109 高普考高考三級 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題的核心在於**重複系統抽樣法（Replicated Systematic Sampling / Interpenetrating Subsamples）**的參數估計與推論。

1. 抽樣架構與集區視角：

• 母體總人數 $N = 15{,}000$ 人。
• 「$300$ 取 $1$」的系統抽樣，代表抽樣間隔（Sampling interval）為 $k = 300$。
• 整個母體可視為由 $K = 300$ 組相互獨立且不重疊的系統樣本（亦即 $K$ 個大小均為 $M = \frac{N}{k} = \frac{15{,}000}{300} = 50$ 人的集區）所組成。
• 本題自 $K = 300$ 組可能之系統樣本中，以簡單隨機抽樣（SRSWOR）抽出 $m = 10$ 組系統樣本進行調查，總計調查人數 $n = m \times M = 10 \times 50 = 500$ 人。

2. 克服單一系統抽樣之缺陷： 單一系統抽樣（$m = 1$）無法在無母體結構假設下直接估計抽樣變異數；重複系統抽樣藉由抽出 $m \ge 2$ 組獨立的系統樣本，可將各組樣本統計量視為獨立觀測值，直接估計抽樣變異數。
3. 估計公式：

• 母體平均數 $\bar{Y}$ 的估計：各組平均數 $\bar{y}_i$ 的樣本平均即為不偏估計量： $\hat{\bar{Y}} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} \bar{y}_i$ 其估計變異數為： $\hat{V}(\hat{\bar{Y}}) = \left(1 - \frac{m}{K}\right) \frac{s_{\bar{y}}^2}{m}$ 其中 $s_{\bar{y}}^2 = \frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^{m}(\bar{y}_i - \hat{\bar{Y}})^2$。
• 母體總數 $A$ 的估計：每組不滿意人數 $a_i$ 對應的母體總數估計為 $\hat{A}_i = K a_i$，全體估計量為： $\hat{A} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} \hat{A}_i = K \bar{a} \quad \left(\text{亦可寫為 } \hat{A} = N\hat{P}\right)$ 其估計變異數為： $\hat{V}(\hat{A}) = K^2 \left(1 - \frac{m}{K}\right) \frac{s_a^2}{m}$ 其中 $s_a^2 = \frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^{m}(a_i - \bar{a})^2$。

4. 有限母體校正係數（fpc）： 集區層次的抽出率為 $f = \frac{m}{K} = \frac{10}{300} = \frac{1}{30}$（恰好等於個體層次抽出率 $\frac{n}{N} = \frac{500}{15{,}000} = \frac{1}{30}$），故有限母體校正係數為 $1 - f = 1 - \frac{10}{300} = \frac{29}{30}$。

---

解題方法

(一) 估計每位會員的平均消費金額、求算 95% 信賴區間，並判斷是否顯著大於 3 萬元

Step 1：計算每組平均消費金額的樣本平均與樣本變異數 各組平均消費金額 $\bar{y}_i$（萬元）依序為：$1.85, 3.50, 2.75, 3.50, 3.38, 2.38, 3.12, 3.62, 3.25, 4.25$。

• 組數 $m = 10$。
• 總和： $\sum_{i=1}^{10} \bar{y}_i = 1.85 + 3.50 + 2.75 + 3.50 + 3.38 + 2.38 + 3.12 + 3.62 + 3.25 + 4.25 = 31.60\text{（萬元）}$
• 平方和： $\sum_{i=1}^{10} \bar{y}_i^2 = 1.85^2 + 3.50^2 + 2.75^2 + 3.50^2 + 3.38^2 + 2.38^2 + 3.12^2 + 3.62^2 + 3.25^2 + 4.25^2 = 104.0376$
• 母體平均消費金額的點估計量： $\hat{\bar{Y}} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} \bar{y}_i = \frac{31.60}{10} = 3.16\text{（萬元）}$
• 樣本變異數 $s_{\bar{y}}^2$： $s_{\bar{y}}^2 = \frac{1}{10 - 1}\left[\sum_{i=1}^{10} \bar{y}_i^2 - 10\hat{\bar{Y}}^2\right] = \frac{104.0376 - 10 \times (3.16)^2}{9} = \frac{104.0376 - 99.856}{9} = \frac{4.1816}{9} \approx 0.464622$

Step 2：計算估計量的標準誤 考慮有限母體校正係數 $1 - \frac{m}{K} = 1 - \frac{10}{300} = \frac{29}{30}$： $\hat{V}(\hat{\bar{Y}}) = \left(1 - \frac{m}{K}\right)\frac{s_{\bar{y}}^2}{m} = \left(\frac{29}{30}\right) \times \frac{0.464622}{10} \approx 0.044913$ $\widehat{SE}(\hat{\bar{Y}}) = \sqrt{\hat{V}(\hat{\bar{Y}})} = \sqrt{0.044913} \approx 0.2119\text{（萬元）}$ (註：若依抽樣率低於 $5\%$ 省略 fpc，則 $\widehat{SE} = \sqrt{\frac{0.464622}{10}} \approx 0.2155$ 萬元)

Step 3：求算 95% 信賴區間 本題組數 $m = 10 < 30$，統計推論應採用自由度 $df = m - 1 = 9$ 的 Student's $t$ 分配臨界值 $t_{0.025}(9) = 2.262$： $\hat{\bar{Y}} \pm t_{0.025}(9) \times \widehat{SE}(\hat{\bar{Y}}) = 3.16 \pm 2.262 \times 0.2119 = 3.16 \pm 0.4793$ 得到 $95\%$ 信賴區間為： $[3.16 - 0.4793,\; 3.16 + 0.4793] = [2.6807,\; 3.6393]\text{（萬元）}$ (註：若使用大樣本常態近似臨界值 $z_{0.025} = 1.96$，區間為 $3.16 \pm 1.96 \times 0.2119 = [2.7447,\; 3.5753]$ 萬元)

Step 4：利用信賴區間進行假設檢定與判斷

• 欲檢定：$H_0: \bar{Y} \le 3$ 萬元 vs. $H_1: \bar{Y} > 3$ 萬元。

核心觀念

本題為典型的**簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling Without Replacement, SRSWOR）**綜合應用題，評量考生在有限母體下對平均數、多項比例差的估計能力，以及多重目標下的樣本數規劃。核心觀念涵蓋以下四項：

1. 有限母體校正因子（Finite Population Correction, FPC）： 母體個數 $N = 12{,}000$，樣本數 $n = 600$，抽樣比例（Sampling fraction）為： $f = \frac{n}{N} = \frac{600}{12{,}000} = 0.05 = 5\%$ 當抽樣比 $f \ge 5\%$ 時，依抽樣調查理論慣例，計算估計式之變異數時必須納入有限母體校正因子 $(1 - f)$。
2. 母體平均數之誤差界限（Bound on the Error of Estimation）： 在 $95\%$ 信賴水準下，常態分配雙尾臨界值為 $z_{0.025} = 1.96$（部分教科書依經驗法則取 $z = 2$），誤差界限定義為估計式標準誤的臨界倍數： $B = z_{\alpha/2} \cdot \widehat{\operatorname{SE}}(\bar{y}) = z_{\alpha/2} \sqrt{\left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{s^2}{n}}$
3. 單一樣本下兩互斥類別比例差之變異數（相依比例問題）： 體重「過重」與「過輕」係來自同一組樣本劃分的互斥類別，本質為三項分配（Trinomial Distribution），兩者具有負共變異數（Negative Covariance），絕不可視為獨立兩樣本！ 差額 $\hat{d} = \hat{p}_1 - \hat{p}_2$ 的抽樣變異數為： $\operatorname{Var}(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) = \operatorname{Var}(\hat{p}_1) + \operatorname{Var}(\hat{p}_2) - 2\operatorname{Cov}(\hat{p}_1, \hat{p}_2)$ 其中 $\operatorname{Cov}(\hat{p}_1, \hat{p}_2) = -\left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{p_1 p_2}{n - 1}$。
4. 多重目標之樣本數決定（Sample Size Determination）： 當調查同時對多個參數有不同的精確度要求時，必須分別求出各參數所需的最小樣本數，並取其最大值（Maximum），以確保所有估計皆能達到要求的信賴度與誤差界限。

---

解題方法

(一) 計算甲城市每位居民平均體重的 $95\%$ 誤差界限

1. 基本參數整理：

• 母體大小：$N = 12{,}000$
• 樣本大小：$n = 600$
• 樣本平均數：$\bar{y} = 65$ 公斤
• 樣本標準差：$s = 9$ 公斤
• 信賴水準：$95\% \implies z_{0.025} = 1.96$

2. 估計式之標準誤推導與計算： 在不放回簡單隨機抽樣下，樣本平均數 $\bar{y}$ 之估計變異數為： $\widehat{\operatorname{Var}}(\bar{y}) = \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{s^2}{n} = \left(1 - \frac{600}{12{,}000}\right) \frac{9^2}{600} = (1 - 0.05) \times \frac{81}{600} = 0.95 \times 0.135 = 0.12825$ 標準誤為： $\widehat{\operatorname{SE}}(\bar{y}) = \sqrt{0.12825} \approx 0.35812 \text{ 公斤}$

3. 計算 $95\%$ 誤差界限 $B$： $B = z_{0.025} \cdot \widehat{\operatorname{SE}}(\bar{y}) = 1.96 \times 0.35812 \approx 0.7019 \approx 0.70 \text{ 公斤}$ (註：若依部分抽樣教科書慣用之經驗法則 $B = 2 \cdot \widehat{\operatorname{SE}}$，則 $B = 2 \times 0.35812 \approx 0.7162 \approx 0.72$ 公斤)

---

(二) 求算體重過重與過輕比例之差的 $95\%$ 信賴區間並進行判斷

1. 樣本比例點估計：

• 體重過重人數 $n_1 = 210 \implies \hat{p}_1 = \frac{210}{600} = 0.35$
• 體重過輕人數 $n_2 = 174 \implies \hat{p}_2 = \frac{174}{600} = 0.29$
• 比例差之點估計： $\hat{d} = \hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0.35 - 0.29 = 0.06$

2. 差額變異數的嚴謹推導（指標變數法）： 定義第 $i$ 位受訪者的差額指標變數： $d_i = \begin{cases} 1, & \text{體重過重（共 } 210 \text{ 人）} \\ -1, & \text{體重過輕（共 } 174 \text{ 人）} \\ 0, & \text{體重正常（共 } 600 - 210 - 174 = 216 \text{ 人）} \end{cases}$ 則樣本平均差即為 $\bar{d} = \hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0.06$。 計算變數 $d_i$ 的樣本變異數 $s_d^2$： $\sum_{i=1}^{n} d_i^2 = 210 \times (1)^2 + 174 \times (-1)^2 + 216 \times (0)^2 = 210 + 174 = 384$ $s_d^2 = \frac{1}{n - 1} \left[ \sum_{i=1}^{n} d_i^2 - n \bar{d}^2 \right] = \frac{384 - 600 \times (0.06)^2}{599} = \frac{384 - 2.16}{599} = \frac{381.84}{599} \approx 0.63746$

納入有限母體校正因子後，$\hat{d}$ 之估計變異數為：

核心觀念

本題評量分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）在比例配置法（Proportional Allocation）下的母體參數估計、信賴區間建構與統計檢定。涉及之核心觀念與公式如下：

1. 基本符號與比例配置權重：

• 母體總數 $N = N_1 + N_2$；各層權重 $W_h = \frac{N_h}{N}$。
• 比例配置法下，各層樣本數為 $n_h = n \cdot W_h = n \frac{N_h}{N}$，抽樣比滿足 $f_h = \frac{n_h}{N_h} = \frac{n}{N} = f$。
• 有限母體校正因子（Finite Population Correction, fpc）：$1 - f_h = 1 - f$。

2. 分層平均數之點估計與變異數估計：

• 母體平均數 $\mu$ 之不偏估計量為分層樣本平均數： $\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^L W_h \bar{y}_h$
• 在比例配置下，$\bar{y}_{st}$ 之變異數估計式簡化為： $\hat{V}(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^L W_h^2 \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right) \frac{s_h^2}{n_h} = \frac{1 - f}{n} \sum_{h=1}^L W_h s_h^2$

3. 兩獨立母體變異數比較（$F$ 檢定）與離散度指標：

• 檢定兩常態母體變異數是否具顯著差異：$H_0: \sigma_1^2 \le \sigma_2^2$ 對 $H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2$。
• 檢定統計量：$F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)$。
• 相對離散程度可輔以變異係數衡量：$CV = \frac{s}{\bar{y}}$。

4. 兩層平均數差之估計與檢定：

• 兩獨立層平均數差 $\mu_1 - \mu_2$ 之點估計量為 $\hat{D} = \bar{y}_1 - \bar{y}_2$。
• 因各層抽樣獨立，其估計變異數為各層平均數變異數之和（包含 fpc）： $\hat{V}(\bar{y}_1 - \bar{y}_2) = \hat{V}(\bar{y}_1) + \hat{V}(\bar{y}_2) = \left(1 - \frac{n_1}{N_1}\right)\frac{s_1^2}{n_1} + \left(1 - \frac{n_2}{N_2}\right)\frac{s_2^2}{n_2}$
• 大樣本下，利用標準常態分配進行假說檢定與信賴區間估計。

---

解題方法

整理已知條件

• 第 1 層（男性操作員）：$N_1 = 600$、$\bar{y}_1 = 40.5$、標準差 $s_1 = 12.1$
• 第 2 層（女性操作員）：$N_2 = 1{,}400$、$\bar{y}_2 = 32.2$、標準差 $s_2 = 10.2$
• 母體總數：$N = 600 + 1{,}400 = 2{,}000$
• 總樣本數：$n = 200$
• 各層權重與抽樣數： $W_1 = \frac{600}{2{,}000} = 0.3, \quad W_2 = \frac{1{,}400}{2{,}000} = 0.7$ $n_1 = n \cdot W_1 = 200 \times 0.3 = 60, \quad n_2 = n \cdot W_2 = 200 \times 0.7 = 140$
• 抽樣比與校正因子： $f = \frac{n}{N} = \frac{200}{2{,}000} = 0.1 \implies 1 - f = 1 - 0.1 = 0.9$

---

(一) 估計工廠操作員平均年齡 $\mu$ 及其 $95\%$ 信賴區間

1. 平均年齡 $\mu$ 的點估計： $\hat{\mu} = \bar{y}_{st} = W_1 \bar{y}_1 + W_2 \bar{y}_2 = 0.3(40.5) + 0.7(32.2) = 12.15 + 22.54 = 34.69 \text{（歲）}$

2. 估計式之變異數與標準誤： $\hat{V}(\bar{y}_{st}) = \frac{1 - f}{n} \left[W_1 s_1^2 + W_2 s_2^2\right]$ 代入數值： $W_1 s_1^2 = 0.3 \times (12.1)^2 = 0.3 \times 146.41 = 43.923$ $W_2 s_2^2 = 0.7 \times (10.2)^2 = 0.7 \times 104.04 = 72.828$ $\hat{V}(\bar{y}_{st}) = \frac{0.9}{200} \left[43.923 + 72.828\right] = 0.0045 \times 116.751 = 0.52538$ 標準誤： $SE(\bar{y}_{st}) = \sqrt{0.52538} \approx 0.7248 \text{（歲）}$

3. 求算 $95\%$ 信賴區間： 大樣本條件下取臨界值 $z_{0.025} = 1.96$： $\bar{y}_{st} \pm z_{0.025} \times SE(\bar{y}_{st}) = 34.69 \pm 1.96 \times 0.7248 = 34.69 \pm 1.4206$ 得到 $95\%$ 信賴區間為： $[33.27, 36.11] \text{（歲）}$

---

(二) 男性操作員年齡差異是否比女性操作員大

評估「年齡差異」可從樣本觀察值與推論統計（假說檢定）兩個層次作答：

1. 樣本絕對離散程度比較： 男操作員樣本標準差 $s_1 = 12.1$ 歲，女操作員樣本標準差 $s_2 = 10.2$ 歲。單純就樣本觀察值而言，$s_1 > s_2$，男性操作員的年齡離散程度大於女性。

2. 母體變異數假說檢定（$F$ 檢定）： 設男、女性操作員年齡分配近似常態分配，檢定男性變異數是否顯著大於女性： $H_0: \sigma_1^2 \le \sigma_2^2 \quad \text{vs.} \quad H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2$ 檢定統計量： $F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{(12.1)^2}{(10.2)^2} = \frac{146.41}{104.04} \approx 1.407$

核心觀念

本題屬於單階集群抽樣（Single-stage Cluster Sampling），且各集群大小不相等（Unequal Cluster Sizes）。

1. 抽樣架構與符號定義：

• 母體集群數（總分店數）：$N = 100$。
• 樣本集群數（抽樣分店數）：$n = 15$。
• 第 $i$ 家分店的員工人數（集群大小）：$M_i$。
• 第 $i$ 家分店支持輪休制度的員工人數：$y_i$。
• 母體總員工人數：$M_0 = \sum_{i=1}^N M_i$（未知）。
• 樣本總員工人數：$\sum_{i=1}^n M_i$；平均每家分店員工人數估計值：$\bar{M} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n M_i$。
• 樣本總支持人數：$\sum_{i=1}^n y_i$；平均每家分店支持人數：$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$。

2. 估計公式：

• 母體總人數 $Y$ 的估計：在集群大小不相等且母體總人數 $M_0$ 未知時，採單階集群抽樣的無偏估計式： $\hat{Y} = N\bar{y} = \frac{N}{n} \sum_{i=1}^n y_i$
• 母體支持比例 $P$ 的估計（比率估計式）： $\hat{p} = \frac{\sum_{i=1}^n y_i}{\sum_{i=1}^n M_i} = \frac{\bar{y}}{\bar{M}}$ 其抽樣變異數之估計式為： $\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{p}) = \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{s_r^2}{n \bar{M}^2}$ 其中集群間殘差變異數為： $s_r^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{p}M_i)^2$
• 樣本數 $n$ 的決定： 給定估計比例的 $95\%$ 誤差界限（Bound on error of estimation）為 $B$，要求 $B = z_{\alpha/2}\sqrt{\operatorname{Var}(\hat{p})}$。令 $D = \frac{B^2 \bar{M}^2}{z_{\alpha/2}^2}$，則所需抽取的集群數為： $n = \frac{N \sigma_r^2}{N D + \sigma_r^2}$ 實務上以初抽樣本的 $s_r^2$ 代替 $\sigma_r^2$。

---

解題方法

基本樣本統計量計算

根據題目的 $15$ 家分店調查數據：

• 樣本總員工人數： $\sum_{i=1}^{15} M_i = 55 + 62 + 60 + 95 + 65 + 70 + 80 + 105 + 45 + 88 + 76 + 40 + 85 + 64 + 60 = 1050$ 平均每店員工人數： $\bar{M} = \frac{1050}{15} = 70$

• 樣本總支持人數： $\sum_{i=1}^{15} y_i = 25 + 30 + 50 + 65 + 42 + 50 + 48 + 50 + 30 + 55 + 60 + 25 + 63 + 46 + 54 = 693$ 平均每店支持人數： $\bar{y} = \frac{693}{15} = 46.2$

---

(一) 估計該連鎖超商員工支持目前輪休制度的總人數

母體總支持人數 $Y$ 的無偏估計式為： $\hat{Y} = N\bar{y} = 100 \times 46.2 = 4620 \text{（人）}$

---

(二) 估計支持比例、95% 信賴區間，並檢驗人資長宣稱

1. 點估計值： $\hat{p} = \frac{\sum_{i=1}^{15} y_i}{\sum_{i=1}^{15} M_i} = \frac{693}{1050} = 0.66 \quad (66\%)$

2. 殘差平方和 $\sum_{i=1}^{15} (y_i - \hat{p}M_i)^2$ 計算： 定義各店殘差 $e_i = y_i - 0.66M_i$，各店計算如下：

• 分店 1：$e_1 = 25 - 0.66(55) = 25 - 36.3 = -11.3 \implies e_1^2 = 127.69$
• 分店 2：$e_2 = 30 - 0.66(62) = 30 - 40.92 = -10.92 \implies e_2^2 = 119.2464$
• 分店 3：$e_3 = 50 - 0.66(60) = 50 - 39.6 = 10.4 \implies e_3^2 = 108.16$
• 分店 4：$e_4 = 65 - 0.66(95) = 65 - 62.7 = 2.3 \implies e_4^2 = 5.29$
• 分店 5：$e_5 = 42 - 0.66(65) = 42 - 42.9 = -0.9 \implies e_5^2 = 0.81$
• 分店 6：$e_6 = 50 - 0.66(70) = 50 - 46.2 = 3.8 \implies e_6^2 = 14.44$
• 分店 7：$e_7 = 48 - 0.66(80) = 48 - 52.8 = -4.8 \implies e_7^2 = 23.04$
• 分店 8：$e_8 = 50 - 0.66(105) = 50 - 69.3 = -19.3 \implies e_8^2 = 372.49$
• 分店 9：$e_9 = 30 - 0.66(45) = 30 - 29.7 = 0.3 \implies e_9^2 = 0.09$
• 分店 10：$e_{10} = 55 - 0.66(88) = 55 - 58.08 = -3.08 \implies e_{10}^2 = 9.4864$
• 分店 11：$e_{11} = 60 - 0.66(76) = 60 - 50.16 = 9.84 \implies e_{11}^2 = 96.8256$
• 分店 12：$e_{12} = 25 - 0.66(40) = 25 - 26.4 = -1.4 \implies e_{12}^2 = 1.96$
• 分店 13：$e_{13} = 63 - 0.66(85) = 63 - 56.1 = 6.9 \implies e_{13}^2 = 47.61$
• 分店 14：$e_{14} = 46 - 0.66(64) = 46 - 42.24 = 3.76 \implies e_{14}^2 = 14.1376$