108 高普考高考三級 機械工程 熱力學 考古題詳解

核心觀念

本題評量開口系統（控制容積）熱力學第一定律與理想氣體變比熱積分的應用，核心要點包含：

1. 理想氣體之比焓與變比熱積分： 理想氣體的比焓僅為溫度的函數，即 $h = h(T)$。當定壓比熱 $\overline{C}_p$ 為溫度的函數時，摩爾焓差必須透過積分求解： $\overline{h}_2 - \overline{h}_1 = \int_{T_1}^{T_2} \overline{C}_p(T) \, dT$ 質量基底的比焓差 $h_2 - h_1$ 則以摩爾焓差除以氣體分子量 $M$ 換算（或利用比氣體常數 $R = \overline{R}/M$ 求解）： $h_2 - h_1 = \frac{\overline{h}_2 - \overline{h}_1}{M} = \frac{\overline{R}}{M} \int_{T_1}^{T_2} \frac{\overline{C}_p(T)}{\overline{R}} \, dT$

2. 穩態穩流能量守恆方程式（SSSF Energy Equation）： 對單一進口、單一出口的控制容積，在忽略位能變化（$\Delta z \approx 0$）的情形下，能量方程式為： $\dot{Q} - \dot{W} = \dot{m} \left[ (h_2 - h_1) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} \right]$

3. 符號與單位規範：

• 系統向外散熱，熱傳率取負值：$\dot{Q} = -78\ \mathrm{kW}$。
• 動能項 $\frac{V^2}{2}$ 單位為 $\mathrm{m^2/s^2} = \mathrm{J/kg}$，換算為熱力學標準單位 $\mathrm{kJ/kg}$ 時必須除以 $1000$。

---

解題方法

（一）求比焓變化量 $h_2 - h_1$

依題意，通用氣體常數取 $\overline{R} = 8.314\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}$，分子量 $M = 29\ \mathrm{kg/kmol}$，燃氣的比氣體常數為： $R = \frac{\overline{R}}{M} = \frac{8.314}{29} \approx 0.28669\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

比焓變化量展開為積分式： $h_2 - h_1 = R \int_{T_1}^{T_2} \left( \alpha + \beta T + \gamma T^2 \right) dT = R \left[ \alpha (T_2 - T_1) + \frac{\beta}{2} (T_2^2 - T_1^2) + \frac{\gamma}{3} (T_2^3 - T_1^3) \right]$

已知進口溫度 $T_1 = 2150\ \mathrm{K}$，出口溫度 $T_2 = 396\ \mathrm{K}$：

• 一次方溫差： $T_2 - T_1 = 396 - 2150 = -1754\ \mathrm{K}$
• 二次方溫差： $T_2^2 - T_1^2 = 396^2 - 2150^2 = 156816 - 4622500 = -4465684\ \mathrm{K^2}$
• 三次方溫差： $T_2^3 - T_1^3 = 396^3 - 2150^3 = 62099136 - 9938375000 = -9876275864\ \mathrm{K^3}$

分別計算多項式各項數值：

1. $\alpha (T_2 - T_1) = 3.67 \times (-1754) = -6437.18$
2. $\frac{\beta}{2} (T_2^2 - T_1^2) = \frac{-1.21 \times 10^{-3}}{2} \times (-4465684) = +2701.74$
3. $\frac{\gamma}{3} (T_2^3 - T_1^3) = \frac{2.32 \times 10^{-6}}{3} \times (-9876275864) \approx -7637.65$

核心觀念

本題主要測驗「理想氣體之多變過程（Polytropic Process）」與「狀態變化過程之熵變化量計算」。涉及之核心定義與熱力學公式如下：

1. 理想氣體狀態關係與比熱性質：

• 通用氣體常數 $\bar{R} = 8.314\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}$，氣體常數 $R = \frac{\bar{R}}{M}$。
• 定壓比熱與等容比熱之比值定義為比熱比：$k = \frac{C_p}{C_v} \implies C_p = k C_v$。
• 理想氣體之邁耶公式（Mayer's relation）：$R = C_p - C_v = (k - 1) C_v$。

2. 多變過程之狀態關係：

• 過程方程式為 $P v^n = \text{常數}$（其中 $n$ 為多變指數，Polytropic Index）。
• 結合理想氣體狀態方程式 $P v = R T$，導出溫度與壓力之關係式： $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}$

3. 理想氣體之比熵變化量（Specific Entropy Change）：

• 根據吉布斯第一、第二方程式（$T\mathrm{d}s$ 關係式），單位質量之熵變化量為： $\Delta s = s(T_2, P_2) - s(T_1, P_1) = C_p \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right)$
• 若過程依多變過程進行，其熵變化量亦可表示為： $\Delta s = C_v \left(\frac{n - k}{n - 1}\right) \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)$

---

解題方法

本題題文載明為「多變過程」，惟漏給多變指數 $n$；在題目明確給定比熱比 $k=1.4$ 之條件下，國家考試標準解法係將此過程視為等熵多變過程特例（即設定多變指數 $n = k = 1.4$）進行求解。

（一）計算終態溫度 $T_2$

1. 整理已知數據：

• 初態溫度 $T_1 = 315\ \mathrm{K}$
• 初態壓力 $P_1 = 1.2\ \mathrm{bar}$
• 終態壓力 $P_2 = 36\ \mathrm{bar}$
• 壓力比： $\frac{P_2}{P_1} = \frac{36}{1.2} = 30$

2. 代入多變狀態關係式： 取 $n = k = 1.4$，指數項為： $\frac{n - 1}{n} = \frac{k - 1}{k} = \frac{1.4 - 1}{1.4} = \frac{0.4}{1.4} = \frac{2}{7} \approx 0.2857$

3. 計算 $T_2$： $T_2 = T_1 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}} = 315 \times (30)^{\frac{2}{7}} = 315 \times 2.6426 \approx 832.42\ \mathrm{K}$

註：若保留多變指數 $n$ 作為未知參數，代數通式解為 $T_2 = 315 \times (30)^{\frac{n-1}{n}}\ \mathrm{K}$。

---

（二）計算每單位質量空氣之熵變化量 $\Delta s$

1. 標準理論解（等熵過程）： 在 $n = k = 1.4$ 之設定下，多變過程之比熱 $C_n = C_v \left(\frac{n - k}{n - 1}\right) = 0$，該過程即為可逆絕熱（等熵）過程：

核心觀念

本題為標準熱力學名詞解釋題，考查考生對工程熱力學四大基礎概念的理解深度、物理意義掌握度及工程應用關聯性：

1. 節流過程（Throttling Process）：穩態開口系統第一定律能量平衡、等焓性質（$h_1 = h_2$）、焦耳-湯姆森效應（Joule-Thomson effect）與不可逆性。
2. 可逆過程（Reversible Process）：熱力學第二定律之理想極限基準、準平衡狀態（quasi-equilibrium）、耗散效應（摩擦、有限溫差等）之排除、系統與環境均能完全復原之充要條件。
3. 克耳文-普朗克陳述（Kelvin-Planck Statement）：熱力學第二定律經典表述之一、熱機循環限制、單一熱庫無法連續作功、熱效率極限（$\eta_{th} < 1$）與否定第二類永動機（PMM2）。
4. 熱輻射（Thermal Radiation）：熱傳遞三種基本模式之一、物質微觀原子/分子熱運動轉化為電磁波發射、真空中傳播特性、史蒂芬-波茲曼定律（Stefan-Boltzmann law，$E_b = \sigma T^4$）。

---

解題方法

國家考試之熱力學名詞解釋，評分標準重在**「精確定義、熱力控制方程式/理論依據、物理特徵/邊界條件、工程應用實例」**四層架構。解答時應針對每一小題進行結構化論述，避免空泛描述：

• 節流過程：由開口系統第一定律出發，列出簡化條件推導出 $h_1 = h_2$，並說明焦耳-湯姆森係數 $\mu_{JT}$ 對溫度的影響與不可逆性（熵增）。
• 可逆過程：嚴謹定義「系統與環境均無任何殘留變化」，列出達成可逆的內外條件，並指出其作為「最大功輸出/最小功消耗」之理論基準價值。
• Kelvin-Planck statement：精確引用文字陳述，點出「運作於循環中之裝置」、「單一熱庫」、「淨功輸出」三大關鍵詞，並推導其對熱機效率與冷凝器/散熱端必要性之物理意義。
• 熱輻射：說明輻射機制（物質溫度引起之電磁波）、傳播介質需求（不需介質，真空中最佳）、波長範圍（主要在紅外與可見光），並列出黑體輻射之絕對溫度四次方定量公式。

---

各小題深入分析

（一）節流過程（Throttling Process）

1. 定義： 流體在通道中流經顯著流動阻力結構（如節流閥、毛細管、多孔塞或急遽縮小截面）時，伴隨壓力大幅下降但無對外作軸功之不可逆膨脹過程。
2. 熱力學特性與推導： 視為穩態開口控制體積（Steady-flow Control Volume），其第一定律能量方程式為： $q - w = \left(h_2 - h_1\right) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} + g\left(z_2 - z_1\right)$

• 流經閥體迅速且接觸面積小，熱傳損失極小：$q \approx 0$（絕熱）。
• 無旋轉軸或往復機構：$w = 0$（無軸功）。
• 入口與出口處之流速變化與高度差通常很小：$\Delta ke \approx 0$、$\Delta pe \approx 0$。
• 簡化得到： $h_1 = h_2$ 故節流過程為等焓過程（Isenthalpic process）。

3. 不可逆性與溫度變化：

• 節流伴隨流體內部流動摩擦、劇烈渦流與未受阻膨脹，為高度不可逆過程，過程必有熵增（$s_2 > s_1$）。
• 溫度變化取決於焦耳-湯姆森係數 $\mu_{JT} = \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_h$：
• 若流體為理想氣體，其焓僅為溫度之函數（$h = h(T)$），等焓即等溫（$T_1 = T_2$），$\mu_{JT} = 0$。
• 若為真實氣體或相變化流體：當處於逆轉曲線（inversion curve）之降溫區（$\mu_{JT} > 0$）時，壓力驟降（$\Delta P < 0$）會使溫度顯著下降（$\Delta T < 0$）。

4. 工程應用： 廣泛應用於蒸汽壓縮式冷凍與空調循環系統中之膨脹閥（TXV）或毛細管，用以降壓降溫並調節冷媒流量。

---

（二）可逆過程（Reversible Process）

1. 定義： 系統經歷某一熱力過程後，若能沿原路徑反向進行而完全回復至初始狀態，且在此反向過程中，系統自身與外界環境（Surroundings）均不留下任何淨改變或痕跡，則此過程稱為可逆過程。
2. 達成可逆之必要條件：

• 完全無耗散效應（內部可逆）：系統內部無流體黏滯摩擦、固體摩擦、非彈性形變、不受阻之自由膨脹、化學反應或自發混合等不可逆因素。
• 無非平衡熱傳（外部可逆）：系統與環境間之熱量傳遞必須在無窮小溫差（$dT \to 0$）下進行；質傳與力平衡亦須處於無窮小推動力之準平衡狀態（Quasi-equilibrium）。

3. 物理意義與重要性：

• 自然界中所有實際過程均為不可逆過程，可逆過程為一種理想極限（Idealized limit）。
• 可逆過程提供了熱力裝置轉換效率的理論最高上限（如卡諾熱機效率 $\eta_{rev}$），為工程上評估實際系統不可逆損失（Exergy destruction / Irreversibility, $I = T_0 S_{gen}$）與定義第二定律效率之參照基準。

---

（三）克耳文-普朗克陳述（Kelvin-Planck Statement）

1. 定義（陳述內容）： 「不可能製造出任何運作於一個熱力循環中的裝置，其僅從單一熱庫（Single Thermal Reservoir）吸取熱量，並將該熱量完全轉化為等量的淨功輸出。」（It is impossible for any device that operates on a thermodynamic cycle to receive heat from a single reservoir and produce a net amount of work.）

核心觀念

1. 熱力學第一定律與熱機效率定義 動力循環（Power Cycle，即熱機）自高溫熱庫吸熱 $Q_H$，對外輸出淨功 $W_{\text{net}}$，並將剩餘熱量 $Q_C$ 排放至低溫熱庫。依據熱力學第一定律之能量守恆： $W_{\text{net}} = Q_H - Q_C$ 循環的熱效率 $\eta$ 定義為「輸出淨功」與「輸入熱量」之比值： $\eta = \frac{W_{\text{net}}}{Q_H} = \frac{Q_H - Q_C}{Q_H} = 1 - \frac{Q_C}{Q_H}$

2. 卡諾定理與熱力學第二定律（理論最大熱效率） 根據卡諾原則（Carnot Principles），在兩個固定溫度熱庫之間運轉的所有熱機中，以完全可逆之「卡諾熱機」（Carnot Heat Engine）效率最高，此即理論最大熱效率 $\eta_{\max}$： $\eta_{\max} = \eta_{\text{rev}} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ 重要前提：公式中的溫度 $T_H$ 與 $T_C$ 必須採用絕對溫標（Kelvin, $\mathrm{K}$），絕對不可直接代入攝氏溫度。

---

解題方法

（一）求熱效率 $\eta$

1. 確定輸入與輸出熱量數值：

• 輸入熱量：$Q_H = 917\ \mathrm{kJ}$
• 輸出熱量：$Q_C = 385\ \mathrm{kJ}$

2. 代入熱效率定義式： $\eta = 1 - \frac{Q_C}{Q_H} = 1 - \frac{385}{917} = \frac{532}{917} \approx 0.5802\ (58.02\%)$

---

（二）求理論最大熱效率 $\eta_{\max}$

1. 將高、低溫熱庫溫度換算為絕對溫度：

核心觀念

本題主要測驗「基礎熱傳學」與「熱力學第一定律（能量守恆）」在穩態系統中的應用：

1. 牛頓冷卻定律（Newton's Law of Cooling）：流體與固體表面間之對流熱傳率 $\dot{Q}_h$ 與表面積 $A$ 及溫差 $(T_b - T_f)$ 成正比： $\dot{Q}_h = h A (T_b - T_f)$
2. 穩態能量平衡方程式（Steady-State Energy Balance）： 系統在穩態操作下，系統內部能量變化率為零（$\frac{dE_{sys}}{dt} = 0$）。依熱力學第一定律，輸入系統的總能量傳遞率必等於離開系統的總能量傳遞率： $\dot{E}_{in} = \dot{E}_{out}$

---

解題方法

（一）計算經由熱對流之熱傳率 $\dot{Q}_h$

以齒輪箱表面為熱傳邊界，將題目已知數值代入牛頓冷卻定律：

• 熱對流係數 $h = 0.15\ \mathrm{kW/(m^2\cdot K)}$
• 表面積 $A = 0.8\ \mathrm{m^2}$
• 齒輪箱表面溫度 $T_b = 381\ \mathrm{K}$
• 外圍空氣溫度 $T_f = 305\ \mathrm{K}$

系統表面與外界環境之溫差為： $\Delta T = T_b - T_f = 381 - 305 = 76\ \mathrm{K}$

代入公式計算熱對流傳熱率： $\dot{Q}_h = h \times A \times (T_b - T_f) = 0.15 \times 0.8 \times 76 = 9.12\ \mathrm{kW}$

---

（二）計算齒輪箱輸出軸端之輸出功率 $\dot{W}_{out}$

選取整個齒輪箱本體作為控制容積（Control Volume）：