114 高普考高考三級 統計 統計學 考古題詳解

114 年・高普考・高考三級・統計
試題代碼 統計學

第 一 題30 分

搭乘甲鐵路對號列車，因可歸責鐵路公司致誤點達 45 分鐘以上，或是不可歸責鐵路公司的天災人禍致誤點達 2 小時以上，旅客皆可申請免費搭乘同區間同等級列車一次。假設上述可歸責與不可歸責之誤點機率分別為 34\frac{3}{4} 與 14\frac{1}{4}，而其對應的每年受影響旅客人數分別服從平均數為 50 與 100 之波瓦松分配。

（一）試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之機率分配為何？

（二）試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之期望值與標準差。

（三）若可歸責業者與不可歸責業者之誤點時間分別服從平均數為 1 小時與 5 小時之指數分配，試問誤點對號列車中，誤點時間超過 2 小時之比例約多少？

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核心觀念

本題考查兩種波瓦松（Poisson）旅客人數的加總，以及指數分配的尾端機率。

令 XX 為每年因可歸責鐵路公司而受影響的旅客人數，YY 為每年因不可歸責鐵路公司而受影響的旅客人數。題目給定

X∼Poisson⁡(50),Y∼Poisson⁡(100).X\sim\operatorname{Poisson}(50),\qquad Y\sim\operatorname{Poisson}(100).

能申請免費搭乘的旅客，分別是兩類受影響旅客中的一部分，比例為 34\frac34 與 14\frac14。假設兩類旅客人數及各旅客是否符合申請條件相互獨立。

若 N∼Poisson⁡(λ)N\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)，且每位個體以機率 pp 被保留，則保留人數服從 Poisson⁡(λp)\operatorname{Poisson}(\lambda p)，稱為波瓦松分流。獨立的波瓦松變數相加後，仍服從波瓦松分配，參數為各參數之和。

解題方法

（一）每年可申請免費搭乘旅客人次的分配

令 AA 為可歸責鐵路公司的誤點中，符合申請條件的旅客人數；令 BB 為不可歸責鐵路公司的誤點中，符合申請條件的旅客人數。由波瓦松分流，

A∼Poisson⁡(50⋅34)=Poisson⁡(37.5),A\sim\operatorname{Poisson}\left(50\cdot\frac34\right) =\operatorname{Poisson}(37.5), B∼Poisson⁡(100⋅14)=Poisson⁡(25).B\sim\operatorname{Poisson}\left(100\cdot\frac14\right) =\operatorname{Poisson}(25).

兩類人數獨立，因此每年可申請免費搭乘的總人次 T=A+BT=A+B 為

T∼Poisson⁡(37.5+25)=Poisson⁡(62.5).T\sim\operatorname{Poisson}(37.5+25) =\operatorname{Poisson}(62.5).

其機率質量函數為

P(T=k)=e−62.562.5kk!,k=0,1,2,….P(T=k)=e^{-62.5}\frac{62.5^k}{k!}, \qquad k=0,1,2,\ldots.

（二）期望值與標準差

若 T∼Poisson⁡(λ)T\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)，則

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第 二 題40 分

育嬰津貼的實施是否提升各市鎮新生兒人數？隨機抽取 14 個市鎮，得到實施前後之新生兒人數（單位：百人）統計如下：

市鎮1234567891011121314
實施前120806018020016014060190180140806040
實施後124816518720316014361189185139725945

（一）顯著水準為 0.05 之下，試以 tt 檢定說明是否有嬰津貼實施後新生兒人數增加。

（二）若實施後各市鎮新生兒人數平均增加 360 人，試問（一）中檢定方法之型二誤差為何？

（三）試以直方圖判斷本題使用 tt 檢定所需的常態假設之合理性。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（四）顯著水準為 0.05 之下，試以 Wilcoxon 無母數方法進行檢定。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題為「同一市鎮實施前後」的比較，兩筆資料具有配對關係，因此應先計算各市鎮的差值

Di=實施後−實施前.D_i=\text{實施後}-\text{實施前}.

差值資料為：

4,1,5,7,3,0,3,1,−1,5,−1,−8,−1,5.4,1,5,7,3,0,3,1,-1,5,-1,-8,-1,5.

其中

n=14,∑Di=23,n=14,\qquad \sum D_i=23,

故

Dˉ=2314=1.6429.\bar D=\frac{23}{14}=1.6429.

又

∑Di2=227,\sum D_i^2=227, sD2=∑Di2−nDˉ2n−1=227−14(1.6429)213=14.555,s_D^2 =\frac{\sum D_i^2-n\bar D^2}{n-1} =\frac{227-14(1.6429)^2}{13} =14.555, sD=3.815.s_D=3.815.

（一）配對樣本 tt 檢定

假設

題目問實施後是否增加，因此採右尾檢定：

H0:μD≤0,H1:μD>0.H_0:\mu_D\leq 0, \qquad H_1:\mu_D>0.

在虛無假設邊界 μD=0\mu_D=0 下，檢定統計量為

t=Dˉ−0sD/n=1.64293.815/14=1.611.t=\frac{\bar D-0}{s_D/\sqrt n} =\frac{1.6429}{3.815/\sqrt{14}} =1.611.

自由度為

df=n−1=13.df=n-1=13.

顯著水準 α=0.05\alpha=0.05 的右尾臨界值為

t0.95,13=1.771.t_{0.95,13}=1.771.

因為

1.611<1.771,1.611<1.771,

故不拒絕 H0H_0。其單尾 pp 值約為 0.0650.065，亦大於 0.050.05。

結論

在顯著水準 0.050.05 下，沒有充分證據顯示育嬰津貼實施後，各市鎮新生兒人數顯著增加。

注意：樣本平均差值雖為 1.64291.6429 百人，即平均增加約 164.29164.29 人，但增加幅度尚未達到統計顯著。

（二）型二誤差

題目所稱平均增加 360360 人，即

μ1=3.6\mu_1=3.6

百人。

本檢定在 α=0.05\alpha=0.05 下的拒絕域為

t>1.771.t>1.771.

以樣本標準差 sD=3.815s_D=3.815 作為母體標準差的估計，換算為樣本平均數的拒絕界限：

Dˉ>1.771(3.81514)=1.805.\bar D> 1.771\left(\frac{3.815}{\sqrt{14}}\right) =1.805.

因此，型二誤差為在真實平均增加量為 3.63.6 百人時，樣本平均差值未超過 1.8051.805 百人的機率：

β=P(Dˉ≤1.805∣μD=3.6).\beta =P(\bar D\leq1.805\mid \mu_D=3.6).

以常態近似計算：

β=Φ(1.805−3.63.815/14)=Φ(−1.761)≈0.039.\beta = \Phi\left( \frac{1.805-3.6}{3.815/\sqrt{14}} \right) = \Phi(-1.761) \approx 0.039.

所以型二誤差約為

β≈0.039.\boxed{\beta\approx0.039}.

亦即，若育嬰津貼實際上使平均新生兒人數增加 360360 人，本檢定仍未能拒絕虛無假設的機率約為 3.9%3.9\%。

相對地，檢定力約為

1−β=0.961.1-\beta=0.961.

（三）以直方圖判斷常態假設

配對 tt 檢定的常態假設不是要求「實施前」及「實施後」兩組資料各自常態，而是要求配對差值 DiD_i 近似常態。

本題差值為：

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第 三 題30 分

超過 5 成的企業預期未來幾年的 AI 人力需求將持續上升，特別是在生成式 AI 的應用下，相關產業的職缺將大幅增加。過去 20 個月的資料顯示市場對於 AI 人才之需求呈線性成長趨勢，今考慮需求人數 yy 對時間之簡單線性模型，得到：

∑yi=362,∑iyi=4766,∑yi2=7975,∑(yi−y^i)2=15.25。\sum y_i=362,\qquad \sum i y_i=4766,\qquad \sum y_i^2=7975,\qquad \sum(y_i-\hat{y}_i)^2=15.25。

（一）試求回歸方程式。

（二）試寫出 ANOVA 表。

（三）試寫出此模型之假設，並根據以下殘差圖說明模型假設是否合理。

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核心觀念

本題考察簡單線性迴歸模型：

yi=β0+β1i+εi,i=1,…,20y_i=\beta_0+\beta_1 i+\varepsilon_i,\qquad i=1,\ldots,20

其中：

  • β0\beta_0：截距
  • β1\beta_1：時間每增加 1 個月，AI 人力需求的平均增加量
  • εi\varepsilon_i：隨機誤差

迴歸估計量為：

β^1=SxySxx,β^0=yˉ−β^1iˉ\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{\beta}_0=\bar y-\hat{\beta}_1\bar i

（一）求回歸方程式

1. 計算平均數

時間變數為 i=1,…,20i=1,\ldots,20，因此：

iˉ=1+2+⋯+2020=21020=10.5\bar i=\frac{1+2+\cdots+20}{20} =\frac{210}{20}=10.5 yˉ=∑yi20=36220=18.1\bar y=\frac{\sum y_i}{20} =\frac{362}{20}=18.1

2. 計算 SxxS_{xx} 與 SxyS_{xy}

由

Sxx=∑i2−(∑i)2nS_{xx}=\sum i^2-\frac{(\sum i)^2}{n}

且

∑i=120i2=20(21)(41)6=2870\sum_{i=1}^{20}i^2=\frac{20(21)(41)}{6}=2870

所以：

Sxx=2870−210220=2870−2205=665S_{xx}=2870-\frac{210^2}{20} =2870-2205=665

又

Sxy=∑iyi−(∑i)(∑yi)nS_{xy}=\sum iy_i-\frac{(\sum i)(\sum y_i)}{n}

故：

Sxy=4766−(210)(362)20=4766−3801=965S_{xy}=4766-\frac{(210)(362)}{20} =4766-3801=965

因此斜率估計值為：

β^1=965665=193133≈1.4511\hat{\beta}_1=\frac{965}{665} =\frac{193}{133} \approx 1.4511

截距估計值為：

β^0=18.1−(1.4511)(10.5)≈2.8632\hat{\beta}_0 =18.1-(1.4511)(10.5) \approx 2.8632

所以回歸方程式為：

y^i=2.8632+1.4511i\boxed{\hat y_i=2.8632+1.4511i}

也可寫成精確形式：

y^i=1904665+193133i\boxed{\hat y_i=\frac{1904}{665}+\frac{193}{133}i}

其意義為：時間每增加 1 個月，預測的 AI 人力需求平均增加約 1.45111.4511 人。

（二）ANOVA 表

1. 計算總平方和 SSTSST

SST=∑yi2−(∑yi)2nSST=\sum y_i^2-\frac{(\sum y_i)^2}{n} SST=7975−362220=7975−6552.2=1422.8SST=7975-\frac{362^2}{20} =7975-6552.2 =1422.8

2. 計算誤差平方和與迴歸平方和

題目已給：

SSE=∑(yi−y^i)2=15.25SSE=\sum(y_i-\hat y_i)^2=15.25

因此：

SSR=SST−SSE=1422.8−15.25=1407.55SSR=SST-SSE =1422.8-15.25 =1407.55

3. 自由度與均方

簡單線性迴歸中：

  • 迴歸自由度：dfR=1df_R=1
  • 誤差自由度：dfE=n−2=18df_E=n-2=18
  • 總自由度：dfT=n−1=19df_T=n-1=19

迴歸均方：

MSR=SSR1=1407.55MSR=\frac{SSR}{1}=1407.55

誤差均方：

MSE=SSE18=15.2518≈0.8472MSE=\frac{SSE}{18} =\frac{15.25}{18} \approx 0.8472

若計算 FF 統計量：

F=MSRMSE=1407.550.8472≈1661.37F=\frac{MSR}{MSE} =\frac{1407.55}{0.8472} \approx 1661.37

ANOVA 表

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