111 高普考高考三級 統計 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查指數分配的累積分配函數、期望值、中位數與四分位距。

已知機率密度函數為

$$f(x)=e^{-x},\qquad x>0$$

與參數為 $\lambda=1$ 的指數分配相同，即

$$X\sim \operatorname{Exp}(1)$$

指數分配的重要公式如下：

• 累積分配函數：

$$F(x)=P(X\leq x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x>0$$

• 期望值：

$$E(X)=\frac{1}{\lambda}$$

本題中 $\lambda=1$。

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解題方法

（一）計算中位數及期望值

1. 中位數

設中位數為 $m$。中位數的定義為：

$$P(X\leq m)=0.5$$

因為本題 $\lambda=1$，所以

$$F(x)=1-e^{-x}$$

代入 $m$：

$$1-e^{-m}=0.5$$

整理得：

$$e^{-m}=0.5$$

兩邊取自然對數：

$$-m=\ln(0.5)$$

因此

$$m=-\ln(0.5)$$

利用題目給定的 $\ln(0.5)\simeq -0.693$：

$$m\simeq 0.693$$

所以其中位數約為

$$\boxed{0.693}$$

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2. 期望值

指數分配 $X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)$ 的期望值為

$$E(X)=\frac{1}{\lambda}$$

本題 $\lambda=1$，故

$$E(X)=\frac{1}{1}=1$$

所以其期望值為

$$\boxed{1}$$

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（二）計算四分位距

第一四分位數 $Q_1$ 滿足：

$$P(X\leq Q_1)=0.25$$

第三四分位數 $Q_3$ 滿足：

$$P(X\leq Q_3)=0.75$$

由

$$F(x)=1-e^{-x}$$

可得指數分配的第 $p$ 分位數為

$$Q_p=-\ln(1-p)$$

1. 第一四分位數

$$Q_1=-\ln(1-0.25)$$

核心觀念

本題考查：

1. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）的內容與成立條件。
2. 兩個獨立母體之樣本平均數差的抽樣分配。
3. 利用期望值、變異數的機率性質，以及大樣本近似常態分配，進行兩母體中心位置的比較。

題目未明確定義「中心點」。在統計學中，配合中央極限定理最自然的解釋是比較兩母體的平均數，即比較 $\mu_A$ 與 $\mu_B$。

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（一）中央極限定理及其假設

1. 中央極限定理的敘述

設 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 為來自母體 $A$ 的隨機樣本，且

$$E(X_i)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2,$$

其中 $0<\sigma^2<\infty$。樣本平均數為

$$\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.$$

當 $n$ 充分大時，

$$\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n} = \frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{\sigma} \overset{d}{\longrightarrow}N(0,1).$$

亦即，

$$\bar X \overset{\text{approx.}}{\sim} N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).$$

因此，不論原始母體分配為何，只要符合中央極限定理的條件，樣本平均數在大樣本下會近似服從常態分配。

2. 主要成立假設

（1）樣本彼此獨立

$X_1,\ldots,X_n$ 必須相互獨立，使得樣本平均數的變異數可以依獨立性計算：

$$\operatorname{Var}(\bar X) = \operatorname{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\operatorname{Var}(X_i).$$

若樣本間具有高度相關性，則此公式不成立，中央極限定理也不能直接套用。

（2）樣本來自相同分配

在最常見的版本中，$X_1,\ldots,X_n$ 為獨立且同分配（i.i.d.）樣本，因此每個觀察值具有相同的母體平均數 $\mu$ 與變異數 $\sigma^2$。

（3）母體平均數存在

必須有有限的母體平均數：

$$E(X_i)=\mu<\infty.$$

（4）母體變異數有限且為正

必須滿足

$$0<\sigma^2<\infty.$$

若母體變異數不存在，例如某些重尾分配，標準的中央極限定理不能直接使用。

（5）樣本數充分大

中央極限定理是漸近結果。樣本數越大，$\bar X$ 越接近常態分配。若母體本身偏態很嚴重或具有極端值，通常需要更大的樣本數。

3. 補充：不必要求母體本身為常態分配

中央極限定理的重點是「樣本平均數」在大樣本下近似常態，而不是要求原始資料 $X_i$ 必須服從常態分配。

若母體原本就是常態分配，則不論 $n$ 大小，皆有

$$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).$$

若母體不是常態分配，則在符合上述條件且樣本數充分大時，才使用近似關係。

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（二）比較母體 $A$ 與 $B$ 的中心點

1. 設定母體參數與樣本統計量

令

$$E(X_i)=\mu_A,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=\sigma_A^2,$$ $$E(Y_j)=\mu_B,\qquad \operatorname{Var}(Y_j)=\sigma_B^2.$$

兩母體分別抽取樣本：

$$X_1,\ldots,X_n,\qquad Y_1,\ldots,Y_m.$$

其樣本平均數為

$$\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\qquad \bar Y=\frac{1}{m}\sum_{j=1}^m Y_j.$$

欲比較兩母體平均數，應觀察樣本平均數差：

$$D=\bar X-\bar Y.$$

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2. 利用期望值的線性性質

由期望值的線性性質，

$$E(D) = E(\bar X-\bar Y) = E(\bar X)-E(\bar Y).$$

又因樣本平均數是不偏估計量，

$$E(\bar X)=\mu_A,\qquad E(\bar Y)=\mu_B,$$

所以

$$E(D)=\mu_A-\mu_B.$$

因此，$\bar X-\bar Y$ 正是母體平均數差 $\mu_A-\mu_B$ 的不偏估計量。

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3. 利用變異數與獨立性

假設母體 $A$ 與母體 $B$ 的兩組樣本彼此獨立，則 $\bar X$ 與 $\bar Y$ 獨立，因此

$$\operatorname{Var}(D) = \operatorname{Var}(\bar X-\bar Y) = \operatorname{Var}(\bar X)+\operatorname{Var}(\bar Y).$$

由樣本平均數的變異數公式，

$$\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma_A^2}{n}, \qquad \operatorname{Var}(\bar Y)=\frac{\sigma_B^2}{m}.$$

故

$$\operatorname{Var}(\bar X-\bar Y) = \frac{\sigma_A^2}{n} + \frac{\sigma_B^2}{m}.$$

這裡正號的原因是兩組樣本彼此獨立；若兩者不獨立，必須加入共變異數項：

$$\operatorname{Var}(\bar X-\bar Y) = \operatorname{Var}(\bar X)+\operatorname{Var}(\bar Y) -2\operatorname{Cov}(\bar X,\bar Y).$$

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4. 分別對兩組樣本應用中央極限定理

對母體 $A$：

核心觀念

本題考查「似然函數」與「最大似然估計法」。

設硬幣正面機率為 $p$，反面機率為 $1-p$。拋擲 $8$ 次，觀察到 $5$ 次正面、$3$ 次反面，則觀察結果的二項分配機率為

$$P(X=5\mid p)=\binom{8}{5}p^5(1-p)^3。$$

將觀察到的資料視為固定，並把 $p$ 視為不同硬幣所對應的參數，即得似然函數

$$L(p)=\binom{8}{5}p^5(1-p)^3。$$

由於 $\binom{8}{5}$ 對三種硬幣皆相同，判斷可能性大小時，只需比較

$$p^5(1-p)^3。$$

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（一）三種硬幣被等機率選取

三種硬幣的正面機率分別為

$$p_A=\frac13,\qquad p_B=\frac12,\qquad p_C=\frac23。$$

硬幣 A 的似然值

$$L_A =\binom85\left(\frac13\right)^5\left(\frac23\right)^3 =\binom85\frac{2^3}{3^8}.$$

去除三者共同的組合數 $\binom85$，其比較值為

$$\ell_A=\left(\frac13\right)^5\left(\frac23\right)^3 =\frac{8}{6561}.$$

硬幣 B 的似然值

$$L_B =\binom85\left(\frac12\right)^5\left(\frac12\right)^3 =\binom85\frac1{256}.$$

比較值為

$$\ell_B=\frac1{256}.$$

硬幣 C 的似然值

$$L_C =\binom85\left(\frac23\right)^5\left(\frac13\right)^3 =\binom85\frac{2^5}{3^8}.$$

比較值為

$$\ell_C=\frac{32}{6561}.$$

注意硬幣 A 的計算應為

$$\left(\frac13\right)^5\left(\frac23\right)^3 =\frac{8}{3^8} =\frac{8}{6561},$$

而硬幣 C 的比較值為

$$\left(\frac23\right)^5\left(\frac13\right)^3 =\frac{32}{3^8} =\frac{32}{6561}.$$

因此三者為

$$\ell_A=\frac{8}{6561},\qquad \ell_B=\frac1{256},\qquad \ell_C=\frac{32}{6561}.$$

數值上，

$$\frac{8}{6561}\approx 0.001219, \qquad \frac1{256}\approx 0.003906, \qquad \frac{32}{6561}\approx 0.004877。$$

所以最大者為硬幣 $C$。

似然比表示

以硬幣 $B$ 為基準，

$$\frac{L_A}{L_B} = \frac{8/6561}{1/256} = \frac{2048}{6561} <1,$$ $$\frac{L_C}{L_B} = \frac{32/6561}{1/256} = \frac{8192}{6561} >1。$$

核心觀念

1. 雙對數迴歸模型（Log-Log Model）之線性轉換： 原方程式 $\log_{10} y = \alpha + \beta \cdot \log_{10} x + \varepsilon$ 雖為非線性關係（冪次函數 $y = 10^\alpha x^\beta \cdot 10^\varepsilon$），但透過常用對數（$\log_{10}$）轉換後，模型對未知參數 $\alpha$ 與 $\beta$ 呈現線性關係（Linear in Parameters），可直接視為以 $\log_{10} x$ 為自變數、$\log_{10} y$ 為應變數的「簡單線性迴歸模型」。
2. 最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）之目標： 尋找一組參數估計值 $(\hat{\alpha}, \hat{\beta})$，使得所有觀測值的殘差平方和（Sum of Squared Errors, SSE）達到極小。
3. 正規方程式（Normal Equations）： 藉由微積分之一階必要條件（First-Order Conditions, F.O.C.），對未知參數分別求偏導數並令其為零，解出參數之估計公式。

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解題方法

設有一組樣本大小為 $n$ 的觀測資料 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$，滿足模型： $\log_{10} y_i = \alpha + \beta \log_{10} x_i + \varepsilon_i, \quad i = 1, 2, \dots, n$ 其中 $E(\varepsilon_i) = 0$。

步驟一：設定殘差平方和函數（SSE）

殘差定義為 $\varepsilon_i = \log_{10} y_i - \alpha - \beta \log_{10} x_i$。 最小平方法之目標函數為極小化殘差平方和 $S(\alpha, \beta)$： $S(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{n} \varepsilon_i^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( \log_{10} y_i - \alpha - \beta \log_{10} x_i \right)^2$

步驟二：利用一階條件建立正規方程式（F.O.C.）

欲使 $S(\alpha, \beta)$ 最小化，分別對未知參數 $\alpha$ 與 $\beta$ 求一階偏導函數，並令其等於 $0$：

1. 對 $\alpha$ 偏微分： $\frac{\partial S}{\partial \alpha} = -2 \sum_{i=1}^{n} \left( \log_{10} y_i - \alpha - \beta \log_{10} x_i \right) = 0$ 同除以 $-2$ 並展開求和項： $\sum_{i=1}^{n} \log_{10} y_i - n\alpha - \beta \sum_{i=1}^{n} \log_{10} x_i = 0 \quad \cdots\cdots (1)$

2. 對 $\beta$ 偏微分： $\frac{\partial S}{\partial \beta} = -2 \sum_{i=1}^{n} \log_{10} x_i \left( \log_{10} y_i - \alpha - \beta \log_{10} x_i \right) = 0$ 同除以 $-2$ 並展開求和項： $\sum_{i=1}^{n} (\log_{10} x_i)(\log_{10} y_i) - \alpha \sum_{i=1}^{n} \log_{10} x_i - \beta \sum_{i=1}^{n} (\log_{10} x_i)^2 = 0 \quad \cdots\cdots (2)$

步驟三：聯立求解 $\beta$ 之估計式

定義樣本轉換變數之平均數： $\overline{\log_{10} x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \log_{10} x_i, \quad \overline{\log_{10} y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \log_{10} y_i$

由式 $(1)$ 可得 $\hat{\alpha}$ 與 $\hat{\beta}$ 的關係式： $\hat{\alpha} = \overline{\log_{10} y} - \hat{\beta}\,\overline{\log_{10} x}$

將 $\hat{\alpha}$ 代入式 $(2)$：

核心觀念

1. Wilcoxon 秩和檢定（Wilcoxon Rank Sum Test）：

• 屬於無母數統計方法（Nonparametric Methods），用於檢定兩獨立樣本之位置參數（中位數或平移參數 $\Delta$）是否存在顯著差異。
• 適用於樣本數較小或母體分配非常態之連續型資料。

2. 假設設定（單尾檢定）：

• 本題研究指標為「手術後復發時間（年）」，復發時間愈長代表手術效果愈好。
• 設 $A$ 組與 $B$ 組復發時間之中位數分別為 $M_A$ 與 $M_B$（或平移參數 $\Delta = M_A - M_B$）。
• 虛無假設 $H_0: M_A \le M_B$（或 $\Delta \le 0$，$A$ 組術後效果未優於 $B$ 組）
• 對立假設 $H_1: M_A > M_B$（或 $\Delta > 0$，$A$ 組術後效果較好）

3. 小樣本精確分配（Exact Permutation Distribution）：

• 當樣本數較小（$n_A = 5, n_B = 5$）且題目限制「不能用逼近方法」時，不可使用常態逼近法（$Z$ 檢定），必須計算在 $H_0$ 為真下，所有可能等級排列組合的精確機率，進而求出精確的 $p$-value。

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解題方法

步驟一：合併樣本並由小至大排序編排等級（Rank）

將兩組共 $N = n_A + n_B = 5 + 5 = 10$ 筆觀測值由小到大統一排序並賦予等級（$1$ 至 $10$）：

排序	復發時間（年）	所屬組別	對應等級（Rank）
1	0.4	$B$	1
2	1.2	$B$	2
3	2.9	$B$	3
4	4.2	$A$	4
5	5.6	$B$	5
6	6.5	$A$	6
7	6.7	$B$	7
8	7.9	$A$	8
9	13.2	$A$	9
10	16.0	$A$	10

步驟二：計算等級和（Rank Sum）

• $A$ 組等級和： $W_A = 4 + 6 + 8 + 9 + 10 = 37$
• $B$ 組等級和： $W_B = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 18$
• 等級總和驗算： $W_A + W_B = 37 + 18 = 55 = \frac{10 \times (10 + 1)}{2}$

步驟三：計算精確 $p$-value

• 在 $H_0$ 成立下，從 $1 \sim 10$ 的 10 個等級中任意分配 5 個等級給 $A$ 組的所有可能組合數為： $\binom{10}{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$
• 由於對立假設為 $H_1: M_A > M_B$，支持 $H_1$ 的方向為 $A$ 組等級和偏大，故檢定方向為右尾檢定。
• $W_A$ 的理論最大值為 $6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40$。我們枚舉滿足 $W_A \ge 37$ 的所有可能組合：

1. $W_A = 40$（共 1 種）：