110 高普考高考三級 統計 迴歸分析 考古題詳解

某地區房屋成交紀錄包括房價及坪數等資訊共 $70$ 筆，以坪數為預測變數，進行簡單線性迴歸以預測房價。其殘差顯示變異數並非常數，如圖 1-1。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖 1-1 轉換前殘差圖】

將資料依房價排序後，每 $5$ 筆計算房價平均數及標準差，並分別取其自然對數（LN）值，共 $14$ 筆，其敘述性統計及相關係數如下。

表 1-1a 敘述統計：

表 1-1b 相關：

註：$^{**}$ 在顯著水準為 $0.01$ 時（雙尾），相關顯著。

運用上述資訊，以 Box-Cox 轉換函數進行房價轉換後，以坪數預測房價轉換的殘差，如圖 1-2。迴歸模式的變異數分析表及係數預測如下。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖 1-2 轉換後殘差圖】

表 1-2a ANOVA：

$a.$ 依變數：房價轉換。
$b.$ 預測變數：（常數）、房子坪數。

表 1-2b 係數：

$a.$ 依變數：房價轉換。

（一）請運用表 1-1a、表 1-1b 的資訊，說明將使用的統計方法，並提出您建議的 Box-Cox 轉換函數為何？（$20$ 分）

（二）轉換後的模式適切性，有哪些假設需要驗證？圖 1-2 可以驗證哪一項假設？（$10$ 分）

（三）假設轉換後的模式適切性完全符合，請運用表 1-2a、表 1-2b 的資訊，寫出房子坪數對房價轉換的預測模式，並依照您在第（一）題的建議，改寫出房子坪數對於房價的預測模式，並說明坪數每增加一單位對房價的影響。（$10$ 分）

某研究團隊隨機觀察兩歲內男童的月齡（Month）與體重（weight）的數據共 $125$ 筆，$0$～$24$ 月齡各 $5$ 筆。月齡與體重的散布圖如下。

研究團隊考慮以月齡的 $4$ 次多項式迴歸模式來預測體重。預測變數為中心化月齡：

$x=\mathrm{Month\_c}=\mathrm{Month}-\mathrm{mean}(\mathrm{Month})$

考慮一～四次多項式模式如下：

$\mathrm{M1:\ weight}=\beta_0+\beta_1x+\varepsilon$

$\mathrm{M2:\ weight}=\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2+\varepsilon$

$\mathrm{M3:\ weight}=\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2+\beta_3x^3+\varepsilon$

$\mathrm{M4:\ weight}=\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2+\beta_3x^3+\beta_4x^4+\varepsilon$

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：月齡與體重散布圖】

各模式的變異數分析表如下：

各模式之係數如下：

（一）在 $5\%$ 的顯著水準下，請依序檢定下列虛無假設：

$H_{02}:\beta_2=\beta_3=\beta_4=0$

$H_{03}:\beta_3=\beta_4=0$

$H_{04}:\beta_4=0$

直到不拒絕 $H_{0i}$，以確定多項式迴歸模式的最高次為何。（$30$ 分）

提示：若拒絕 $H_{0i}$，對所有 $i\leq a$，且不拒絕 $H_{0i}$，對所有 $i>a$，則多項式模式最高次為 $a$。

（二）請根據上述結果寫出多項式預測模式，並預測月齡為 $10$ 月的男童體重。假設月齡為 $10$ 月的男童體重估計變異數為：

$s^2(\hat{Y})=0.298$

請求出該男童體重的 $95\%$ 預測區間。（$15$ 分）

（三）由於每個月齡都有 $5$ 筆資料，純誤差平方和（pure error sum of square，SSPE）為 $25.54$，請根據（一）的結果，在 $5\%$ 的顯著水準下，完成該模式適合度檢定（test for lack of fit）。（$15$ 分）