110 高普考高考三級 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 兩階段抽樣設計下樣本組合的機率。
2. 區域的抽樣包含機率 $\pi_i=P(i\in s)$。
3. 估計量偏誤：

$$\operatorname{Bias}(\bar y)=E(\bar y)-\bar Y$$

4. 估計量均方誤差：

$$\operatorname{MSE}(\bar y) =E\left[(\bar y-\bar Y)^2\right] =\operatorname{Var}(\bar y)+\operatorname{Bias}(\bar y)^2$$

母體平均為

$$\bar Y=\frac{7+13+19+1}{4}=10.$$

相鄰關係為：

• 第 $1$ 區相鄰第 $2$、$3$ 區；
• 第 $2$ 區相鄰第 $1$、$4$ 區；
• 第 $3$ 區相鄰第 $1$、$4$ 區；
• 第 $4$ 區相鄰第 $2$、$3$ 區。

由於第一階段各區被選中的機率均為 $1/4$，且 $y_1=7,y_4=1$ 屬於 $y\le 10$；$y_2=13,y_3=19$ 屬於 $y>10$。

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解題方法

（一）樣本組合 $s=(2,3)$ 的機率

分別討論第一階段選取各區的情形。

• 第一階段選第 $1$ 區：$y_1=7\le10$，第二階段從第 $2,3,4$ 區中選一區，因此樣本必含第 $1$ 區，不可能為 $\{2,3\}$。
• 第一階段選第 $2$ 區：$y_2=13>10$，必選其相鄰的第 $1,4$ 區，樣本為 $\{1,2,4\}$。
• 第一階段選第 $3$ 區：$y_3=19>10$，必選其相鄰的第 $1,4$ 區，樣本為 $\{1,3,4\}$。
• 第一階段選第 $4$ 區：$y_4=1\le10$，第二階段從第 $1,2,3$ 區中選一區，因此樣本必含第 $4$ 區，不可能為 $\{2,3\}$。

因此：

$$P(s=\{2,3\})=0.$$

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（二）第 $4$ 區的抽樣包含機率

第 $4$ 區被包含於樣本的情形如下：

1. 第一階段直接選第 $4$ 區：

$$P(4\text{ 被包含})=\frac14.$$

2. 第一階段選第 $1$ 區：

因第 $1$ 區的街貓數為 $7\le10$，第二階段從第 $2,3,4$ 區中等機率選一區，因此選到第 $4$ 區的機率為

$$\frac14\cdot\frac13=\frac1{12}.$$

3. 第一階段選第 $2$ 區：

第 $4$ 區是第 $2$ 區的相鄰區，故必被包含：

$$P=\frac14.$$

4. 第一階段選第 $3$ 區：

第 $4$ 區是第 $3$ 區的相鄰區，故必被包含：

$$P=\frac14.$$

故第 $4$ 區的包含機率為

$$\pi_4 =\frac14+\frac1{12}+\frac14+\frac14 =\frac{10}{12} =\frac56.$$

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（三）$\bar y$ 的偏誤

先列出所有可能的樣本組合及其機率。

第一階段選第 $1$ 區

因 $y_1\le10$：

$$\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\}$$

各自機率為

$$\frac14\cdot\frac13=\frac1{12}.$$

第一階段選第 $4$ 區

因 $y_4\le10$：

$$\{4,1\},\{4,2\},\{4,3\}$$

各自機率為 $1/12$。其中 $\{1,4\}$ 可由兩種順序產生，故總機率為 $1/6$。

第一階段選第 $2$ 區

$$\{1,2,4\},\qquad P=\frac14.$$

第一階段選第 $3$ 區

$$\{1,3,4\},\qquad P=\frac14.$$

各樣本的觀察平均如下：

核心觀念

本題同時考查：

1. 有限母體簡單隨機抽樣不放回。
2. 比率估計量：當母體輔助變數總量已知，且輔助變數與研究變數具有高度關聯時使用。
3. 比率估計量的變異數估計。
4. 分層抽樣中，各層估計量與變異數的合併。
5. 95% 信賴區間：

$$\text{估計值}\pm 1.96\sqrt{\widehat{\operatorname{Var}}(\text{估計值})}$$

豬場全選，因此豬場沒有抽樣誤差；養雞場及農業戶則有抽樣誤差。

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（一）養雞場平均每場生產成本

1. 選擇估計量

已知康寧鄉共有 $N=10$ 戶養雞場，且已知全鄉雞隻在養總數為 $10,000$ 隻，因此母體平均每場雞隻數為

$$\bar X_U=\frac{10,000}{10}=1,000\text{ 隻}.$$

樣本資料為：

$$\sum x_i=500+1500+300+200=2500,$$ $$\bar x=\frac{2500}{4}=625,$$ $$\sum y_i=35+120+15+30=200,$$ $$\bar y=\frac{200}{4}=50.$$

由於已知雞隻總數，且生產成本通常與在養雞隻數具有關聯，採用比率估計量：

$$\hat{\bar Y}_R =\bar X_U\frac{\bar y}{\bar x} =1000\left(\frac{50}{625}\right) =80.$$

因此，養雞場平均每場 6 月生產成本估計為：

$$\boxed{80\text{ 萬元}}$$

2. 比率估計量的變異數

比率為

$$\hat R=\frac{\bar y}{\bar x}=\frac{50}{625}=0.08.$$

定義殘差：

$$e_i=y_i-\hat R x_i.$$

各樣本殘差為：

$$\begin{array}{c|c|c|c} x_i&y_i&e_i&e_i^2\\ \hline 500&35&-5&25\\ 1500&120&0&0\\ 300&15&-9&81\\ 200&30&14&196 \end{array}$$

因此

$$\sum e_i^2=302,$$ $$s_e^2=\frac{302}{4-1}=100.6667.$$

比率估計平均數的變異數估計為：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\bar Y}_R) = \left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{s_e^2}{n}.$$

代入 $N=10,n=4$：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\bar Y}_R) = \left(1-\frac{4}{10}\right) \frac{100.6667}{4} =15.1.$$

標準誤為：

$$SE=\sqrt{15.1}=3.8859.$$

95% 信賴區間：

$$80\pm1.96(3.8859) =80\pm7.616.$$

所以：

$$\boxed{72.38\text{ 萬元}\leq \bar Y\leq87.62\text{ 萬元}}$$

3. 下年度所需最小樣本數

希望 95% 最大抽樣誤差不超過 $d=6$ 萬元，因此要求：

$$1.96\sqrt{\left(1-\frac{n}{10}\right)\frac{100.6667}{n}} \leq 6.$$

有限母體下的樣本數公式為：

$$n= \frac{Nz^2s_e^2} {Nd^2+z^2s_e^2}.$$

代入：

$$n= \frac{10(1.96)^2(100.6667)} {10(6)^2+(1.96)^2(100.6667)}$$ $$= \frac{3867.21}{746.72} =5.18.$$

樣本數必須取整數且向上取整，因此：

$$\boxed{n=6\text{ 戶}}$$

解題技巧

本小題的關鍵是不要直接使用 $\bar y=50$。因為題目特別提供全鄉雞隻總數 $10,000$ 隻，這是明確提示應使用比率估計量。若直接使用樣本平均數，將浪費輔助資訊。

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（二）康寧鄉畜牧戶平均每場生產成本

1. 畜牧戶總數

豬場有 3 戶，養雞場有 10 戶，因此畜牧戶總數為：

$$N_L=3+10=13.$$

2. 畜牧業總生產成本估計

豬場全選，生產成本總和為：

$$300+450+150=900\text{ 萬元}.$$

養雞場總成本採比率估計：

$$\hat Y_{\text{雞}} = 10,000\left(\frac{200}{2500}\right) =800\text{ 萬元}.$$

因此畜牧業總生產成本估計為：

$$\hat Y_L=900+800=1700\text{ 萬元}.$$

畜牧戶平均每場生產成本為：

$$\hat{\bar Y}_L = \frac{1700}{13} =130.769.$$

所以：

$$\boxed{130.77\text{ 萬元／場}}$$

3. 信賴區間

豬場全選，沒有抽樣變異；變異數只來自養雞場。

養雞場總成本估計量的變異數為：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat Y_{\text{雞}}) = N^2\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\bar Y}_R) = 10^2(15.1) =1510.$$

畜牧戶平均成本估計量的變異數為：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\bar Y}_L) = \frac{1510}{13^2} =8.9349.$$

標準誤：

$$SE=\sqrt{8.9349}=2.9891.$$

95% 信賴區間：

$$130.769\pm1.96(2.9891) = 130.769\pm5.859.$$

因此：

核心觀念

本題重點在於：

1. 母體分成男、女兩個階層，且男女學生人數比例與樣本比例不同。
2. 男女兩組的贊成比例差異很大，因此估計全系比例時，不能直接忽略母體男女比例。
3. 使用分層估計量及不放回抽樣的有限母體修正。
4. 樣本配置不只要考慮母體比例，也應考慮各階層內的變異程度；變異較大的階層應配置較多樣本。

以下均以命題當年（民國110年）統計抽樣方法之公式計算。

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（一）全系贊成比例及其95%信賴區間

1. 選擇估計量

全系共有：

• 男學生：$N_1=40$
• 女學生：$N_2=200$
• 母體總數：$N=240$

因此男女母體權數為：

$$W_1=\frac{40}{240}=\frac16,\qquad W_2=\frac{200}{240}=\frac56$$

樣本中：

• 男學生30人，其中6人贊成
• 女學生30人，其中18人贊成

各階層樣本贊成比例為：

$$\hat p_1=\frac{6}{30}=0.2$$ $$\hat p_2=\frac{18}{30}=0.6$$

由於樣本男女比例為$1:1$，但母體男女比例為$1:5$，樣本配置並非按照母體比例配置。因此，估計全系比例時應採用加權的分層估計量：

$$\hat p_{st}=W_1\hat p_1+W_2\hat p_2$$

代入數值：

$$\hat p_{st} =\frac16(0.2)+\frac56(0.6) =0.0333+0.5 =0.5333$$

所以，龍江大學企業管理學系學生贊成增設性別友善廁所的比例估計為：

$$\boxed{\hat p_{st}=0.5333}$$

亦即約為$53.33\%$。

2. 為何不能直接使用$\frac{24}{60}$？

直接計算樣本比例為：

$$\frac{24}{60}=0.4$$

這個比例反映的是「目前這60位樣本學生」的贊成比例。可是樣本中男、女各占一半，與母體男生占$1/6$、女生占$5/6$不一致。

由於男學生贊成比例只有$0.2$，女學生贊成比例為$0.6$，男女意見差距明顯，樣本性別比例失衡會影響全系比例估計。因此應依母體男女比例加權。

例如加權後：

$$\frac16(0.2)+\frac56(0.6)=0.5333$$

而不是直接採用：

$$\frac{6+18}{30+30}=0.4$$

本題採用$\hat p_{st}$，是因為已知各性別在母體中的人數，且樣本男女比例與母體比例不同；此估計量能正確反映兩性別在全系所占的實際權重。

3. 信賴區間

分層比例估計量的變異數估計為：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_{st}) = \sum_{h=1}^{2} W_h^2 \left(1-\frac{n_h}{N_h}\right) \frac{s_h^2}{n_h}$$

其中，二元變數的樣本變異數為：

$$s_h^2=\frac{n_h}{n_h-1}\hat p_h(1-\hat p_h)$$

男學生階層：

$$s_1^2 = \frac{30}{29}(0.2)(0.8) = 0.16552$$

女學生階層：

$$s_2^2 = \frac{30}{29}(0.6)(0.4) = 0.24828$$

有限母體修正因子為：

$$1-\frac{n_1}{N_1} = 1-\frac{30}{40} =0.25$$ $$1-\frac{n_2}{N_2} = 1-\frac{30}{200} =0.85$$

因此：

$$\begin{aligned} \widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_{st}) &= \left(\frac16\right)^2(0.25) \frac{0.16552}{30} + \left(\frac56\right)^2(0.85) \frac{0.24828}{30}\\ &\approx 0.00455 \end{aligned}$$

標準誤為：

$$SE(\hat p_{st}) = \sqrt{0.00455} \approx 0.0675$$

95%信賴區間為：

$$\hat p_{st} \pm Z_{0.025}SE(\hat p_{st})$$ $$=0.5333\pm1.96(0.0675)$$

核心觀念

本題考查「雙重抽樣（two-phase sampling）」及「迴歸估計法」。

• 第一階段抽取 $n_1=10$ 間商店，取得成本較低的店長估計營業額 $X$。
• 第二階段由第一階段樣本中再抽取 $n_2=5$ 間，取得較可靠的營業報表實際營業額 $Y$。
• 全市便利商店總數為 $N=50$。
• 以命題當年（民國 110 年）統計抽樣公式為準。

雙重抽樣迴歸估計量為

$$\hat{\bar Y}_{reg} =\bar y_2+b(\bar x_1-\bar x_2),$$

其中

$$b=\frac{s_{xy,2}}{s_{x,2}^2}.$$

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（一）平均日營業額及其 95% 信賴區間

1. 計算第一階段估計營業額平均數

第一階段資料平均數已知為

$$\bar x_1=6.$$

第二階段 5 間商店的估計營業額為

$$3,\ 6,\ 7,\ 8,\ 4,$$

因此

$$\bar x_2=\frac{3+6+7+8+4}{5}=5.6.$$

第二階段實際報表營業額為

$$5,\ 9,\ 9,\ 11,\ 8,$$

故

$$\bar y_2=\frac{5+9+9+11+8}{5}=8.4.$$

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2. 計算迴歸係數 $b$

以第二階段資料計算：

商店	$x_i-\bar x_2$	$y_i-\bar y_2$	乘積	$(x_i-\bar x_2)^2$
5	$-2.6$	$-3.4$	$8.84$	$6.76$
17	$0.4$	$0.6$	$0.24$	$0.16$
21	$1.4$	$0.6$	$0.84$	$1.96$
32	$2.4$	$2.6$	$6.24$	$5.76$
42	$-1.6$	$-0.4$	$0.64$	$2.56$
合計			$16.8$	$17.2$

因此

$$b=\frac{16.8}{17.2} =\frac{42}{43} \approx 0.9767.$$

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3. 求雙重抽樣迴歸估計量

$$\begin{aligned} \hat{\bar Y}_{reg} &=\bar y_2+b(\bar x_1-\bar x_2)\\ &=8.4+0.9767(6-5.6)\\ &=8.4+0.3907\\ &\approx 8.7907. \end{aligned}$$

所以三民市便利商店的平均日營業額估計為

$$\boxed{8.79\text{ 萬元}}.$$

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4. 計算估計變異數

第二階段的殘差變異數為

$$s_e^2=s_y^2-\frac{s_{xy}^2}{s_x^2}.$$

由上表可得

$$s_y^2=\frac{19.2}{4}=4.8,$$ $$s_x^2=\frac{17.2}{4}=4.3, \qquad s_{xy}=\frac{16.8}{4}=4.2.$$

因此

$$\begin{aligned} s_e^2 &=4.8-\frac{(4.2)^2}{4.3}\\ &=4.8-\frac{17.64}{4.3}\\ &\approx 0.6977. \end{aligned}$$

第一階段 $X$ 的樣本變異數題目已給為

$$s_{x,1}^2=2.67.$$

雙重抽樣迴歸估計量的變異數估計為

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\bar Y}_{reg}) = \left(\frac{1}{n_2}-\frac{1}{N}\right)s_e^2 + \left(\frac{1}{n_1}-\frac{1}{N}\right)b^2s_{x,1}^2.$$

代入 $N=50,\ n_1=10,\ n_2=5$：