108 高普考高考三級 機械工程 機械設計 考古題詳解

核心觀念

本題考帶式制動器的帶張力比、制動扭矩與功率，以及制動桿的力矩平衡。帶與鼓輪的包角依圖取 $\theta=\pi$，滑動時兩側張力滿足

鼓輪逆時針轉動時，圖中左側 $B$ 端為緊邊，右側 $D$ 端為鬆邊。依圖示力臂，取 $AC=0.6+a=0.7\ \mathrm{m}$、$CB=0.3\ \mathrm{m}$、$CD=a=0.1\ \mathrm{m}$。

解題方法

先以制動桿支點 $C$ 取力矩，求出兩側張力；再用張力差求鼓輪扭矩與功率。

令 $T_B=T_{\text{緊}}$、$T_D=T_{\text{鬆}}$。由帶張力比，

以 $C$ 點取力矩，依圖示方向列式：

因此

(一) 扭矩容量為

核心觀念

車輛左轉時，左後輪是內側輪，行駛半徑較小；右後輪是外側輪，行駛半徑較大。車身的轉向角速度為

其中 $V_C$ 是後輪中心點 $C$ 的車速，$\rho$ 是該點的轉彎半徑。

差速器的差速齒輪使左右後輪轉速可以不同，但差速器殼體及齒輪 $2$ 的轉速，等於左右輪轉速的平均值：

齒輪 $1$ 與齒輪 $2$ 嚙合，因此轉速大小與齒數成反比：

解題方法

將車速換算為 SI 單位：

車輛左轉的角速度為

後輪中心距為 $1.6\ \mathrm{m}$，左右輪各距中心線 $0.8\ \mathrm{m}$。因此左、右後輪的行駛半徑分別為

左右輪的線速度為

核心觀念

本題分別檢核螺栓的單剪、鋼板孔壁承壓，以及鋼板梁的彎曲降伏。安全係數皆以「材料強度除以實際應力」計算：

$n=\frac{\text{降伏強度}}{\text{作用應力}}$

解題方法

1. 求支承反力與螺栓接頭剪力

梁的跨距為

$L=200+50+100+350=700\ \mathrm{mm}$

$3.2\ \mathrm{kN}$ 集中力作用於跨距中央，因此兩端支承反力相等：

$R_A=R_B=\frac{3.2}{2}=1.6\ \mathrm{kN}$

兩螺栓接頭位於集中力左側，該處梁的剪力為 $1.6\ \mathrm{kN}$。假設兩螺栓平均分擔接頭剪力，每支螺栓承受

$F_b=\frac{1.6}{2}=0.8\ \mathrm{kN}=800\ \mathrm{N}$

2. 螺栓剪切破壞

以 M12 × 1.75 螺紋應力面積 $A_s=84.3\ \mathrm{mm^2}$ 計算，並假設剪切面通過螺紋處。每支螺栓的剪應力為

核心觀念

本題考查機械元件設計中「平鍵／方鍵（Square Key）」的強度計算與尺寸設計，涉及以下核心觀念與公式：

1. 功率、轉速與轉矩關係： $P = T \cdot \omega = T \cdot \frac{2\pi N}{60}$ 其中 $P$ 為傳遞功率（$\mathrm{W}$）、$T$ 為軸所傳遞之轉矩（$\mathrm{N\cdot m}$）、$N$ 為軸轉速（$\mathrm{rpm}$）。

2. 鍵承受之切線力（Tangential Force）： 設轉矩由軸表面傳遞至鍵，作用半徑為軸半徑 $r = \frac{d}{2}$： $F = \frac{T}{r} = \frac{2T}{d}$

3. 方鍵之幾何特性： 寬度 $b = 10\ \mathrm{mm}$，因題目指定為「方鍵」，故鍵之高度 $h = b = 10\ \mathrm{mm}$。鍵安裝於軸槽與輪轂槽之間，依工程慣例，鍵嵌入軸與輪轂之接觸深度各為一半，即接觸高度 $t = \frac{h}{2}$。

4. 鍵之破壞模式與設計準則：

• 剪斷失效（Shear Failure）：剪力作用於鍵之水平中截面（面積 $A_s = b \cdot L$）。
• 壓潰／壓縮失效（Crushing / Bearing Failure）：側邊受擠壓作用（接觸受壓面積 $A_c = \frac{h}{2} \cdot L$）。
• 安全係數（Factor of Safety, $n$）：實際設計之容許工作應力為材料強度（或容許極限）除以安全係數 $n$： $\tau_w = \frac{\tau_{\text{all}}}{n}, \quad \sigma_{cw} = \frac{\sigma_{c,\text{all}}}{n}$

解題方法

步驟一：計算軸所傳遞之轉矩 $T$

將已知數值代入功率與轉矩關係式（注意單位換算：$20\ \mathrm{kW} = 20{,}000\ \mathrm{W}$）： $\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi \times 1000}{60} = \frac{100\pi}{3}\ \mathrm{rad/s}$ $T = \frac{P}{\omega} = \frac{20{,}000}{\frac{100\pi}{3}} = \frac{600}{\pi}\ \mathrm{N\cdot m} = \frac{600{,}000}{\pi}\ \mathrm{N\cdot mm} \approx 190{,}986\ \mathrm{N\cdot mm}$

步驟二：計算鍵所承受之切線剪力 $F$

軸直徑 $d = 50\ \mathrm{mm}$，作用於鍵側面的切線力為： $F = \frac{2T}{d} = \frac{2 \times \frac{600{,}000}{\pi}}{50} = \frac{24{,}000}{\pi}\ \mathrm{N} \approx 7639.44\ \mathrm{N}$

步驟三：考慮安全係數計算容許工作應力

安全係數 $n = 5$：

• 容許工作剪應力： $\tau_w = \frac{60\ \mathrm{MPa}}{5} = 12\ \mathrm{MPa} = 12\ \mathrm{N/mm^2}$
• 容許工作壓縮應力： $\sigma_{cw} = \frac{100\ \mathrm{MPa}}{5} = 20\ \mathrm{MPa} = 20\ \mathrm{N/mm^2}$

步驟四：依剪斷強度條件計算最小長度 $L_s$

剪切面面積 $A_s = b \cdot L = 10L\ (\mathrm{mm^2})$： $\tau = \frac{F}{A_s} = \frac{F}{b \cdot L} \le \tau_w$ $L \ge \frac{F}{b \cdot \tau_w} = \frac{\frac{24{,}000}{\pi}}{10 \times 12} = \frac{200}{\pi} \approx 63.66\ \mathrm{mm}$

核心觀念

此題考察小角度振動的等效轉動剛度與轉動慣量。質量塊位於轉軸 $A$ 上方 $h$ 處，連桿視為無質量，因此轉動慣量為

兩側彈簧各自提供回復力矩；質量塊的重力作用在轉軸上方，則提供使連桿偏離直立位置的力矩。

解題方法

令連桿相對鉛直方向轉過小角度 $\theta$。彈簧連接點距轉軸 $d$，其水平位移約為 $d\theta$。每支彈簧產生回復力 $kd\theta$，故兩支彈簧的總回復力矩為

質量塊的重力矩在小角度下約為 $mgh\theta$，方向使系統偏離直立位置。因此運動方程為

所以自然角頻率與頻率分別為

代入 $k=600\ \mathrm{N/m}$、$d=0.500\ \mathrm{m}$、$h=0.700\ \mathrm{m}$，彈簧合成的轉動剛度為