃分：
• 第 1 區（Zone 1）：$y > y_n$ 且 $y > y_c$（壅水線，水深漸增）。
• 第 2 區（Zone 2）：水深介於 $y_n$ 與 $y_c$ 之間（落水線，水深漸減）。
• 第 3 區（Zone 3）：$y < y_n$ 且 $y < y_c$（壅水線，水深漸增）。
• 緩坡接急坡（M 接 S）時，變坡折點為控制斷面，水深通過臨界水深 $y_c$。
• 急坡接急坡（S 接 S）時，因兩側皆為超臨界流（急流），無水躍產生，由上游控制水面朝下游漸變。

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解題方法

(一) 計算各渠段之臨界水深 $y_c$ 與正常水深 $y_n$

1. 臨界水深 $y_c$ 之計算

取重力加速度 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$，由臨界流條件： $\frac{Q^2}{g} = \frac{22.5^2}{9.81} = \frac{506.25}{9.81} \approx 51.61\ \mathrm{m^5}$ $\frac{A_c^3}{T_c} = \frac{(4y_c + y_c^2)^3}{4 + 2y_c} = 51.61$

採用數值試誤法（Trial and Error）：

• 設 $y_c = 1.30\ \mathrm{m}$：$A = 6.890\ \mathrm{m^2}$，$T = 6.60\ \mathrm{m}$，$\frac{A^3}{T} = \frac{327.08}{6.60} = 49.56 < 51.61$
• 設 $y_c = 1.32\ \mathrm{m}$：$A = 7.022\ \mathrm{m^2}$，$T = 6.64\ \mathrm{m}$，$\frac{A^3}{T} = \frac{346.25}{6.64} = 52.15 > 51.61$
• 內插得 $y_c \approx 1.316\ \mathrm{m} \approx 1.32\ \mathrm{m}$。

因斷面與流量不變，三渠段臨界水深均為： $y_{cA} = y_{cB} = y_{cC} = 1.32\ \mathrm{m}$

2. 渠段 A 之正常水深 $y_{nA}$

已知 $S_A = 0.0004$（$\sqrt{S_A} = 0.02$），$n_A = 0.015$： $A R^{2/3} = \frac{n_A Q}{\sqrt{S_A}} = \frac{0.015 \times 22.5}{0.02} = 16.875$

試誤求 $y_{nA}$：

• 設 $y = 2.20\ \mathrm{m}$：$A = 13.64\ \mathrm{m^2}$，$P = 4 + 2\sqrt{2}(2.20) = 10.22\ \mathrm{m}$，$R = 1.335\ \mathrm{m}$，$A R^{2/3} = 13.64 \times 1.212 = 16.53$
• 設 $y = 2.23\ \mathrm{m}$：$A = 13.89\ \mathrm{m^2}$，$P = 10.31\ \mathrm{m}$，$R = 1.347\ \mathrm{m}$，$A R^{2/3} = 13.89 \times 1.220 = 16.95$
• 內插得：$y_{nA} \approx 2.22\ \mathrm{m}$。

3. 渠段 B 之正常水深 $y_{nB}$

已知 $S_B = 0.009$（$\sqrt{S_B} \approx 0.09487$），$n_B = 0.012$： $A R^{2/3} = \frac{n_B Q}{\sqrt{S_B}} = \frac{0.012 \times 22.5}{0.09487} \approx 2.846$

試誤求 $y_{nB}$：

• 設 $y = 0.80\ \mathrm{m}$：$A = 3.84\ \mathrm{m^2}$，$P = 4 + 2\sqrt{2}(0.80) = 6.263\ \mathrm{m}$，$R = 0.613\ \mathrm{m}$，$A R^{2/3} = 3.84 \times 0.722 = 2.772$
• 設 $y = 0.82\ \mathrm{m}$：$A = 3.952\ \mathrm{m^2}$，$P = 6.319\ \mathrm{m}$，$R = 0.625\ \mathrm{m}$，$A R^{2/3} = 3.952 \times 0.731 = 2.889$
• 內插得：$y_{nB} \approx 0.81\ \mathrm{m}$。

4. 渠段 C 之正常水深 $y_{nC}$

已知 $S_C = 0.004$（$\sqrt{S_C} \approx 0.06325$），$n_C = 0.015$： $A R^{2/3} = \frac{n_C Q}{\sqrt{S_C}} = \frac{0.015 \times 22.5}{0.06325} \approx 5.336$

試誤求 $y_{nC}$：

• 設 $y = 1.16\ \mathrm{m}$：$A = 5.986\ \mathrm{m^2}$，

核心觀念

本題評量水利工程中「水工模型試驗相似律」與「渠道及寬頂堰水力計算」之整合應用，核心觀念包含：

1. 弗勞德相似律（Froude Similarity Law）： 水工模型中若水流具自由液面（開渠流、堰流），其流動主要受重力與慣性力支配，必須滿足弗勞德數相等之條件（$Fr_m = Fr_p$）。

• 長度比尺：$L_r = \frac{L_m}{L_p}$
• 流速比尺：$V_r = \frac{V_m}{V_p} = \sqrt{L_r} = L_r^{1/2}$
• 流量比尺：$Q_r = \frac{Q_m}{Q_p} = A_r V_r = L_r^2 \cdot L_r^{1/2} = L_r^{5/2}$
• 單寬流量比尺：$q_r = \frac{q_m}{q_p} = \frac{Q_r}{B_r} = \frac{L_r^{5/2}}{L_r} = L_r^{3/2}$

2. 曼寧公式（Manning's Formula）與寬淺渠道特性： 均勻流公式為 $V = \frac{1}{n} R^{2/3} S^{1/2}$ 或 $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S^{1/2}$。 當斷面寬度 $B$ 遠大於水深 $y$（通常 $B/y > 10$）時，水力半徑 $R = \frac{By}{B+2y} \approx y$，可簡化為寬淺渠道（Wide Open Channel）計算： $q = \frac{Q}{B} = \frac{1}{n} y^{5/3} S^{1/2}$

3. 寬頂堰自由堰流公式（Free Flow over Broad-Crested Weir）： 自由溢流狀態下，單寬流量 $q$ 與堰頂水頭 $H$（含接近流速水頭之總水頭）的關係式為： $q = \frac{2}{3} C_d \sqrt{2g} H^{3/2}$ 式中 $C_d$ 為流量係數，$g$ 為重力加速度。

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解題方法

(一) 模型試驗用之相似律及來流平均流速 $V_m$

1. 相似律選定： 本試驗為自由液面之開渠與堰流模型，慣性力與重力為支配水流之主導力，黏滯力與表面張力之影響相對微小，故採用弗勞德相似律（Froude Similarity Law）。 $Fr_m = Fr_p \implies \frac{V_m}{\sqrt{g L_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{g L_p}}$ 因重力加速度 $g_m = g_p$，故流速比尺 $V_r$ 為： $V_r = \frac{V_m}{V_p} = \sqrt{\frac{L_m}{L_p}} = \sqrt{L_r} = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} \approx 0.1414$

2. 原型渠道來流平均流速 $V_p$ 計算： 已知原型河道條件：

• 河寬 $B_p = 998\ \mathrm{m}$
• 坡度 $S = 0.003$
• 曼寧糙率 $n = 0.035$
• 總流量 $Q_p = 8100\ \mathrm{cms}$

原型單寬流量 $q_p$： $q_p = \frac{Q_p}{B_p} = \frac{8100}{998} \approx 8.1162\ \mathrm{m^3/(s\cdot m)}$

河寬達 $998\ \mathrm{m}$，屬典型寬淺矩形渠道（$B \gg y$），取水力半徑 $R_p \approx y_p$，代入曼寧公式求正常水深 $y_p$： $q_p = \frac{1}{n} y_p^{5/3} S^{1/2}$ $8.1162 = \frac{1}{0.035} y_p^{5/3} \sqrt{0.003}$ $y_p^{5/3} = \frac{8.1162 \times 0.035}{\sqrt{0.003}} = \frac{0.28407}{0.05477} \approx 5.1864$ $y_p = (5.1864)^{3/5} \approx 2.684\ \mathrm{m}$ (檢驗寬深比：$B_p / y_p = 998 / 2.684 \approx 372 \gg 10$，寬淺渠道假設極為精確)

計算原型來流平均流速 $V_p$： $V_p = \frac{q_p}{y_p} = \frac{8.1162}{2.684} \approx 3.024\ \mathrm{m/s}$ (若不採寬淺假設，以精確矩形斷面 $R = \frac{998y}{998+2y}$ 求解，可得 $y_p \approx 2.690\ \mathrm{m}$，$V_p \approx 3.017\ \mathrm{m/s}$)

核心觀念

本題考查橋梁水力學與基礎沖刷分析，融合了「現代水理數值模式之工程應用」與「古典經驗沖刷機制」。

1. 橋梁總沖刷深（Total Scour Depth, $y_{total}$）的組成： 依據交通部《公路橋梁設計規範》與美國聯邦公路局（FHWA）HEC-18 規範，跨河橋梁基礎的總沖刷深度由三大部分疊加而成： $y_{total} = y_{deg} + y_{con} + y_{local}$

• $y_{deg}$：長期河床演變（Long-term Degradation）。
• $y_{con}$：束縮沖刷深（Contraction Scour）。
• $y_{local}$：局部沖刷深（Local Scour，包含橋墩沖刷 $y_s$ 與橋台沖刷）。

2. 水理模式於沖刷計算的定位： 一維（1D）與二維（2D）水理數值模式本身（如 HEC-RAS、SRH-2D、CCHE2D）主要求解連續方程式與動量方程式（淺水方程式），目的在於提供橋墩未受干擾前的「接近流況」（Approach Flow Conditions，即接近水深 $y_1$、接近流速 $V_1$、福祿數 $\text{Fr}_1$ 與水流攻角 $\theta$），再將這些水理參數代入經驗沖刷公式（如 FHWA HEC-18 推薦之 CSU 公式、Froehlich 公式或 Melville 公式）計算沖刷深度，而非由水理模式直接網格解析毫米級的微觀沖刷坑。

3. 寬廣溪流（Wide Rivers）的水理特徵： 寬廣溪流常具備複式斷面（Compound Channel）、主深槽（Main Channel）與漫灘（Floodplain）流速差異極大、分流沙洲眾多、洪峰時流向多變等特徵。一維模式之斷面平均假設易失真，需結合或進一步採用二維模式解析橫向流速分佈與水流偏角。

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解題方法

(一) 一維與二維水理數值模式於寬廣溪流橋梁墩基沖刷之運用程序

在寬廣溪流中，橋墩沖刷計算應採取「整體掌握、局部精化、結合經驗公式」之標準工程作業流程：

1. 一維水理數值模式（1D Model，如 HEC-RAS 1D）的運用

• 功能定位：長河段水理宏觀模擬、上下游邊界條件控制與全斷面束縮沖刷初估。
• 操作步驟：

1. 幾何斷面建置：匯入大範圍河道斷面測量資料（含主槽與高灘地），定義過水斷面、粗糙係數（曼寧 $n$ 值）及主副槽分界點。

2. 邊界條件與水理演算：給定上游設計洪峰流量（如 50 年、100 年重現期距）與下游控制水位（額定曲線或水力坡降），求解一維聖維南方程式或標準步進法（Standard Step Method），獲得沿程水面線及能量坡降 $S_f$。

3. 束縮沖刷計算：直接利用 1D 輸出之橋梁上游與橋孔收縮斷面的主槽與灘地流量分佈（$Q_1, Q_2$）、水深與水面寬，套用 Laursen 輸砂或清流束縮沖刷公式計算 $y_{con}$。

4. 局部墩基水理提取之限制與修正：寬廣溪流之斷面平均流速無法代表個別橋墩位置的局部流速。若僅有一維模式，必須利用「通水能量分配法（Conveyance Tube / Velocity Distribution Slice）」將斷面細分為多個水理小區，提取各橋墩所在垂直單元之局部接近水深 $y_1$ 與流速 $V_1$。

5. 二維水理數值模式（2D Model，如 SRH-2D、HEC-RAS 2D）的運用

• 功能定位：精確解析寬廣溪流橫向流速梯度、分流漫灘流況及水流對橋墩之攻角（Angle of Attack）。
• 操作步驟：

1. 網格剖分（Mesh Generation）：利用數值高程模型（DEM）與水下地形建置二維非結構性或結構性網格。在橋址鄰近區域、主副槽交界處及各橋墩周圍進行網格局部加密（Refinement），精準刻畫地形起伏。
2. 二維淺水流動求解：上、下游邊界可直接採用實測值，或由 1D 大範圍模式給定作為巢狀邊界（Nested Boundary）。模式求解水深平均之連續方程式與二維動量方程式（納維-斯托克斯淺水簡化式），模擬出平面二維流場向量 $(u, v)$ 及水深 $h$。
3. 各個別橋墩水理參數之提取：

• 於每一橋墩上游約 2 至 3 倍橋墩寬度處（尚未受橋墩減速與馬蹄形渦流顯著影響之點），提取數值網格節點上的接近水深 $y_1$。
• 提取該點之合成接近流速 $V_1 = \sqrt{u^2 + v^2}$。
• 計算水流攻角（偏角） $\theta = \arctan(v/u) - \alpha_{pier}$（其中 $\alpha_{pier}$ 為橋墩軸線走向夾角）。寬廣溪流極易因主灘分流導致橋墩產生較大攻角，2D 模式可直接獲得此關鍵數據。
• 計算接近流之福祿數 $\text{Fr}_1 = \frac{V_1}{\sqrt{g y_1}}$。

3. 代入經驗沖刷公式計算墩基沖刷深 將 1D（束縮沖刷）與 2D（提取之各墩基水理參數）結果輸入經驗公式，以美國 FHWA HEC-18 推薦之 CSU 橋墩沖刷公式為例： $y_s = 2.0 \, K_1 K_2 K_3 K_4 \, y_1 \left( \frac{a}{y_1} \right)^{0.65} \text{Fr}_1^{0.43}$

• $a$：橋墩受沖面有效投影寬度。
• $y_1, V_1, \text{Fr}_1$：直接採用 2D 模式於該橋墩上游提取之局部水理值。
• $K_1$：墩鼻形狀修正係數（圓頭型、方形、銳角型等）。
• $K_2$：水流攻角修正係數，依據 2D 提取之攻角 $\theta$ 與橋墩長寬比 $L/a$ 進行計算： $K_2 = \left( \cos\theta + \frac{L}{a} \sin\theta \right)^{0.65}$
• $K_3$：河床型態修正係數（平整床面、波紋、沙丘等）。
• $K_4$：河床質粗化（Armoring）修正係數（依 $D_{50}$ 及 $D_{90}$ 評估）。

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(二) 應考慮之沖刷因素說明

評估跨河橋梁墩基沖刷深時，應全盤考量下列四大類因素：