107 高普考高考三級 農業機械 應用力學 考古題詳解

核心觀念

本題屬於剛體動力學（Rigid Body Dynamics）中的「剛體定軸旋轉（Fixed-Axis Rotation）」經典題型，核心包含以下四大物理定律與定理：

1. 平行軸定理（Parallel Axis Theorem）：用於求剛體對任意平行軸之質量慣性矩： $I_B = I_G + M d^2$ 其中均質細長桿件對質心軸之質量慣性矩為 $I_G = \frac{1}{12} M L^2$，$d$ 為質心 $G$ 至旋轉中心 $B$ 的垂直距離。
2. 力學能守恆定律（Conservation of Mechanical Energy）：剛體由靜止釋放後僅受保守力（重力）作功，固定支撐銷 $B$ 為無摩擦鉸鏈（不作功），故系統力學能守恆： $T_1 + V_1 = T_2 + V_2$ 純旋轉剛體之動能為 $T = \frac{1}{2} I_B \omega^2$。
3. 剛體定軸旋轉運動方程式：繞固定轉軸 $B$ 之力矩與角加速度關係式為： $\sum M_B = I_B \alpha$
4. 質心運動方程式（牛頓第二運動定律）： $\sum \vec{F} = M \vec{a}_G$ 質心 $G$ 繞 $B$ 點作半徑為 $d$ 之圓周運動，其加速度由切線分量 $a_t = d \alpha$ 與法線（向心）分量 $a_n = d \omega^2$ 組成。

解題方法

幾何條件說明：本題原卷圖一依國家考試與經典力學命題慣例，均質細長桿件 $AC$ 全長為 $L$，質心 $G$ 位於中點（距端點 $A$ 為 $\frac{L}{2}$），支撐銷 $B$ 位於距端點 $A$ 為 $\frac{L}{4}$ 處（即 $AB = \frac{L}{4}$，$BC = \frac{3}{4}L$）。因此質心 $G$ 至旋轉軸 $B$ 之距離為： $d = \overline{BG} = \frac{L}{2} - \frac{L}{4} = \frac{L}{4}$ 下列計算以標準設定 $d = \frac{L}{4}$ 進行定案推導，文末並附上通用距離 $d$ 之解析通式。

(一) 求桿件 $AC$ 對點 $B$ 繞 $z$ 軸旋轉之質量慣性矩 $I_B$

1. 均質細長桿件長度為 $L$、質量為 $M$，對通過質心 $G$ 且垂直於桿件長度方向之 $z$ 軸的質量慣性矩為： $I_G = \frac{1}{12} M L^2$
2. 支撐銷 $B$ 距質心 $G$ 之距離 $d = \frac{L}{4}$。
3. 應用平行軸定理： $I_B = I_G + M d^2 = \frac{1}{12} M L^2 + M \left(\frac{L}{4}\right)^2$ $I_B = \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{16}\right) M L^2 = \frac{4 + 3}{48} M L^2 = \frac{7}{48} M L^2\text{ (kg}\cdot\text{m}^2\text{)}$

(二) 當 $\theta=90^\circ$ 時之自由體圖、角速度及動能

1. 自由體圖（Free Body Diagram, FBD）： 當桿件轉至 $\theta = 90^\circ$ 時，桿件呈垂直向下懸掛位置。桿件所受外力如下：

• 重力（$W = Mg$）：作用於質心 $G$ 點，方向鉛直向下。
• 支撐銷 $B$ 之反作用力：以水平分力 $B_x$ 與鉛直向上分力 $B_y$ 表示。

A (端點)
|
| 長度 L/4
|
( B ) <--- 支撐銷反作用力: Bx (水平), By (鉛直向上)
|
| 長度 L/4
|
[G] <--- 重力 W = Mg (鉛直向下)
|
|
| 長度 L/2
|
C (端點)

2. 角速度 $\omega$：

• 狀態 1（$\theta = 0^\circ$，水平位置靜止釋放）： $T_1 = 0$ 設水平線為重力位能基準面（$V_1 = 0$）。
• 狀態 2（$\theta = 90^\circ$，垂直位置）： 質心 $G$ 繞 $B$ 轉動，自基準面下降距離 $h = d = \frac{L}{4}$，故重力位能為： $V_2 = -M g h = -M g \left(\frac{L}{4}\right) = -\frac{1}{4} M g L$ 桿件繞固定軸 $B$ 旋轉，動能為： $T_2 = \frac{1}{2} I_B \omega^2$
• 依力學能守恆定律 $T_1 + V_1 = T_2 + V_2$： $0 + 0 = \frac{1}{2} I_B \omega^2 - \frac{1}{4} M g L \implies \frac{1}{2} I_B \omega^2 = \frac{1}{4} M g L$ 將 $I_B = \frac{7}{48} M L^2$ 代入： $\frac{1}{2} \left(\frac{7}{48} M L^2\right) \omega^2 = \frac{1}{4} M g L$ $\omega^2 = \frac{\frac{1}{2} M g L}{\frac{7}{48} M L^2} = \frac{24 g}{7 L}$

核心觀念

本題考查剛體平面運動中的平面動力學與衝擊動量法（Impulse and Momentum Method for Rigid Bodies），主要包含以下核心原理與公式：

1. 純滾動（Rolling without slipping）運動學與動能定理：

• 均質圓柱之質心轉動慣量：$I_G = \frac{1}{2} M R^2$。
• 平面運動剛體總動能：$T = \frac{1}{2} M v_G^2 + \frac{1}{2} I_G \omega^2$；純滾動時質心速度滿足 $v_G = R\omega$，亦可由瞬時轉動中心（Instantaneous Center of Zero Velocity）以 $T = \frac{1}{2} I_C \omega^2$ 求得。

2. 衝擊力（Impulsive Force）與非衝擊力（Non-impulsive Force）的定義與力學效應：

• 衝擊力在極短碰撞時間（$\Delta t \to 0$）內量值極大，產生有限的衝量；非衝擊力（如重力）在極短時間內的衝量趨近於零，於碰撞瞬間可忽略。

3. 對碰撞點的角動量守恆定律（Conservation of Angular Momentum）：

• 碰撞瞬間，衝擊力作用線通過碰撞點 $B$，其對 $B$ 點的角衝量為零；在無滑動、無反彈條件下，$B$ 點成為碰撞瞬間後的瞬時樞軸點（Pivot Point），滿足角動量守恆：$H_{B1} = H_{B2}$。

4. 平行軸定理（Parallel Axis Theorem）：

• $I_B = I_G + M d^2$。

解題方法

(一) 圓柱 $A$ 在碰撞到障礙物 $B$ 前的動能

圓柱 $A$ 在水平面上進行無滑動的純滾動，其質心速度為： $v_1 = R \omega_1$

均質圓柱對通過質心 $G$ 軸之轉動慣量為： $I_G = \frac{1}{2} M R^2$

剛體的動能等於質心平移運動動能與繞質心轉動動能之和： $T_1 = \frac{1}{2} M v_1^2 + \frac{1}{2} I_G \omega_1^2 = \frac{1}{2} M (R\omega_1)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} M R^2\right)\omega_1^2$

$T_1 = \frac{1}{2} M R^2 \omega_1^2 + \frac{1}{4} M R^2 \omega_1^2 = \frac{3}{4} M R^2 \omega_1^2$

(二) 圓柱 $A$ 碰撞障礙物 $B$ 時的自由體圖與衝擊力解析

1. 碰撞瞬間的自由體圖（Free Body Diagram, FBD）受力描述：

• 障礙物角點 $B$ 之接觸反力：包含垂直於圓柱接觸面的法向支承反力 $N_B$ 與沿接觸面切向的摩擦力 $F_B$。兩者之合力標示為 $\vec{R}_B$，作用點在障礙物角點 $B$。
• 重力：$W = Mg$，作用於圓柱質心 $G$，方向鉛直向下。
• 地面接觸力：由於碰撞瞬間圓柱即將繞 $B$ 點向上轉動脫離地面，地面支承反力與摩擦力在碰撞過程中驟降消失（相較於衝擊反力可忽略不計）。

2. 何謂衝擊力（Impulsive Force）：

• 定義：在極為短暫的時間間隔（$\Delta t \to 0$）內作用，其力的大小極大（理論上 $F \to \infty$），但在該時段內的積分效應——即衝量 $\mathbf{J} = \int_{0}^{\Delta t} \mathbf{F} \, dt$——為有限非零值（Finite Value）之外力，稱為衝擊力。
• 相對地，在碰撞期間量值有限的力（例如重力 $Mg$），其在極短時段內的衝量 $\lim_{\Delta t \to 0} \int_{0}^{\Delta t} Mg \, dt = 0$，稱為非衝擊力。

3. 指出哪一個外力是衝擊力：

• 障礙物角點 $B$ 施加於圓柱上的接觸反力 $\vec{R}_B$（包含法向分力 $N_B$ 與切向摩擦分力 $F_B$）為衝擊力。

(三) 圓柱 $A$ 碰撞障礙物 $B$ 後瞬間的角速度 $\omega_2$

在碰撞過程中，衝擊力 $\vec{R}_B$ 通過障礙物角點 $B$，因此 $\vec{R}_B$ 對點 $B$ 的力矩為零。非衝擊力（重力 $Mg$）在極短碰撞時間內對點 $B$ 的角衝量為零。故圓柱系統對碰撞點 $B$ 的角動量守恆： $H_{B1} = H_{B2}$

取順時針旋轉方向為正：

1. 碰撞前對點 $B$ 的角動量 $H_{B1}$： 質心 $G$ 高度為 $R$，障礙物 $B$ 高度為 $h = \frac{R}{5}$。 質心速度 $\vec{v}_1$（水平向右）之作用線與點 $B$ 之間的鉛直力臂為：

核心觀念

本題屬於剛體平面動力學（Plane Kinetics of Rigid Bodies）中經典的「瞬間釋放（Instantaneous Release）」問題，涉及之核心觀念與公式如下：

1. 質心運動方程式（Newton's Second Law for Translation）： $\sum \vec{F} = M \vec{a}_G$ 剛體質心的加速度由作用於剛體的所有外力合力決定。
2. 繞質心轉動之尤拉方程式（Euler's Equation for Rotation）： $\sum M_G = I_G \alpha$ 其中均質細長桿件繞質心 $G$ 的轉動慣量（質量慣性矩）為： $I_G = \frac{1}{12} M L^2$
3. 瞬間釋放之運動學約束（Kinematic Constraints at $t = 0^+$）：

• 速度連續性：桿件原處於靜止狀態，在繩子 $AC$ 被剪斷後的瞬間（$t = 0^+$），系統自靜止釋放，角速度 $\omega = 0$，且無衝量作用，故質心速度與各點速度均為零（$\vec{v} = \vec{0}$）。
• 繩索約束與瞬時加速度中心：繩子 $BD$ 為不可伸長之繩索，端點 $B$ 受繩索約束繞懸點 $D$ 作圓周運動。在剛釋放瞬間，繩子 $BD$ 的角速度 $\omega_{BD} = 0$，其向心（法向）加速度為： $(a_B)_n = \omega_{BD}^2 \cdot L_{BD} = 0$ 因繩子 $BD$ 鉛直懸掛，法向為鉛直方向，故端點 $B$ 的鉛直加速度為零，即 $(a_B)_y = 0$。
• 水平向運動：系統所受外力（重力與繩張力）皆為鉛直方向，水平向無外力（$\sum F_x = 0$），故質心水平加速度 $(a_G)_x = 0$。由剛體相對加速度關係，端點 $B$ 的水平加速度亦為零，即 $(a_B)_x = 0$。
• 結論：剪斷瞬間端點 $B$ 之加速度為零（$\vec{a}_B = \vec{0}$），端點 $B$ 即為此瞬間之「瞬時加速度中心」。

解題方法

(一) 桿件 $AB$ 的自由體圖（5 分）

在繩子 $AC$ 被剪斷後的瞬間，繩子 $AC$ 的張力消失（$T_{AC} = 0$）。桿件 $AB$ 的受力狀況如下：

• 作用外力：

1. 重力 $\vec{W}$：大小為 $Mg$，作用於桿件質心 $G$（中點），方向鉛直向下。
2. 繩索 $BD$ 之張力 $\vec{T}_{BD}$：大小設為 $T$，作用於右端點 $B$，方向沿繩索鉛直向上。

• 幾何尺寸與座標系：
• 取水平向右為 $+x$ 軸，鉛直向上為 $+y$ 軸。
• 質心 $G$ 位於中點，距兩端點距離分別為 $AG = GB = \frac{L}{2}$。

 y
 ^
 | L/2 L/2
 +---- [A] -------> [G] -------------> [B] ---> x
 | |
 | ^
 v | T_BD (繩張力)
 W = Mg (重力)

(二) 繩子 $BD$ 的張力與桿件 $AB$ 的角加速度（14 分）

1. 運動學關係：

• 左端繩索剪斷後，$A$ 端下墜，桿件以端點 $B$ 為瞬時旋轉中心產生逆時針方向之角加速度 $\vec{\alpha} = \alpha \hat{k}$。
• 質心 $G$ 相對端點 $B$ 的位置向量為 $\vec{r}_{G/B} = -\frac{L}{2}\hat{i}$。
• 由相對加速度公式（剛釋放瞬間 $\omega = 0$）： $\vec{a}_G = \vec{a}_B + \vec{\alpha} \times \vec{r}_{G/B} - \omega^2 \vec{r}_{G/B}$ 因 $\vec{a}_B = \vec{0}$ 且 $\omega = 0$： $\vec{a}_G = (\alpha \hat{k}) \times \left(-\frac{L}{2}\hat{i}\right) = -\frac{L}{2}\alpha \hat{j}$ 可知質心加速度僅有鉛直向下分量，大小為 $a_G = \frac{L}{2}\alpha$。

2. 建立動力方程式：

• 鉛直方向牛頓第二定律： $\sum F_y = M a_{Gy} \implies T - Mg = -M a_G = -M\left(\frac{L}{2}\alpha\right) \quad \text{--- (式 1)}$
• 繞質心 $G$ 之力矩方程式（取逆時針為正）： $\sum M_G = I_G \alpha$ 張力 $T$ 對質心 $G$ 產生逆時針力矩，力臂為 $\frac{L}{2}$：

核心觀念

本題考查剛體靜力學中的兩大核心解題途徑：剛體力平衡法（牛頓靜力學）​與虛功原理法（分析力學），應用對象為工程上極為經典的「滑塊－曲柄／搖桿機構（Slider-Crank Mechanism）」。

1. 二力構件（Two-force Member）特性： 連桿 $BC$ 兩端皆為光滑銷接（Pin connection），且題目已指明構件重量忽略不計，桿件中途無任何外力或外力矩作用，故連桿 $BC$ 必為「二力構件」，其受力必沿著 $B$、$C$ 兩銷連線方向。
2. 力平衡法（Equilibrium Equations）：

• 活塞 $C$ 受共點力系作用，滿足 $\sum F_x = 0$ 與 $\sum F_y = 0$。
• 搖桿 $AB$ 受固定銷 $A$ 的反力、連桿 $BC$ 的作用力與外加力矩 $M$，滿足對轉軸 $A$ 的力矩平衡 $\sum M_A = 0$。

3. 虛功原理（Principle of Virtual Work）：

• 對於處於靜平衡的理想約束系統（無摩擦銷、光滑滑道），所有約束力（內力、固定鉸鏈反力、滑槽法向反力）所作的虛功總和為零。
• 系統維持靜平衡的充要條件為作用於系統上的所有「主動外力」所作之虛功總和為零： $\delta U = \sum \vec{F}_i \cdot \delta\vec{r}_i + \sum \vec{M}_i \cdot \delta\vec{\theta}_i = 0$
• 需透過機構的位置拘束幾何關係，將各主動力的虛位移以單一獨立廣義坐標（如角度 $\theta$）表示。

解題方法

幾何模型與參數設定

依國家考試慣例與標準機構學配置，本題為對稱水平滑槽之活塞連桿搖桿機構：

• 設轉軸固定點 $A$ 為坐標原點 $(0, 0)$。
• 搖桿 $AB$ 長度為 $L_{AB}$，與水平軸正向夾角為 $\theta$；受逆時針方向外加力矩 $M$。
• 連桿 $BC$ 長度為 $L_{BC}$，與水平軸夾角為 $\phi$。
• 活塞 $C$ 限制於水平導槽（$x$ 軸）上移動，其水平位置為 $x_C$；受水平向左之抗力 $F$。
• 幾何位置約束關係為： $x_C = L_{AB} \cos\theta + L_{BC} \cos\phi$ $y_B = L_{AB} \sin\theta = L_{BC} \sin\phi \implies \sin\phi = \frac{L_{AB}}{L_{BC}} \sin\theta$

幾何配置與座標示意圖：
 y
 ^ B
 | / \
 | L_AB / \ L_BC
 | / \
 | / \
 (M)| /θ \φ F (←)
 ↺ | / \ [ C ] ----> x
 -----+---A-------------+------|--------
 | x_C

(一) 力平衡法（10 分）

1. 繪製各構件自由體圖（Free Body Diagrams, FBD）

【活塞 C 之 FBD】 【連桿 BC 之 FBD】 【搖桿 AB 之 FBD】
 N (向上法向力) F_BC (壓桿拉力相反) B (受連桿反作用力)
 ^ ^ ^
 | \ \
 | \ \ F_BC
F (←) [ C ] <--- F_BC cosφ B \ \
 | \ \
 | \ \ L_AB
 v (向下分力 F_BC sinφ) \ C \
 v \ θ ↺ M
 F_BC A_x ---> A -----> x
 |
 v A_y

2. 活塞 $C$ 之力平衡

連桿 $BC$ 為二力構件，設其所受軸向壓力為 $F_{BC}$。 連桿作用於活塞 $C$ 的推力方向沿 $BC$ 連線向左下方，與水平夾角為 $\phi$：

• 水平力平衡： $\sum F_x = 0 \implies F_{BC} \cos\phi - F = 0$ $F_{BC} = \frac{F}{\cos\phi}$

3. 搖桿 $AB$ 之力平衡

連桿 $BC$ 作用於搖桿端點 $B$ 的反作用力大小同樣為 $F_{BC}$，方向沿 $CB$ 連向（朝向左上方），與水平夾角為 $\phi$：

• 其水平分量為 $F_{BC} \cos\phi$（向左），垂直分量為 $F_{BC} \sin\phi$（向上）。
• 點 $B$ 相對支承 $A$ 的坐標為 $(L_{AB} \cos\theta, L_{AB} \sin\theta)$。
• 對支點 $A$ 取力矩平衡（令逆時針為正）： $\sum M_A = 0$ $M - (F_{BC} \cos\phi)(L_{AB} \sin\theta) - (F_{BC} \sin\phi)(L_{AB} \cos\theta) = 0$ $M = F_{BC} L_{AB} (\sin\theta \cos\phi + \cos\theta \sin\phi) = F_{BC} L_{AB} \sin(\theta + \phi)$

將 $F_{BC} = \frac{F}{\cos\phi}$ 代入： $M = \left( \frac{F}{\cos\phi} \right) L_{AB} \sin(\theta + \phi) = F L_{AB} \frac{\sin(\theta + \phi)}{\cos\phi}$ 利用三角和角公式展開，亦可表為： $M = F L_{AB} (\sin\theta + \cos\theta \tan\phi)$

(二) 虛功原理法（15 分）

1. 系統主動外力與自由體圖（虛功分析）

將整個機構視為由搖桿 $AB$、連桿 $BC$ 與活塞 $C$ 組成的系統：

• 固定銷 $A$ 的約束反力無位移，不作虛功。
• 銷 $B$ 與銷 $C$ 為系統內力，作用力與反作用力等大反向且虛位移連續，代數和為零，不作虛功。
• 光滑滑道施加於活塞 $C$ 的垂直支承力 $N$ 與虛位移垂直，不作虛功。
• 各桿件自重不計。
• 整個系統的主動外力僅有：作用於搖桿 $AB$ 的外加力矩 $M$（逆時針），以及作用於活塞 $C$ 的水平外力 $F$（向左）。

2. 幾何約束方程式與虛位移微分

以水平位置 $x_C$ 與搖桿轉角 $\theta$ 為坐標： $x_C = L_{AB} \cos\theta + L_{BC} \cos\phi$ 垂直方向拘束： $L_{AB} \sin\theta = L_{BC} \sin\phi$

對垂直方向拘束式取變分（微分）：