112 高普考高考三級 統計 統計學 考古題詳解

核心觀念

條件分配 $Y\mid X=x\sim U(0,x)$ 表示：給定 $X=x$ 時，$Y$ 在 $0<y<x$ 上均勻分布，因此條件密度為 $1/x$。再與 $X\sim U(0,1)$ 的邊際密度相乘，即可得到聯合密度。

本題也用到條件期望與條件變異數的全期望公式、全變異數公式，以及共變異數與相關係數的定義。

（一）求 $(X,Y)$ 的聯合密度

因為 $X\sim U(0,1)$，

給定 $X=x$ 時，$Y\sim U(0,x)$，故

由聯合密度的乘法公式，

因此

支持區域是 $0<y<x<1$，即單位正方形中 $y=x$ 下方的三角形區域。

（二）求 $Y$ 的機率密度

對 $x$ 積分，並依支持區域確定積分範圍。固定 $y$ 時，必須有 $y<x<1$，且 $0<y<1$，所以

故

（三）求期望、變異數、共變異數與相關係數

給定 $X=x$ 時，$Y\sim U(0,x)$，均勻分配的條件期望與條件變異數為

又因為 $X\sim U(0,1)$，

1. $E(Y)$

由全期望公式，

2. $\operatorname{Var}(Y)$

先由全期望公式求二次動差。對 $Y\mid X=x\sim U(0,x)$，

核心觀念

母體為常態分配且變異數已知，故檢定平均數時使用標準常態檢定統計量：

由於對立假設為 $H_1:\mu<30$，這是左尾檢定。在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，標準常態分配的左尾臨界值為 $z_{0.05}=-1.645$，因此拒絕域為

檢定力是當真實平均數為指定值時，拒絕虛無假設的機率。

解題方法

在虛無假設 $H_0:\mu=30$ 下，$\bar X$ 的標準誤為 $5/\sqrt n$。將拒絕域改寫成樣本平均數的條件：

當真實平均數為 $\mu=26.7$ 時，$\bar X\sim N(26.7,25/n)$。因此檢定力為

核心觀念

本題比較三種植物荷爾蒙的平均新芽長度，使用「單因子變異數分析」（one-way ANOVA）。

設三種荷爾蒙的母體平均數分別為 $\mu_A,\mu_B,\mu_C$，以組間變異反映不同荷爾蒙平均效果的差異，以組內變異反映實驗誤差。

基本分解為：

其中：

• $SS_T$：總平方和
• $SS_B$：組間平方和
• $SS_W$：組內平方和

（一）ANOVA 表及計算

1. 各組平均數與總平均數

A 組：

B 組：

C 組：

總樣本平均數：

2. 組間平方和

因此：

採用未四捨五入的總平均數計算，得到：

亦可利用計算公式：

其中：

故：

3. 組內平方和

A 組：

B 組：

C 組：

所以：

4. 總平方和

自由度：

均方：

核心觀念

符號檢定（sign test）以觀測值高於或低於指定基準的方向作為資訊，不使用觀測值與基準的差距大小。設母體中位數為 $m$，檢定其是否顯著高於 $2.5$ 萬小時。題目數據的單位是 $10{,}000$ 小時，因此基準值 $2.5$ 萬小時寫成 $2.5$。

在母體分布連續時，若虛無假設 $H_0:m=2.5$ 成立，每個樣本高於 $2.5$ 的機率為 $1/2$；樣本中等於 $2.5$ 的觀測值不計入符號統計量。本題沒有等於 $2.5$ 的觀測值。

解題方法

採用單尾符號檢定：

令 $S$ 為樣本中大於 $2.5$ 的觀測個數。在 $H_0$ 下，

逐一比較樣本與 $2.5$：