112 高普考高考三級 統計 迴歸分析 考古題詳解

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的下列公式。令

$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \bar{y}=\frac{\sum y_i}{n}$

$S_{xx}=\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n}$

$S_{yy}=\sum y_i^2-\frac{(\sum y_i)^2}{n}$

$S_{xy}=\sum x_i y_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}$

則相關係數為

$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$

斜率與截距估計值為

$\hat{B}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{A}=\bar{y}-\hat{B}\bar{x}$

簡單線性迴歸只有一個解釋變數時，決定係數為

$R^2=r^2=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}$

四組資料皆有 $n=11$，且

$\bar{x}=\frac{99}{11}=9,\qquad S_{xx}=1001-\frac{99^2}{11}=110$

（一）相關係數

各組資料的計算結果如下：

例如第一組：

$S_{yy}=660.1727-\frac{82.51^2}{11}=41.2726909$

$S_{xy}=797.60-\frac{99(82.51)}{11}=55.01$

因此

$r_1=\frac{55.01}{\sqrt{110(41.2726909)}}=0.8164$

由小到大排序為

$r_2<r_3<r_1<r_4$

即

$0.8162<0.8163<0.8164<0.8165$

（二）決定係數

利用

$R^2=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}$

各組結果如下：

例如第一組：

$R21=\frac{55.01^2}{110(41.2726909)}=0.6665$

由小到大排序為

$R22<R23<R21<R24$

即

$0.6662<0.6663<0.6665<0.6667$

（三）截距估計值

由

$\hat{A}=\bar{y}-\hat{B}\bar{x}$

且 $\bar{x}=9$。

第一組

$B_1=\frac{55.01}{110}=0.5000909$

$A_1=\frac{82.51}{11}-9(0.5000909)=3.0000909\approx 3.0001$

第二組

$B_2=\frac{55.00}{110}=0.5$

$A_2=\frac{82.51}{11}-9(0.5)=3.0009091\approx 3.0009$

第三組

$B_3=\frac{54.97}{110}=0.4997273$

$A_3=\frac{82.50}{11}-9(0.4997273)=3.0024545\approx 3.0025$

第四組

$B_4=\frac{54.99}{110}=0.4999091$

$A_4=\frac{82.51}{11}-9(0.4999091)=3.0017273\approx 3.0017$

由小到大排序為