114 高普考高考三級 經建行政 統計學 考古題詳解

114 年・高普考・高考三級・經建行政
試題代碼 統計學

第 一 題4 分

假設 XX 與 YY 的二元機率密度函數為

f(x,y)={C(x+2y),0≤x≤1, 0≤y≤1,0,其他.f(x,y)= \begin{cases} C(x+2y), & 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

(一) 計算 CC 值。

(二) 計算 XX 的期望值。

(三) 計算機率 P(X>0.5)P(X>0.5)。

(四) 計算 YY 的期望值。

(五) 計算 YY 大於 13\frac{1}{3} 的機率。

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核心觀念

本題考二元連續型隨機變數的機率密度函數。密度函數在整個定義範圍上的積分必須為 11；計算期望值與事件機率時，則分別對聯合密度函數乘上變數，或在事件所對應的區域積分。

本題的聯合密度為 f(x,y)=C(x+2y)f(x,y)=C(x+2y)，定義範圍是單位正方形 0≤x≤1, 0≤y≤10\le x\le1,\ 0\le y\le1。

解題方法

（一）計算 CC 值

依機率密度函數的總積分為 11：

1=∫01∫01C(x+2y) dy dx=C∫01(x+1)dx=C(12+1)=32C.\begin{aligned} 1 &=\int_0^1\int_0^1 C(x+2y)\,dy\,dx\\ &=C\int_0^1\left(x+1\right)dx\\ &=C\left(\frac12+1\right) =\frac32C. \end{aligned}

因此

C=23.C=\frac23.

（二）計算 XX 的期望值

由期望值定義，

E[X]=∫01∫01xf(x,y) dy dx=23∫01∫01x(x+2y) dy dx=23∫01(x2+x) dx=23(13+12)=59.\begin{aligned} E[X] &=\int_0^1\int_0^1 x f(x,y)\,dy\,dx\\ &=\frac23\int_0^1\int_0^1x(x+2y)\,dy\,dx\\ &=\frac23\int_0^1(x^2+x)\,dx\\ &=\frac23\left(\frac13+\frac12\right) =\frac59. \end{aligned}

（三）計算 P(X>0.5)P(X>0.5)

事件 X>0.5X>0.5 對應到 0.5<x≤1, 0≤y≤10.5<x\le1,\ 0\le y\le1，所以

P(X>0.5)=∫1/21∫01f(x,y) dy dx=23∫1/21(x+1) dx=23[x22+x]1/21=23(32−58)=712.\begin{aligned} P(X>0.5) &=\int_{1/2}^1\int_0^1 f(x,y)\,dy\,dx\\ &=\frac23\int_{1/2}^1(x+1)\,dx\\ &=\frac23\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{1/2}^1\\ &=\frac23\left(\frac32-\frac58\right) =\frac{7}{12}. \end{aligned}
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第 二 題40 分

三家 A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取 400、600 和 800 人，調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下：

意願／品牌ABC
願意100300600
不願意300300200
總和400600800

(一) 請檢定三家用戶下次購買相同品牌之洗衣機比例是否全部相等。

  1. 列出虛無假設 H0H_0 和對立假設 H1H_1。（3 分）

  2. 寫出檢定統計量及其在 H0H_0 為真下的分配。（5 分）

  3. 以臨界值方法決定檢定結果。顯著水準為 0.050.05。（3 分）

  4. 計算 pp 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為 0.050.05。（5 分）

(二) 若只有 A 和 B 兩種品牌，請檢定 A 和 B 品牌用戶下次購買相同品牌的比例是否相等。

  1. 列出 H0H_0 和 H1H_1。（3 分）

  2. 請使用和(一)不同的檢定統計量，寫出其在 H0H_0 為真下的分配。請說明何以為此分配。（6 分）

  3. 計算 pp 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為 0.050.05。（5 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 多個母體比例是否相等：使用「卡方同質性檢定」。
  2. 兩個母體比例是否相等：使用「兩獨立母體比例差之 ZZ 檢定」。
  3. 虛無假設成立時，以合併比例估計共同母體比例。

令：

  • pAp_A：A 品牌用戶下次仍購買 A 品牌的比例
  • pBp_B：B 品牌用戶下次仍購買 B 品牌的比例
  • pCp_C：C 品牌用戶下次仍購買 C 品牌的比例

（一）檢定三家品牌用戶之比例是否全部相等

1. 假設

虛無假設：

H0:pA=pB=pCH_0:p_A=p_B=p_C

對立假設：

H1:至少有一家品牌的比例不同H_1:\text{至少有一家品牌的比例不同}

這是整體檢定，拒絕 H0H_0 時，只能判定三家比例不全相等，不能直接判定哪兩家不同。

2. 檢定統計量及其分配

觀察值總表為：

意願／品牌ABC列總和
願意1003006001000
不願意300300200800
欄總和4006008001800

在 H0H_0 成立下，各格的期望次數為：

Eij=(第 i 列總和)(第 j 欄總和)總樣本數E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列總和})(\text{第 }j\text{ 欄總和})}{\text{總樣本數}}

因此：

ABC願意1000(400)1800=222.2221000(600)1800=333.3331000(800)1800=444.444不願意800(400)1800=177.778800(600)1800=266.667800(800)1800=355.556\begin{array}{c|ccc} & A&B&C\\ \hline \text{願意} &\frac{1000(400)}{1800}=222.222 &\frac{1000(600)}{1800}=333.333 &\frac{1000(800)}{1800}=444.444\\ \text{不願意} &\frac{800(400)}{1800}=177.778 &\frac{800(600)}{1800}=266.667 &\frac{800(800)}{1800}=355.556 \end{array}

卡方統計量為：

χ2=∑i∑j(Oij−Eij)2Eij\chi^2=\sum_i\sum_j\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}

代入資料：

χ2=(100−222.222)2222.222+(300−333.333)2333.333+(600−444.444)2444.444+(300−177.778)2177.778+(300−266.667)2266.667+(200−355.556)2355.556=281.25\begin{aligned} \chi^2 ={}&\frac{(100-222.222)^2}{222.222} +\frac{(300-333.333)^2}{333.333} +\frac{(600-444.444)^2}{444.444}\\ &+\frac{(300-177.778)^2}{177.778} +\frac{(300-266.667)^2}{266.667} +\frac{(200-355.556)^2}{355.556}\\ ={}&281.25 \end{aligned}

自由度為：

(r−1)(c−1)=(2−1)(3−1)=2(r-1)(c-1)=(2-1)(3-1)=2

在 H0H_0 為真且樣本數足夠大時：

χ2∼χ2(2)\chi^2\sim\chi^2(2)

3. 臨界值法

顯著水準 α=0.05\alpha=0.05，自由度為 22，卡方臨界值為：

χ0.95,22=5.991\chi^2_{0.95,2}=5.991

拒絕域為：

χ2>5.991\chi^2>5.991

由於：

281.25>5.991281.25>5.991

故拒絕 H0H_0。

**結論：**在顯著水準 0.050.05 下，三家品牌用戶下次購買相同品牌洗衣機的比例並非全部相等。

4. pp 值法

由於自由度為 22，卡方分配的右尾機率為：

p-value=P(χ22≥281.25)=e−281.25/2=e−140.625≈8.43×10−62p\text{-value} =P(\chi^2_2\geq281.25) =e^{-281.25/2} =e^{-140.625} \approx8.43\times10^{-62}

因為：

8.43×10−62<0.058.43\times10^{-62}<0.05

故拒絕 H0H_0。

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第 三 題25 分

工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於 240 小時。隨機抽取電池 36 件（n=36n=36），其樣本平均值為 235 小時。

假設電池壽命服從常態分配，且母體標準差為 12 小時。

(一) 請檢定電池平均壽命是否低於 240 小時。顯著水準為 0.10.1。（5 分）

(二) 繼上題，寫出檢定統計量分配的拒絕區之臨界值，並寫出此臨界值對應之樣本平均值。（4 分）

(三) 若真實的電池壽命平均值分別為 236 和 235 小時，請分別計算他們的型 II 誤差機率及檢定力。（8 分）

(四) 若只有隨機抽取的電池改為 100 件（n=100n=100），其他不變。若真實的電池壽命平均值分別為 236 和 235 小時，請分別計算他們的型 II 誤差機率及檢定力。顯著水準為 0.10.1。（8 分）

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核心觀念

本題考驗母體標準差已知時的單一母體平均數左尾檢定，以及型 II 誤差與檢定力的計算。母體為常態分配且 σ\sigma 已知，因此使用標準常態檢定統計量：

Z=Xˉ−μ0σ/n.Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}.

型 II 誤差機率 β(μ)\beta(\mu) 是在真實平均數為 μ\mu 時，未拒絕虛無假設的機率；檢定力為 1−β(μ)1-\beta(\mu)。

解題方法

（一）檢定平均壽命是否低於 240 小時

依題意設定左尾檢定：

H0:μ=240,H1:μ<240.H_0:\mu=240,\qquad H_1:\mu<240.

顯著水準 α=0.1\alpha=0.1 的左尾臨界值為 z0.1=−1.2816z_{0.1}=-1.2816。樣本標準誤為

σn=1236=2.\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{12}{\sqrt{36}}=2.

觀察到的檢定統計量為

zobs=235−2402=−2.5.z_{\text{obs}}=\frac{235-240}{2}=-2.5.

由於 −2.5<−1.2816-2.5<-1.2816，落入拒絕區，因此在顯著水準 0.10.1 下拒絕 H0H_0，有足夠統計證據認為電池平均壽命低於 240 小時。

（二）拒絕區臨界值與對應樣本平均值

檢定統計量的拒絕區為

Z<−1.2816.Z<-1.2816.

由 Z=(Xˉ−240)/2Z=(\bar X-240)/2，臨界樣本平均值 xˉc\bar x_c 滿足

xˉc−2402=−1.2816,\frac{\bar x_c-240}{2}=-1.2816,

所以

xˉc=240−1.2816(2)=237.4368.\bar x_c=240-1.2816(2)=237.4368.

因此，當 Xˉ<237.4368\bar X<237.4368 時拒絕 H0H_0。

（三）n=36n=36 時，真實平均數為 236 與 235 小時

在真實平均數 μ\mu 下，Xˉ∼N(μ,22)\bar X\sim N(\mu,2^2)。未拒絕 H0H_0 的條件是 Xˉ≥237.4368\bar X\ge 237.4368，故

β(μ)=Pμ(Xˉ≥237.4368)=1−Φ(237.4368−μ2),\beta(\mu)=P_\mu(\bar X\ge237.4368) =1-\Phi\left(\frac{237.4368-\mu}{2}\right),

其中 Φ\Phi 為標準常態分配的累積分配函數。

  • 當 μ=236\mu=236：
β(236)=1−Φ(237.4368−2362)=1−Φ(0.7184)≈0.2362,\beta(236)=1-\Phi\left(\frac{237.4368-236}{2}\right) =1-\Phi(0.7184)\approx 0.2362, 檢定力=1−β(236)≈0.7638.\text{檢定力}=1-\beta(236)\approx 0.7638.
  • 當 μ=235\mu=235：
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第 四 題25 分

A 和 B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自 A 和 B 公司隨機抽取端子並衡量其膜厚，數據如表所示：

公司膜厚（單位：mm）
A5、3、5、7、6、4
B7、7、9、9、8、6

(一) 假設兩家生產的端子膜厚變異數相等，請寫出膜厚變異數之估計量及估計值。（6 分）

(二) 請寫出兩家膜厚平均值差之估計量及估計值。（4 分）

(三) 繼題(一)，欲比較兩家膜厚之平均值是否有差異，請問該用什麼統計方法？結論為何？顯著水準為 0.050.05。假設兩家膜厚皆服從常態分配。（10 分）

(四) 繼題(一)，請估計兩家膜厚平均值差之 95%95\% 信賴區間。（5 分）

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核心觀念

本題考查兩個獨立常態母體平均數之比較，且已假設兩家公司膜厚變異數相等，因此使用：

  • 合併變異數估計量（pooled variance estimator）
  • 等變異數之兩獨立樣本 tt 檢定
  • 等變異數下兩母體平均數差的信賴區間

以下統一令平均數差為 μA−μB\mu_A-\mu_B。

（一）膜厚變異數之估計量及估計值

1. 分別計算樣本平均數與樣本變異數

公司 A：

XˉA=5+3+5+7+6+46=5\bar X_A=\frac{5+3+5+7+6+4}{6}=5 sA2=∑i=16(xAi−XˉA)2nA−1=105=2s_A^2=\frac{\sum_{i=1}^{6}(x_{Ai}-\bar X_A)^2}{n_A-1} =\frac{10}{5}=2

公司 B：

XˉB=7+7+9+9+8+66=466=233\bar X_B=\frac{7+7+9+9+8+6}{6} =\frac{46}{6}=\frac{23}{3} ∑i=16(xBi−XˉB)2=223\sum_{i=1}^{6}(x_{Bi}-\bar X_B)^2=\frac{22}{3}

因此：

sB2=22/35=2215s_B^2=\frac{22/3}{5}=\frac{22}{15}

2. 合併變異數估計量

在兩母體變異數相等的假設下，共同變異數 σ2\sigma^2 的估計量為：

Sp2=(nA−1)sA2+(nB−1)sB2nA+nB−2S_p^2= \frac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2} {n_A+n_B-2}

代入 nA=nB=6n_A=n_B=6：

Sp2=5(2)+5(2215)10=2615≈1.7333S_p^2 = \frac{5(2)+5\left(\frac{22}{15}\right)} {10} = \frac{26}{15} \approx 1.7333

因此，膜厚共同變異數的估計量為 Sp2S_p^2，估計值為：

Sp2=2615≈1.7333 mm2\boxed{S_p^2=\frac{26}{15}\approx1.7333\ \text{mm}^2}

（二）兩家公司膜厚平均值差之估計量及估計值

平均數差 μA−μB\mu_A-\mu_B 的估計量為：

μA−μB^=XˉA−XˉB\widehat{\mu_A-\mu_B}=\bar X_A-\bar X_B

代入樣本平均數：

XˉA−XˉB=5−233=−83≈−2.6667\bar X_A-\bar X_B = 5-\frac{23}{3} = -\frac{8}{3} \approx -2.6667

因此：

μA−μB^=XˉA−XˉB\boxed{\widehat{\mu_A-\mu_B}=\bar X_A-\bar X_B}

估計值為：

−83≈−2.6667 mm\boxed{-\frac{8}{3}\approx-2.6667\ \text{mm}}

負號表示樣本中公司 A 的平均膜厚比公司 B 薄約 2.6672.667 mm。

（三）比較兩家公司膜厚平均值是否有差異

1. 統計方法

因為：

  • 兩家公司樣本相互獨立；
  • 兩母體皆服從常態分配；
  • 假設兩母體變異數相等；

故使用「等變異數之兩獨立樣本 tt 檢定」。

2. 假設

H0:μA−μB=0H_0:\mu_A-\mu_B=0 H1:μA−μB≠0H_1:\mu_A-\mu_B\neq0
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