107 高普考高考三級 水利工程 土壤力學（包括基礎工程） 考古題詳解

核心觀念

本題評量土壤物理性質之基本指標定義、三相系統推導能力，以及夯實理論之實務應用：

1. 土壤三相圖（Three-Phase Diagram）分析法：土壤由固相（土粒）、液相（水）、氣相（空氣）組成。當設定土粒體積 $V_s = 1$ 為計算基準時，各相體積與重量可直接由孔隙比 $e$、飽和度 $S$、土粒比重 $G_s$ 及水單位重 $\gamma_w$ 表示。
2. 零空氣孔隙曲線（Zero-Air-Void Curve, ZAV）：夯實試驗中，土壤處於理論上空氣體積完全排除（$V_a = 0$，即飽和度 $S = 100\%$）之狀態。此時之乾單位重稱為零空氣孔隙單位重 $\gamma_{zav}$，代表特定含水量下理論上可達到之最大乾單位重上限。
3. 土壤體積含水量（Volumetric Water Content, $\theta$）：廣泛應用於非飽和土壤力學、邊坡入滲分析與農工水利中，定義為孔隙水體積與土壤總體積之比值（$\theta = V_w / V_T$）。其與一般工程習慣使用的重量含水量（Gravimetric Water Content, $w = W_w / W_s$）存在藉由土壤乾密度（或孔隙比）銜接之定量轉換關係。

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解題方法

步驟一：繪製以土粒體積為一單位（$V_s = 1$）之土壤三相圖

以土粒體積 $V_s = 1$ 為基準推算各相物理量：

1. 體積關係（Volume）：

• 孔隙比定義為 $e = \frac{V_v}{V_s}$，因 $V_s = 1$，故孔隙體積 $V_v = e$。
• 飽和度定義為 $S = \frac{V_w}{V_v}$，故水體積 $V_w = S \cdot e$。
• 空氣體積 $V_a = V_v - V_w = e - S e = e(1 - S)$。
• 總體積 $V_T = V_s + V_v = 1 + e$。

2. 重量關係（Weight）：

• 空氣重量忽略不計：$W_a = 0$。
• 土粒重量：$W_s = G_s \gamma_w V_s = G_s \gamma_w$。
• 重量含水量定義為 $w = \frac{W_w}{W_s}$，故水重量 $W_w = w W_s = w G_s \gamma_w$。
• 又水重量亦可表示為 $W_w = \gamma_w V_w = S e \gamma_w$，故得基本關係式：$S e = w G_s$。
• 總重量 $W_T = W_s + W_w = G_s \gamma_w (1 + w)$。

三相圖標註如下：

 體積 (Volume) 相 (Phase) 重量 (Weight)
 ┌────────────────────┐ ┌────────────────┐ ┌────────────────────┐
 │ Va = e(1 - S) │ │ 空氣 (Air) │ │ Wa = 0 │
 ├────────────────────┤ ├────────────────┤ ├────────────────────┤
 │ Vw = S·e = w·Gs │ │ 水 (Water) │ │ Ww = w·Gs·γw │
 ├────────────────────┤ ├────────────────┤ ├────────────────────┤
 │ Vs = 1 │ │ 土粒 (Solids) │ │ Ws = Gs·γw │
 └────────────────────┘ └────────────────┘ └────────────────────┘
 總體積 VT = 1 + e 總重量 WT = Gs·γw·(1 + w)

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步驟二：推導零空氣孔隙曲線公式（子題一）

1. 零空氣孔隙之物理條件： 零空氣孔隙狀態意指土壤中之空氣被完全排除，即： $V_a = 0 \iff S = 1.0 \ (100\%)$ 此時孔隙完全由水填滿，由 $S e = w G_s$ 且 $S = 1$ 可得： $e = w G_s$

2. 計算總體積 $V_T$： 在 $V_s = 1$ 之下，土壤之總體積為： $V_T = V_s + V_w + V_a = 1 + w G_s + 0 = 1 + w G_s$

3. 計算乾單位重 $\gamma_{zav}$： 夯實曲線之縱座標為土壤之乾單位重 $\gamma_d$，其定義為土粒重量對總體積之比值： $\gamma_{zav} = \frac{W_s}{V_T}$ 將 $W_s = G_s \gamma_w$ 及 $V_T = 1 + w G_s$ 代入，得： $\gamma_{zav} = \frac{G_s \gamma_w}{1 + w G_s}$ 得證。

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步驟三：推導體積含水量 $\theta$ 與重量含水量 $w$ 之轉換公式（子題二）

1. 由定義出發： 體積含水量 $\theta$ 定義為孔隙水體積對總體積之比值： $\theta = \frac{V_w}{V_T}$

核心觀念

本題評量飽和砂土在三軸壓密不排水剪力試驗（Consolidated Undrained Triaxial Test, 簡稱 CU 或 SCU 試驗）中的應力狀態、抗剪強度參數、Lambe 應力路徑以及土壤狀態之學理推論。涉及之核心定理與公式如下：

1. 砂土之強度包絡線特性： 砂土為無凝聚性土壤（Cohesionless soil），其總應力凝聚力與有效凝聚力皆為零，即 $c = 0$ 且 $c' = 0$。因此破壞包絡線必通過莫耳圓原點，僅需單一試體之破壞應力狀態即可決定內摩擦角 $\phi$ 與 $\phi'$。
2. 莫耳—庫倫破壞準則（Mohr-Coulomb Failure Criterion）： 破壞時主應力與內摩擦角之幾何關係為： $\sin\phi = \frac{\sigma_{1f} - \sigma_{3f}}{\sigma_{1f} + \sigma_{3f}} = \frac{\Delta\sigma_f}{\sigma_{1f} + \sigma_{3f}}$ $\sin\phi' = \frac{\sigma'_{1f} - \sigma'_{3f}}{\sigma'_{1f} + \sigma'_{3f}} = \frac{\Delta\sigma_f}{\sigma'_{1f} + \sigma'_{3f}}$
3. Skempton 孔隙水壓參數（Pore Pressure Parameter）： 飽和土壤（$B = 1$）在等向圍壓不變（$\Delta\sigma_3 = 0$）之剪力階段，剪力引致之孔隙水壓增量為： $\Delta u_f = A_f \cdot \Delta\sigma_f$ 破壞時之總孔隙水壓 $u_f$ 為壓密完成時之反水壓（Back Pressure）$u_0$ 加上剪力引致之水壓增量： $u_f = u_0 + \Delta u_f$
4. 有效應力原理（Effective Stress Principle）： $\sigma'_{1f} = \sigma_{1f} - u_f, \quad \sigma'_{3f} = \sigma_{3f} - u_f$
5. Lambe（1964）應力路徑定義：

• 總應力路徑（Total Stress Path, TSP）：橫坐標 $p = \dfrac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}$，縱坐標 $q = \dfrac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$。
• 有效應力路徑（Effective Stress Path, ESP）：橫坐標 $p' = \dfrac{\sigma'_1 + \sigma'_3}{2} = p - u$，縱坐標 $q = \dfrac{\sigma'_1 - \sigma'_3}{2}$。

6. 砂土剪力變形與狀態特性：

• 鬆砂受剪時趨於體積收縮（Contractive），剪力引致較大之正孔隙水壓（$A_f \approx 0.7 \sim 1.0$），且有效內摩擦角較小（通常 $\phi' \approx 28^\circ \sim 32^\circ$）。
• 緊砂受剪時具剪脹性（Dilative），顆粒相互咬合（Interlocking），孔隙水壓增量低甚至為負值（$A_f \le 0$ 或小正值），有效內摩擦角顯著較大（通常 $\phi' \ge 36^\circ$）。

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解題方法

(一) 計算總應力與有效應力強度參數 $(c,\phi)$ 及 $(c',\phi')$

步驟 1：求破壞時之總應力狀態

• 壓密完成（剪力開始前）圍壓 $\sigma_{3c} = 200\ \mathrm{kPa}$，反水壓 $u_0 = 100\ \mathrm{kPa}$。
• 剪力破壞時，側向圍壓維持不變，故側向主應力 $\sigma_{3f} = 200\ \mathrm{kPa}$。
• 達到破壞時之軸差應力 $\Delta\sigma_f = (\sigma_1 - \sigma_3)_f = 200\ \mathrm{kPa}$。
• 破壞時之最大總主應力： $\sigma_{1f} = \sigma_{3f} + \Delta\sigma_f = 200 + 200 = 400\ \mathrm{kPa}$

步驟 2：求破壞時之孔隙水壓與有效應力狀態

• 試體為飽和砂土（$B = 1$），在剪力過程中圍壓不變（$\Delta\sigma_3 = 0$），由 Skempton 公式求孔隙水壓增量： $\Delta u_f = A_f \cdot \Delta\sigma_f = 0.2 \times 200 = 40\ \mathrm{kPa}$
• 破壞時之總孔隙水壓： $u_f = u_0 + \Delta u_f = 100 + 40 = 140\ \mathrm{kPa}$
• 破壞時之有效主應力： $\sigma'_{3f} = \sigma_{3f} - u_f = 200 - 140 = 60\ \mathrm{kPa}$ $\sigma'_{1f} = \sigma_{1f} - u_f = 400 - 140 = 260\ \mathrm{kPa}$ （驗算：$\sigma'_{1f} - \sigma'_{3f} = 260 - 60 = 200\ \mathrm{kPa} = \Delta\sigma_f$，正確）

步驟 3：計算強度參數 砂土為無凝聚性材料，其凝聚力 $c = 0$、$c' = 0$。

1. 總應力強度參數 $(c, \phi)$： $\sin\phi = \frac{\sigma_{1f} - \sigma_{3f}}{\sigma_{1f} + \sigma_{3f}} = \frac{400 - 200}{400 + 200} = \frac{200}{600} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$ $\phi = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19.47^\circ$ 故總應力強度參數為： $(c, \phi) = (0\ \mathrm{kPa},\ 19.47^\circ)$

2. 有效應力強度參數 $(c', \phi')$： $\sin\phi' = \frac{\sigma'_{1f} - \sigma'_{3f}}{\sigma'_{1f} + \sigma'_{3f}} = \frac{260 - 60}{260 + 60} = \frac{200}{320} = \frac{5}{8} = 0.625$ $\phi' = \arcsin(0.625) \approx 38.68^\circ$ 故有效應力強度參數為： $(c', \phi') = (0\ \mathrm{kPa},\ 38.68^\circ)$

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(二) 繪製 Lambe（1964）定義之總應力與有效應力路徑

步驟 1：計算應力路徑關鍵點座標 依據 Lambe 定義，應力坐標軸為 $(p, q)$ 與 $(p', q)$： $p = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}, \quad p' = \frac{\sigma'_1 + \sigma'_3}{2} = p - u, \quad q = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$

1. 剪力起始點（壓密完成狀態，下標 0）：

• $\sigma_{10} = \sigma_{30} = 200\ \mathrm{kPa}$，$u_0 = 100\ \mathrm{kPa}$
• 總應力起點 $A$： $p_0 = \frac{200 + 200}{2} = 200\ \mathrm{kPa}, \quad q_0 = \frac{200 - 200}{2} = 0\ \mathrm{kPa} \implies A(200, 0)$
• 有效應力起點 $A'$： $p'_0 = p_0 - u_0 = 200 - 100 = 100\ \mathrm{kPa}, \quad q_0 = 0\ \mathrm{kPa} \implies A'(100, 0)$

核心觀念

本題評量 Terzaghi 淺基礎極限承載力理論 的三項核心架構：

1. 破壞機構與幾何邊界：Terzaghi 假定之一般剪力破壞面包含三個區帶：

• 區帶 I（彈性楔形區）：位於基礎底面下方，楔形面與水平面夾角在一般情況下為 $\phi$。
• 區帶 II（放射狀剪力區）：剪力破壞面為對數螺旋線 $r = r_0 e^{\theta \tan\phi}$。
• 區帶 III（Rankine 被動區）：剪力破壞面為平直之滑動面，與水平地表夾角為 $45^\circ - \frac{\phi}{2}$。 當 $\phi = 0$ 時，幾何邊界產生退化（$\tan\phi = 0$，對數螺旋線退化為圓弧；底角 $\phi = 0$，彈性楔形區退化為平面）。

2. 平鈑載重試驗（Plate Load Test, PLT）之尺寸與形狀效應： Terzaghi 承載力通式為： $q_{ult} = c N_c s_c + q N_q + \frac{1}{2} \gamma B N_\gamma s_\gamma$ 地表進行試驗時，超載重 $q = \gamma D_f = 0$。於黏土層（$\phi = 0$，$N_\gamma = 0$）與砂土層（$c = 0$），控制承載力的主導項截然不同，導致尺寸效應與形狀修正公式存在本質差異。
3. 淨極限承載力與地下水位之關係： 淨極限承載力定義為： $q_{net(ult)} = q_{ult} - q = c N_c + q(N_q - 1) + \frac{1}{2}\bar{\gamma} B N_\gamma$ 當 $\phi = 0$ 時，承載力因子為 $N_c = 5.7$、$N_q = 1.0$、$N_\gamma = 0$，此時各項對地下水位之敏感度出現極端簡化。

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解題方法

(一) $\phi=0$ 時條狀基礎破壞面幾何圖與參數標註

當土壤摩擦角 $\phi = 0$ 時，破壞機構由一般剪力破壞退化為特殊幾何型態：

1. 區帶 I（剛性/彈性楔形區 $abc$）：

• 根據 Terzaghi 理論，楔形底角即為內摩擦角 $\phi$。
• 當 $\phi = 0$ 時，底角 $\alpha = \phi = 0^\circ$，楔形區厚度退化為零，基礎底面 $ab$ 直接作為區帶 II 圓弧滑動面之旋轉邊界（實務繪圖上常標註剛性核退化為基礎底邊 $B$）。

2. 區帶 II（放射狀剪力區 $acd$ 與 $bce$）：

• 對數螺旋線公式為 $r = r_0 e^{\theta \tan\phi}$。
• 當 $\phi = 0$ 時，$\tan 0^\circ = 0$，半徑 $r = r_0 = B$（常數），因此對數螺旋線退化為圓弧。
• 圓弧中心分別位於基礎角點（$a$ 點與 $b$ 點），半徑為基礎寬度 $B$。

3. 區帶 III（Rankine 被動區 $ade$ 或過渡外側）：

• 滑動面為平直線段，破壞面與水平地表面之夾角為： $\beta = 45^\circ - \frac{\phi}{2} = 45^\circ - 0^\circ = 45^\circ$

破壞面幾何示意圖如下：

 地表面 地表面
───────┬──────────────────────┬─────────┬──────────────────────┬───────
 │ │ 基礎 │ │
 │ │ 寬度 B │ │
 d│ a┌───────┐b │e
 │\ │ │ /│
 │ \ └───────┘ / │
 │ \ 直線破壞面 ▲ ▲ 直線破壞面 / │
 │ \ (與水平成45°) │ │ (與水平成45°) / │
 │ \ │ 區帶I │ / │
 │ \ │ 退化為│ / │
 │ \ │ 基礎底│ / │
 │ \ │ 線 B │ / │
 │ 區帶 \ 區帶 II └───────┘ 區帶 II / 區帶 │
 │ III \ (圓弧, R = B) (圓弧, / III │
 │ \ R = B) / │
 │ \ / │
 └────────────弧───────────────────────────弧────────────┘
 c

幾何參數詳細標註：

• 基礎寬度：$B$。
• 區帶 I 楔形底角：$\alpha = \phi = 0^\circ$（退化至基礎底邊）。
• 區帶 II 剪力面軌跡：圓弧（Circular arc），圓心於基礎端點，半徑 $R = B$。
• 區帶 III 被動滑動面與水平面夾角：$\beta = 45^\circ - \frac{\phi}{2} = 45^\circ$。

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(二) 地表平鈑載重試驗之極限承載力修正與原由

在地表進行試驗時，埋深 $D_f = 0 \implies q = \gamma D_f = 0$。 圓形平鈑（直徑為 $B_p$）之 Terzaghi 極限承載力公式為： $q_{ult(p)} = 1.3 c N_c + 0.3 \gamma B_p N_\gamma$

實際基礎寬度設為 $B_f$。針對不同土層之修正方式及原由說明如下：

1. 黏土層（飽和黏土，$\phi = 0$）

• 承載力因子：$N_c = 5.7$、$N_\gamma = 0$。
• 平鈑極限承載力： $q_{ult(p)} = 1.3 c N_c = 1.3 (5.7 c) = 7.41 c$
• 實際基礎之極限承載力 $q_{ult(f)}$：
• 若實際基礎為條狀基礎（$s_c = 1.0$）： $q_{ult(f)} = 1.0 c N_c = 5.7 c = \frac{1.0}{1.3} q_{ult(p)} \approx 0.77 q_{ult(p)}$
• 若實際基礎為圓形基礎（$s_c = 1.3$）： $q_{ult(f)} = 1.3 c N_c = q_{ult(p)}$
• 若實際基礎為方形基礎（$s_c = 1.3$）： $q_{ult(f)} = 1.3 c N_c = q_{ult(p)}$
• 原由： 黏土層在不排水條件下（$\phi = 0$），$N_\gamma = 0$，自重與基礎尺寸項（$\frac{1}{2}\gamma B N_\gamma$）為零。承載力完全取決於凝聚力 $c$（不排水剪力強度 $s_u$）與形狀效應，與基礎寬度 $B$ 無關（即無尺寸效應）。因此只需依形狀因子 $s_c$ 進行形狀修正，同形狀下基礎與平鈑之承載力完全相同。

2. 砂土層（砂土無凝聚力，$c = 0$）

• 承載力因子：$c = 0$ 且地表 $q = 0$。
• 平鈑極限承載力： $q_{ult(p)} = 0.3 \gamma B_p N_\gamma$
• 實際基礎之極限承載力 $q_{ult(f)}$：
• 若實際基礎為圓形基礎（直徑 $B_f$，$s_\gamma = 0.6$）： $q_{ult(f)} = 0.3 \gamma B_f N_\gamma = q_{ult(p)} \cdot \left(\frac{B_f}{B_p}\right)$

核心觀念

本題考驗深開挖工程（Deep Excavation / Braced Cut）之兩大核心課題：側向土壓力分布機制與黏土層開挖底面抗隆起（Basal Heave）穩定性分析。

1. 開挖支撐之側向土壓力機制：

• 傳統土壓力（Rankine / Coulomb）假設：建立於剛性擋土牆繞底部向外旋轉或整體向外平移的極限平衡狀態，土體完全發揮抗剪強度，側向土壓力隨深度呈線性增加（三角形分布）。
• 支撐開挖之變形與應力機制：深開挖擋土壁（如連續壁、排樁）在分階開挖並架設橫撐後，位移受橫撐高度束制，壁體位移型態為「中段向內凸出（Bulging）」或「繞頂部向內旋轉」；同時產生顯著的土壤拱效應（Soil Arching Effect）與應力重分配，使土壓力集中於剛度較大的橫撐支點。
• Peck（1969）視側壓力圖（Apparent Earth Pressure Envelope）：由實際開挖工程觀測各道橫撐反力逆推而成之「包絡設計圖」，並非壁體瞬間之真實應力，旨在確保每道橫撐在不同施工階段均具備足夠安全性。

2. Terzaghi 黏土抗隆起理論（Basal Heave Analysis）：

• 純黏土在不排水條件下（$\phi = 0$，$c = c_u$），開挖面兩側土體因自重下沉，將開挖底部黏土向上擠出，其破壞機制等同於條形基礎之承載力破壞（Prandtl / Terzaghi 承載力破壞模式）。
• 當開挖長度遠大於寬度（$L \gg B$）時，屬於**平面應變（Plane Strain）**問題。
• 當開挖底面黏土厚度 $T > B$ 時，破壞滑動面不受堅硬下臥層阻礙，能充分向側向及深處發展，破壞土柱寬度取為 $b = \frac{B}{\sqrt{2}} \approx 0.707B$。

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解題方法與完整推導

(一) 支撐開挖側向土壓力採用 Peck 視側壓力圖之原因分析

進行開挖支撐設計時，採用 Peck（1969）視側壓力分布圖而非主動（$P_a$）或靜止（$P_0$）土壓力，主要基於以下力學與施工機制差異：

1. 擋土壁變形模式之差異（Deformation Mode）：

• 主動土壓力：假設壁體產生「繞基部向外旋轉（Rotation about the base）」或「整體向外平移」，使整面背填土同時達到塑性極限平衡，土壓力隨深度線性增加呈三角形分布。
• 支撐開挖壁體：隨開挖逐層架設橫撐，壁體頂部受橫撐束制而位移極小，底部亦受開挖面以下嵌入土體嵌制，主要變形為兩端固定、中段向開挖區凸出的鼓出型態（Bulging）。邊界變形條件與 Rankine / Coulomb 理論完全不符。

2. 土壤拱效應（Soil Arching Effect）導致應力重分配：

• 橫撐支點處勁度極大、側向位移極小；支撐與支撐之間及開挖面附近壁體位移相對較大。
• 由於各部位位移不均勻，土體剪應力被激發並轉移，應力自變形大之區域轉移至剛度大、變形小之橫撐支撐點，形成「土壤拱效應」。此效應使得上部橫撐處承受之側向土壓力顯著增加，壁體跨中處應力降低，土壓力分布不再是底大頂小的三角形。

3. 施工順序與橫撐反力非同時達到最大值（Construction Sequence）：

• 開挖支撐為分階開挖、逐層架設橫撐並施加預力之動態施工過程。
• 某一特定橫撐的最大荷重往往發生在後續某一開挖階段（例如第 1 道橫撐在開挖至第 2 階或第 3 階時受力達到尖峰），而非全區開挖完成瞬間。所有橫撐的最大受力在時間上是「非同時發生」的。

4. Peck 視側壓力圖之工程本質為「設計包絡線」：

• Peck（1969）提出的分布圖並非作用於壁體上某一瞬間的「真實物理土壓力」，而是根據實際工程觀測之「橫撐最大反力」逆推包絡而成的視側壓力包絡線（Envelope of Strut Loads）。
• 其目的是提供結構工程師設計橫撐與圍苓時之「保守包絡值」，確保各層橫撐在不同施工階段均安全無虞。

5. 傳統主動與靜止土壓力應用於支撐開挖之危險性：

• 主動土壓力：頂部三角形壓力值過小，若以此設計上部橫撐，將嚴重低估其荷重，易引發上部橫撐挫屈、造成骨牌式連鎖崩塌。
• 靜止土壓力：雖整體力量較大，但分布型態仍為三角形，既無法反映拱效應造成的頂部應力集中，又會使底部構件過度保守而缺乏經濟性。

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(二) Terzaghi 黏土抗隆起安全係數推導

1. 基本假設與幾何條件

• 開挖深度為 $H$、開挖寬度為 $B$。
• 長度 $L \gg B$，視為二維平面應變問題。
• 黏土層飽和且處於不排水狀態，內摩擦角 $\phi = 0$，不排水剪力強度為 $c$（或 $c_u$），土壤單位重為 $\gamma$。
• 開挖面以下黏土層厚度 $T > B$，破壞滑動面完全在深厚黏土層內發展，不受硬層阻礙。