111 高普考高考三級 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題屬於抽樣調查中利用**輔助變數（Auxiliary Variable）**提升母體參數估計精確度的經典題型，核心考點包含：

1. 單純簡單隨機抽樣（SRSWOR）之母體總計（Total）與比例估計：在未利用輔助資訊下，以樣本平均數 $\bar{y}$ 乘以母體大小 $N$ 估計母體總染病人數 $Y$，並計算有限母體校正（Finite Population Correction, FPC）之變異數與信賴區間。
2. 輔助資訊之整合（差值估計式 / 迴歸估計式）：快速檢測（方法 A）已實施全社區普查，其母體比例 $\bar{X} = 0.6$（母體總數 $X = 300$）為已知常數；精確檢測（方法 B）為目標變數 $Y$。透過成對樣本 $(x_i, y_i)$，可建立**差值估計式（Difference Estimator）或線性迴歸估計式（Regression Estimator）**以大幅縮小抽樣變異。
3. 估計式效率比較（Relative Efficiency）：評估何時利用輔助變數能提高估計精度（當 $r > \frac{1}{2} \frac{\mathrm{CV}_x}{\mathrm{CV}_y}$ 或兩檢驗高度一致時，輔助估計之變異數遠小於單純 SRS）。

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解題方法

符號定義與已知條件整理

• 母體大小：$N = 500$。
• 方法 A（輔助變數 $X$）：普查 $N=500$ 人，陽性比例 $\bar{X} = 0.60$，母體陽性總人數 $X = N\bar{X} = 300$。
• 方法 B（目標變數 $Y$）：抽樣數 $n = 30$（SRSWOR），陽性人數 $\sum_{i=1}^{30} y_i = 15 \implies \bar{y} = \frac{15}{30} = 0.5$。
• 樣本中方法 A 陽性人數：$\sum_{i=1}^{30} x_i = 13 \implies \bar{x} = \frac{13}{30}$。
• 檢驗一致性：30 人中 26 人檢驗結果相同（$x_i = y_i$），4 人不相同（$x_i \neq y_i$）。

建立 $2 \times 2$ 樣本列聯表：

• $n_{11}$（A陽、B陽）：$12$ 人
• $n_{10}$（A陰、B陽）：$3$ 人
• $n_{01}$（A陽、B陰）：$1$ 人
• $n_{00}$（A陰、B陰）：$14$ 人 (檢查：$n_{11}+n_{00}=26$；$n_{10}+n_{01}=4$；B陽性 $=12+3=15$；A陽性 $=12+1=13$，合致。)

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(一) 僅以方法 B 施測結果推估本社區染病人數及其 95% 信賴區間

1. 母體染病人數點估計值 $\hat{Y}_{SRS}$： $\hat{Y}_{SRS} = N \bar{y} = 500 \times 0.5 = 250 \text{（人）}$

2. 樣本變異數 $s_y^2$： 由於 $y_i \in \{0, 1\}$，$\sum_{i=1}^{30} y_i^2 = \sum_{i=1}^{30} y_i = 15$。 $s_y^2 = \frac{1}{n-1}\left( \sum_{i=1}^n y_i^2 - n\bar{y}^2 \right) = \frac{1}{29}\left( 15 - 30 \times (0.5)^2 \right) = \frac{7.5}{29} \approx 0.2586$

3. 估計量變異數與標準誤 $\widehat{\mathrm{SE}}(\hat{Y}_{SRS})$： 考慮有限母體校正因子 $fpc = 1 - \frac{n}{N} = 1 - \frac{30}{500} = 0.94$： $\widehat{\mathrm{Var}}(\hat{Y}_{SRS}) = N^2 \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{s_y^2}{n} = 500^2 \times 0.94 \times \frac{7.5 / 29}{30} = \frac{58750}{29} \approx 2025.8621$ $\widehat{\mathrm{SE}}(\hat{Y}_{SRS}) = \sqrt{2025.8621} \approx 45.01 \text{（人）}$

4. 95% 信賴區間： 取標準常態臨界值 $z_{0.025} = 1.96$（或 $t_{29, 0.025} = 2.045$）： $\hat{Y}_{SRS} \pm z_{0.025} \times \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{Y}_{SRS}) = 250 \pm 1.96 \times 45.01 = 250 \pm 88.22 = [161.78, 338.22] \text{（人）}$ (若採 $t$ 分配臨界值 $2.045$ 計算則為 $250 \pm 92.05 = [157.95, 342.05]$ 人)

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(二) 整合兩種方法之推估方式、推估值、95% 信賴區間與決策分析

1. 是否可以整合？ 可以。全社區已具備方法 A 之普查資訊（$\bar{X}=0.6$ 為已知母體參數），且方法 A 與方法 B 呈高度正相關。可將方法 A 作為輔助變數，利用**差值估計法（Difference Estimation）或線性迴歸估計法（Linear Regression Estimation）**進行整合推估。

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2. 推估方式與數值推導

【方式一：差值估計法（Difference Estimation）】

方法 A 與方法 B 均為二元檢驗指標且尺度相同，差值變數 $d_i = y_i - x_i$ 代表方法 A 相對於標準方法 B 之檢測誤差。

• 差值樣本統計量：

• $d_i = 0$ 有 26 人；$d_i = 1$ 有 3 人；$d_i = -1$ 有 1 人。

• $\sum_{i=1}^{30} d_i = 3(1) + 1(-1) + 26(0) = 2 \implies \bar{d} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$。

• $\sum_{i=1}^{30} d_i^2 = 3(1)^2 + 1(-1)^2 + 26(0)^2 = 4$（即不一致人數）。

• 差值樣本變異數： $s_d^2 = \frac{1}{n-1}\left(\sum d_i^2 - n\bar{d}^2\right) = \frac{1}{29}\left(4 - 30\times\left(\frac{2}{30}\right)^2\right) = \frac{1}{29}\left(\frac{116}{30}\right) = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \approx 0.1333$

• 母體總人數差值估計值 $\hat{Y}_d$： $\hat{Y}_d = N\bar{X} + N\bar{d} = 500 \times 0.6 + 500 \times \frac{2}{30} = 300 + 33.33 = 333.33 \text{（人）}$

核心觀念

本題結合了「無母數統計／卡方適合度檢定」與「抽樣調查／事後分層估計（Post-stratification）」兩大核心概念：

1. 卡方適合度檢定（Chi-Square Goodness-of-Fit Test）：用於檢驗多項母體中，各類別的觀察次數（樣本年級分布）是否符合已知的理論母體比例。檢定統計量為：

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \sim \chi^2(k-1)$$

其中 $O_i$ 為觀察頻率（Observed frequency），$E_i = n \cdot Q_i$ 為虛無假設下的期望頻率（Expected frequency），$k$ 為類別數。

2. 事後分層估計量（Post-stratified Estimator）：當採用簡單隨機抽樣後，若樣本在各層（年級）的配置比例與已知的母體真實比例（$Q_i$）存在顯著結構性偏差，且各層之特徵值差異甚大時，單純的樣本平均數（簡單比例）會產生代表性失真。此時應利用母體已知比例進行加權校正，其估計量公式為：

$$\hat{p}_{\text{post}} = \sum_{i=1}^{k} Q_i \cdot p_i$$

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解題方法

(一) 樣本比例與母體比例之適合度檢定

步驟 1：建立統計假設

• 虛無假設 $H_0$：樣本年級分布符合母體年級比例，即：

$$P(\text{大一}) = 0.3,\quad P(\text{大二}) = 0.3,\quad P(\text{大三}) = 0.2,\quad P(\text{大四}) = 0.2$$

• 對立假設 $H_1$：樣本年級分布與母體年級比例不符（至少有一年級之比例不符合）。

步驟 2：計算各年級的期望次數 $E_i = n \cdot Q_i$（總樣本數 $n = 400$）

• 大一：$E_1 = 400 \times 0.3 = 120$
• 大二：$E_2 = 400 \times 0.3 = 120$
• 大三：$E_3 = 400 \times 0.2 = 80$
• 大四：$E_4 = 400 \times 0.2 = 80$

步驟 3：計算卡方檢定統計量 $\chi^2$ 觀察次數分別為 $O_1 = 200, O_2 = 100, O_3 = 50, O_4 = 50$：

$$\begin{aligned} \chi^2 &= \frac{(200 - 120)^2}{120} + \frac{(100 - 120)^2}{120} + \frac{(50 - 80)^2}{80} + \frac{(50 - 80)^2}{80} \\ &= \frac{80^2}{120} + \frac{(-20)^2}{120} + \frac{(-30)^2}{80} + \frac{(-30)^2}{80} \\ &= \frac{6400}{120} + \frac{400}{120} + \frac{900}{80} + \frac{900}{80} \\ &= \frac{6800}{120} + \frac{1800}{80} \\ &= \frac{170}{3} + \frac{45}{2} = \frac{340 + 135}{6} = \frac{475}{6} \approx 79.17 \end{aligned}$$

核心觀念

本題為典型的**複合抽樣設計（Complex Survey Design）**綜合題型，涵蓋「二段集群抽樣（Two-stage Cluster Sampling）」與「領域估計（Domain Estimation / Subpopulation Analysis）」兩大核心主題：

1. 二段集群抽樣（群大小不等，Unequal Cluster Sizes）：

• 第一階段：以簡單隨機不放回抽樣（SRSWOR）抽出 $n$ 個初級抽樣單位（Primary Sampling Units, PSU，即村）。
• 第二階段：在被抽中的第 $i$ 村內，以 SRSWOR 抽出 $m_i$ 戶次級抽樣單位（Secondary Sampling Units, SSU，即中小型果農）。若 $M_i \le 5$，則進行全查（$m_i = M_i$）。
• 總值估計可採不偏估計法（簡單膨脹法）或比率估計法（利用已知總戶數 $M=95$）。

2. 二階段有限母體校正與變異數分解：

• 二段抽樣的變異數估計包含「群間變異（Between-cluster variance）」與「群內變異（Within-cluster variance）」。當某村進行全查（$m_i = M_i$）時，該村之群內變異校正因子 $(1 - m_i/M_i) = 0$。

3. 領域估計（Domain Estimation）：

• 對於名冊無法事先確認之次母體（兼種芒果農戶），其樣本數 $n_d$ 為隨機變數。
• 領域平均數 $\bar{y}_d$ 之條件變異數估計須乘上全體樣本之有限母體校正因子 $(1 - f) = \left(1 - \frac{n_R}{N_R}\right)$。
• 領域總產值 $Y_D$ 相當於在全體其餘農戶（$N_R=400$）中將未兼種者定義為 $y_k=0$ 之母體總值，可直接透過整體樣本平均數 $\bar{y}$ 進行不偏擴質推估。

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解題方法

(一) 金芒鄉中小型專業芒果農戶年度芒果總產值之兩種估計方式、變異數估計與適用性比較

1. 調查符號與結構設定

• 全鄉村數（PSU 總數）：$N = 11$，抽取樣本村數：$n = 6$。
• 全鄉中小型專業芒果農戶總數：$M = \sum_{i=1}^{N} M_i = 95$ 戶。
• 第 $i$ 個樣本村之中小型專業果農總數為 $M_i$，抽樣戶數為 $m_i = \min(M_i, 5)$。
• 第 $i$ 村第 $j$ 戶之芒果產值為 $y_{ij}$，第 $i$ 村樣本平均值為 $\bar{y}_i = \frac{1}{m_i} \sum_{j=1}^{m_i} y_{ij}$，樣本變異數為 $s_i^2 = \frac{1}{m_i - 1} \sum_{j=1}^{m_i} (y_{ij} - \bar{y}_i)^2$。
• 第 $i$ 村中小型專業果農芒果總產值估計值為 $\hat{y}_i = M_i \bar{y}_i$。

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2. 估計方式一：二段抽樣不偏估計法（Unbiased Estimator / 簡單膨脹估計量）

• 總產值點估計量 $\hat{Y}_{unb}$： 不利用母體總戶數 $M=95$ 的輔助資訊，直接將樣本村總值之平均數乘以母體村數 $N$： $\hat{Y}_{unb} = \frac{N}{n} \sum_{i=1}^{n} \hat{y}_i = \frac{N}{n} \sum_{i=1}^{n} M_i \bar{y}_i$

• 變異數估計量 $\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{Y}_{unb})$： $\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{Y}_{unb}) = N^2 \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{s_b^2}{n} + \frac{N}{n} \sum_{i=1}^{n} M_i^2 \left(1 - \frac{m_i}{M_i}\right) \frac{s_i^2}{m_i}$ 其中： $s_b^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_i - \bar{\hat{y}})^2, \quad \bar{\hat{y}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \hat{y}_i$

註：當 $M_i \le 5$ 時，$m_i = M_i$，有限母體校正項 $\left(1 - \frac{m_i}{M_i}\right) = 0$，該村無第二階段抽樣誤差。

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3. 估計方式二：二段抽樣比率估計法（Ratio Estimator / 比率擴質估計量）

• 總產值點估計量 $\hat{Y}_R$： 利用已知之全鄉中小型專業果農總戶數 $M = 95$，以每戶平均產值之比率估計量 $\bar{y}_R$ 進行擴質： $\bar{y}_R = \frac{\sum_{i=1}^{n} \hat{y}_i}{\sum_{i=1}^{n} M_i} = \frac{\sum_{i=1}^{n} M_i \bar{y}_i}{\sum_{i=1}^{n} M_i}$ $\hat{Y}_R = M \cdot \bar{y}_R = M \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n} M_i \bar{y}_i}{\sum_{i=1}^{n} M_i}$

• 變異數估計量 $\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{Y}_R)$： $\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{Y}_R) = N^2 \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{s_{Rb}^2}{n} + \frac{N}{n} \sum_{i=1}^{n} M_i^2 \left(1 - \frac{m_i}{M_i}\right) \frac{s_i^2}{m_i}$ 其中群間變異改由比率殘差變異數估計（$\bar{M} = M/N$ 為平均每村中小型果農戶數）： $s_{Rb}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{M_i}{\bar{M}}\right)^2 (\bar{y}_i - \bar{y}_R)^2 = \frac{1}{n-1} \left(\frac{N}{M}\right)^2 \sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_i - M_i \bar{y}_R)^2$

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4. 兩種方法於本調查之適用性比較

比較維度	不偏估計法 ($\hat{Y}_{unb}$)	比率估計法 ($\hat{Y}_R$)	本調查之適用性分析
偏誤性質	理論上為嚴格不偏估計量。	屬大樣本漸近不偏（有微小偏誤）。	樣本數 $n=6$ 且抽樣比 $6/11 > 50\%$，比率估計量的偏誤極小，可忽略。
輔助資訊利用	未利用全鄉中小型果農總戶數 $M=95$。	充分利用已知總戶數 $M=95$ 進行校正。	比率估計法有效導入普查名冊之已知結構資訊。
群大小變異之影響	各村中小型果農數 $M_i$ 差異極大（介於 2 戶至 13 戶以上），導致村總產值 $\hat{y}_i$ 波動劇烈，$s_b^2$ 膨脹。	將各村總值依戶數 $M_i$ 標準化，消除因群規模懸殊所造成的虛假群間變異。	本調查各村規模不一，村產值與戶數高度正相關，比率估計法能大幅縮小群間變異。
估計精準度（效率）	變異數通常較大（效率較低）。	變異數顯著小於不偏估計量（效率極高）。	比率估計法之精準度遠優於不偏估計法。

結論：本調查各村果農戶數分佈不均，且已知母體總戶數 $M=95$，因此比率估計法（Ratio Estimator）顯著優於不偏估計法，為最適適用之推估方法。

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(二) 兼種芒果農戶平均產值推估值及其變異數估計

1. 基本設定：

• 其餘農戶總數（母體）：$N_R = 500 - 100 = 400$ 戶。
• 抽樣戶數：$n_R = 50$ 戶。

核心觀念

1. 抽樣設計（Sampling Design）與樣本空間： 母體單元數 $N=3$，抽樣數 $n=2$（可重複、不計順序），共有 $H_2^3 = \binom{3+2-1}{2} = 6$ 種樣本組合。樣本選擇機率為 $p(s) = \frac{i+j}{24}$，滿足 $\sum_{s} p(s) = 1$。
2. 包含機率（Inclusion Probability, $\pi_i$）： 單元 $i$ 被選入樣本中（至少出現一次）的機率，定義為： $\pi_i = P(i \in s) = \sum_{s \ni i} p(s)$
3. 估計量之偏誤（Bias）與均方誤差（MSE）：

• 母體平均：$\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i$
• 偏誤：$\text{Bias}(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta$
• 均方誤差：$\text{MSE}(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta} - \theta)^2] = \text{Var}(\hat{\theta}) + [\text{Bias}(\hat{\theta})]^2$

4. Horvitz-Thompson（HT）不偏估計量： 在不等機率抽樣設計下，推估母體總和或平均之標準不偏估計量。對於母體平均 $\mu$，HT 估計量定義為： $\hat{\mu}_{HT} = \frac{1}{N} \sum_{i \in s^*} \frac{y_i}{\pi_i}$ 其中 $s^*$ 為樣本 $s$ 中「不重複之相異單元集合」。

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解題方法與詳細計算

事前整理：樣本空間、選擇機率與樣本平均值

母體為 $y_1 = 7, y_2 = 5, y_3 = 3$，母體平均為： $\mu = \frac{7 + 5 + 3}{3} = \frac{15}{3} = 5$

6 種可能之樣本組合 $s = (i, j)$（滿足 $1 \le i \le j \le 3$）、其選擇機率 $p(s)$ 及樣本平均 $\bar{y}(s) = \frac{y_i + y_j}{2}$ 列表如下：

樣本組合 $s$	$i+j$	選擇機率 $p(s) = \frac{i+j}{24}$	樣本數值 $(y_i, y_j)$	樣本平均 $\bar{y}(s)$
$(1,1)$	2	$\frac{2}{24}$	$(7, 7)$	$\frac{7+7}{2} = 7$
$(1,2)$	3	$\frac{3}{24}$	$(7, 5)$	$\frac{7+5}{2} = 6$
$(1,3)$	4	$\frac{4}{24}$	$(7, 3)$	$\frac{7+3}{2} = 5$
$(2,2)$	4	$\frac{4}{24}$	$(5, 5)$	$\frac{5+5}{2} = 5$
$(2,3)$	5	$\frac{5}{24}$	$(5, 3)$	$\frac{5+3}{2} = 4$
$(3,3)$	6	$\frac{6}{24}$	$(3, 3)$	$\frac{3+3}{2} = 3$

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(一) 計算第 2 個單元之包含機率 $\pi_2$

第 2 個單元被選入樣本的事件為包含單元 2 的樣本組合集合，即 $s \in \{(1,2), (2,2), (2,3)\}$。 $\pi_2 = P(2 \in s) = p(1,2) + p(2,2) + p(2,3) = \frac{3}{24} + \frac{4}{24} + \frac{5}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

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(二) 計算 $\bar{y}$ 推估 $\mu$ 之偏誤（Bias）

1. 計算 $\bar{y}$ 的期望值 $E[\bar{y}]$： $E[\bar{y}] = \sum_{s} \bar{y}(s) \cdot p(s)$ $E[\bar{y}] = 7\left(\frac{2}{24}\right) + 6\left(\frac{3}{24}\right) + 5\left(\frac{4}{24}\right) + 5\left(\frac{4}{24}\right) + 4\left(\frac{5}{24}\right) + 3\left(\frac{6}{24}\right)$ $E[\bar{y}] = \frac{14 + 18 + 20 + 20 + 20 + 18}{24} = \frac{110}{24} = \frac{55}{12}$

2. 計算偏誤 $\text{Bias}(\bar{y})$： $\text{Bias}(\bar{y}) = E[\bar{y}] - \mu = \frac{55}{12} - 5 = \frac{55 - 60}{12} = -\frac{5}{12}$

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(三) 計算 $\bar{y}$ 在本設計下之均方誤差（MSE）

由定義直接計算 $\text{MSE}(\bar{y}) = E[(\bar{y} - \mu)^2] = \sum_{s} (\bar{y}(s) - 5)^2 \cdot p(s)$：

• 對於 $s=(1,1)$：$(\bar{y}-5)^2 = (7-5)^2 = 4$
• 對於 $s=(1,2)$：$(\bar{y}-5)^2 = (6-5)^2 = 1$
• 對於 $s=(1,3)$：$(\bar{y}-5)^2 = (5-5)^2 = 0$
• 對於 $s=(2,2)$：$(\bar{y}-5)^2 = (5-5)^2 = 0$
• 對於 $s=(2,3)$：$(\bar{y}-5)^2 = (4-5)^2 = 1$
• 對於 $s=(3,3)$：$(\bar{y}-5)^2 = (3-5)^2 = 4$

加權求和得： $\text{MSE}(\bar{y}) = 4\left(\frac{2}{24}\right) + 1\left(\frac{3}{24}\right) + 0\left(\frac{4}{24}\right) + 0\left(\frac{4}{24}\right) + 1\left(\frac{5}{24}\right) + 4\left(\frac{6}{24}\right)$ $\text{MSE}(\bar{y}) = \frac{8 + 3 + 0 + 0 + 5 + 24}{24} = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}$

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(四) 提出不偏估計量、計算特定樣本估計值並進行不偏性證明／驗證

1. 提出不偏估計量：Horvitz-Thompson（HT）估計量 針對不等機率抽樣設計，定義母體平均 $\mu$ 之 Horvitz-Thompson 估計量為： $\hat{\mu}_{HT} = \frac{1}{N} \sum_{i \in s^*} \frac{y_i}{\pi_i} = \frac{1}{3} \sum_{i \in s^*} \frac{y_i}{\pi_i}$ 其中 $s^*$ 代表樣本 $s$ 中相異（不重複計入）之單元集合。

先求各單元之包含機率 $\pi_i$：

• $\pi_1 = p(1,1) + p(1,2) + p(1,3) = \frac{2+3+4}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$
• $\pi_2 = \frac{1}{2} = \frac{4}{8}$
• $\pi_3 = p(1,3) + p(2,3) + p(3,3) = \frac{4+5+6}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$

2. 計算指定樣本組合之估計值

• 當樣本為 $s = (2,3)$ 時，相異單元為 $\{2, 3\}$：