112 高普考高考三級 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題的核心在於輔助資訊（Auxiliary Information）的多寡與取得時機對抽樣設計的影響，以及如何依據母體資訊的完整程度，選擇最適的「分層推估架構」：

1. 資訊掌握層次與抽樣設計之對應：

• 完全已知各層大小及名冊 $\implies$ 分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）：抽樣前即可將母體單位歸入各層，控制各層樣本數 $n_h$。
• 僅知各層比例，單位歸屬抽樣前未知 $\implies$ 事後分層抽樣（Post-stratification）：抽樣前無法分層，抽樣後調查層別標籤，利用已知的母體層比例 $W_h$ 進行加權校正。
• 完全無層別資訊（母體比例與單位歸屬均未知） $\implies$ 雙重抽樣／二相抽樣之分層抽樣（Two-Phase / Double Sampling for Stratification）：第一階段抽大樣本獲取層別比例估計值，第二階段再依層別抽取副樣本調查目標變數。

2. 母體總量（Total）之推估： 題目欲推估的是工業園區 AI 人才「總需求人數（$Y$）」，因此估計量為總量估計量 $\hat{Y}$（母體平均數估計量乘上 $N$），變異數估計量則為 $\widehat{V}(\hat{Y}) = N^2 \widehat{V}(\hat{\bar{Y}})$。
3. 變異數推導與估計核心（全變異數法則，Eve's Law）：

• 當樣本大小為隨機變數時（如事後分層之 $n_h$、雙重抽樣之 $n'_h$），利用條件期望值與變異數分解公式： $V(\hat{Y}) = V_1[E_2(\hat{Y} \mid \text{Phase 1})] + E_1[V_2(\hat{Y} \mid \text{Phase 1})]$

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解題方法

(一) 說明三種抽樣設計之抽樣方法為何

1. 設計 (1)：分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling, StRS）

• 方法說明：在抽樣前，母體名冊已具備各業者的營業規模資訊，母體被互斥且周延地劃分為 $L$ 個層，各層母體大小 $N_1,\ldots,N_L$ 完全已知（$\sum_{h=1}^L N_h = N$）。調查者在各層內獨立抽取大小為 $n_1,\ldots,n_L$ 的簡單隨機樣本（SRS）。
• 特點：樣本數 $n_h$ 為調查者事先固定的常數，能有效確保各層均有代表性樣本，並消除層間變異。

2. 設計 (2)：事後分層抽樣（Post-stratification 或 Stratification after Selection）

• 方法說明：母體名冊中無各別業者的規模註記，無法在抽樣前將業者分類，但母體整體的規模比例 $W_1,\ldots,W_L$（其中 $W_h = N_h/N$）由外部次級資料（如政府產經統計、經濟普查）已知。調查者先由 $N$ 家業者抽取大小為 $n$ 的簡單隨機樣本，於問卷中同時調查「規模」與「AI需求」，調查完成後將樣本依規模分成 $L$ 層（各層樣本數為 $n_h$，滿足 $\sum_{h=1}^L n_h = n$），再利用已知母體比例 $W_h$ 進行加權估計。
• 特點：各層樣本數 $n_h$ 為隨機變數（服從超幾何或多元超幾何分布）。當 $n$ 充分大時，其估計效率接近比例配置的分層隨機抽樣。

3. 設計 (3)：雙重抽樣之分層抽樣（Two-Phase Sampling for Stratification 或 Double Sampling for Stratification）

• 方法說明：母體完全缺乏營業規模的資訊（既無名冊標籤，亦無母體層比例 $W_h$）。調查採兩階段進行：
• 第一相（第一階段）：由母體 $N$ 家抽取一個較大且成本較低之簡單隨機樣本 $n'$，僅調查業者的「營業規模」，藉此將 $n'$ 分類至 $L$ 層（各層家數為 $n'_1,\ldots,n'_L$），用以估計母體層比例 $w_h = n'_h / n'$。
• 第二相（第二階段）：由第一相的各層 $n'_h$ 家業者中，分別抽取較小且調查成本較高之簡單隨機副樣本 $n_h$（$n_h \le n'_h$），正式調查目標變數「AI 人才需求狀況」。
• 特點：層權數 $w_h$ 係由第一相樣本推估而得之隨機變數，因此其推估變異包含「層比例估計變異（第一相）」與「層內抽樣變異（第二相）」。

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(二) 列出三種抽樣方法對園區 AI 總需求人數（$Y$）之估計量與該估計量之變異數的估計量

【符號定義】

• $N$：園區業者總家數；$N_h$：第 $h$ 層業者家數；$W_h = \frac{N_h}{N}$：第 $h$ 層母體權數。
• $y_{hi}$：第 $h$ 層第 $i$ 家業者的 AI 人才需求人數。
• $Y = \sum_{h=1}^L \sum_{i=1}^{N_h} y_{hi}$：園區 AI 人才總需求人數。
• $\bar{y}_h = \frac{1}{n_h}\sum_{i=1}^{n_h} y_{hi}$：第 $h$ 層樣本平均需求人數。
• $s_h^2 = \frac{1}{n_h - 1}\sum_{i=1}^{n_h} (y_{hi} - \bar{y}_h)^2$：第 $h$ 層樣本變異數。

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1. 分層隨機抽樣（設計 1）

• 總需求人數之估計量： $\hat{Y}_{st} = \sum_{h=1}^L N_h \bar{y}_h = N \sum_{h=1}^L W_h \bar{y}_h$

• 估計量之變異數的估計量： $\widehat{V}(\hat{Y}_{st}) = \sum_{h=1}^L N_h (N_h - n_h) \frac{s_h^2}{n_h} = N^2 \sum_{h=1}^L W_h^2 \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right) \frac{s_h^2}{n_h}$

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2. 事後分層抽樣（設計 2）

• 總需求人數之估計量： $\hat{Y}_{post} = N \sum_{h=1}^L W_h \bar{y}_h$ (註：此處假定樣本數 $n$ 夠大，使得每層均有樣本落入，即 $n_h \ge 1$)

• 估計量之變異數的估計量： 在事後分層中，各層樣本數 $n_h$ 為隨機變數。統計實務與考試評分標準上有兩種常見寫法，兩者皆為正確定案公式：

核心觀念

本題評量**集體大小不相等（Unequal cluster sizes）**情境下的一階段與二階段集體抽樣理論，為公職高普考「抽樣方法」的經典高頻題型。

1. 基本參數設定：

• 母體集體數（村里數）：$N = 20$
• 母體總元素數（總養雞戶數）：$M = 4,000$
• 母體平均每集體大小：$\bar{M} = \frac{M}{N} = \frac{4,000}{20} = 200$
• 抽出的集體樣本數：$n = 3$
• 第一階段抽樣比：$f_1 = \frac{n}{N} = \frac{3}{20} = 0.15$

2. 一階段集體抽樣之集體大小比率估計量（Ratio-to-size Estimator）： 當各集體大小 $M_i$ 不等時，母體元素平均數 $\bar{Y}$ 的比率估計量定義為樣本總和除以樣本總戶數： $\bar{y}_R = \frac{\sum_{i=1}^n y_i}{\sum_{i=1}^n M_i} = \frac{\sum_{i=1}^n M_i \bar{y}_i}{\sum_{i=1}^n M_i}$ 其估計變異數為： $\widehat{V}(\bar{y}_R) = \frac{1 - f}{n \bar{M}^2} s_R^2 = \frac{1 - f}{n \bar{M}^2} \left[ \frac{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y}_R M_i)^2}{n - 1} \right]$ 其中標準誤為 $\widehat{SE}(\bar{y}_R) = \sqrt{\widehat{V}(\bar{y}_R)}$。

3. 二階段集體抽樣之抽樣單位與不偏估計量（Unbiased Estimator）：

• 抽樣單位階層：第一階段抽樣單位為初級抽樣單位（Primary Sampling Unit, PSU）；第二階段抽樣單位為次級抽樣單位（Secondary Sampling Unit, SSU）。
• 不偏估計量：母體總和的不偏估計量為 $\hat{Y} = \frac{N}{n} \sum_{i=1}^n \hat{Y}_i = \frac{N}{n} \sum_{i=1}^n M_i \bar{y}_i$。母體平均每戶所得之不偏估計量為： $\hat{\bar{Y}} = \frac{\hat{Y}}{M} = \frac{1}{n \bar{M}} \sum_{i=1}^n M_i \bar{y}_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n u_i \quad \left(\text{令 } u_i = \frac{M_i}{\bar{M}} \bar{y}_i\right)$
• 估計量變異數：由二階段抽樣之條件變異數公式，不偏估計量之變異數估計包含「群體間變異（第一階段）」與「群體內變異（第二階段）」兩部分： $\widehat{V}(\hat{\bar{Y}}) = \frac{1 - f_1}{n \bar{M}^2} s_b^2 + \frac{1}{n N \bar{M}^2} \sum_{i=1}^n M_i^2 \left(1 - \frac{m_i}{M_i}\right) \frac{s_i^2}{m_i}$ 其中 $s_b^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (\hat{Y}_i - \bar{\hat{Y}})^2$，或寫為 $\frac{1 - f_1}{n} s_u^2$（其中 $s_u^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (u_i - \bar{u})^2$）。

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解題方法

(一) 一階段集體抽樣：集體大小比率估計量及其標準誤

1. 計算各抽中村里之總所得 $y_i$：

• 村里 1：$y_1 = M_1 \bar{y}_1 = 150 \times 4 = 600$（百萬元）
• 村里 2：$y_2 = M_2 \bar{y}_2 = 200 \times 8 = 1,600$（百萬元）
• 村里 3：$y_3 = M_3 \bar{y}_3 = 250 \times 5.6 = 1,400$（百萬元）

2. 計算比率估計量 $\bar{y}_R$： $\sum_{i=1}^3 M_i = 150 + 200 + 250 = 600$ $\sum_{i=1}^3 y_i = 600 + 1,600 + 1,400 = 3,600$ $\bar{y}_R = \frac{\sum_{i=1}^3 y_i}{\sum_{i=1}^3 M_i} = \frac{3,600}{600} = 6 \text{（百萬元）}$

3. 計算比率估計量的樣本變異數 $s_R^2$： 計算殘差 $e_i = y_i - \bar{y}_R M_i$：

• $e_1 = 600 - 6 \times 150 = 600 - 900 = -300$
• $e_2 = 1,600 - 6 \times 200 = 1,600 - 1,200 = +400$
• $e_3 = 1,400 - 6 \times 250 = 1,400 - 1,500 = -100$ （驗算：$\sum_{i=1}^3 e_i = -300 + 400 - 100 = 0$）

殘差平方和為： $\sum_{i=1}^3 (y_i - \bar{y}_R M_i)^2 = (-300)^2 + (400)^2 + (-100)^2 = 90,000 + 160,000 + 10,000 = 260,000$ $s_R^2 = \frac{\sum_{i=1}^3 (y_i - \bar{y}_R M_i)^2}{n - 1} = \frac{260,000}{3 - 1} = 130,000$

4. 計算 $\bar{y}_R$ 之估計變異數與標準誤： 抽樣比 $f = \frac{n}{N} = \frac{3}{20} = 0.15 \implies 1 - f = 0.85 = \frac{17}{20}$，且 $\bar{M} = 200$： $\widehat{V}(\bar{y}_R) = \frac{1 - f}{n \bar{M}^2} s_R^2 = \frac{17/20}{3 \times 200^2} \times 130,000 = \frac{17}{2,400,000} \times 130,000 = \frac{221}{240} \approx 0.9208$ $\widehat{SE}(\bar{y}_R) = \sqrt{\widehat{V}(\bar{y}_R)} = \sqrt{\frac{221}{240}} \approx 0.9596 \text{（百萬元）}$

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(二) 二階段集體抽樣

1. 第一階段與第二階段抽樣單位

• 第一階段抽樣單位（Primary Sampling Unit, PSU）：村里（cluster）。
• 第二階段抽樣單位（Secondary Sampling Unit, SSU）：養雞戶（farm / household）。

2. 不偏估計量及其標準誤

1. 計算母體平均每戶年所得之不偏估計量 $\hat{\bar{Y}}$： 各抽中村里之總所得估計量 $\hat{Y}_i = M_i \bar{y}_i$：

核心觀念

本題評量**分層雙重抽樣（Double Sampling for Stratification / Two-phase Sampling for Stratification）**的點估計、變異數估計與預算限制下的最佳抽樣設計（Optimum Allocation）。

1. 抽樣架構與估計量：

• 第一階段（第一重樣本）：自大小為 $N$ 的母體中，以簡單隨機抽樣（SRSWOR）抽出 $n'$ 戶，僅調查輔助變數（養殖型態），用以估計各層權重 $W_h = N_h/N$，其無偏估計量為： $w'_h = \frac{n'_h}{n'}$
• 第二階段（第二重樣本）：在第一階段各層樣本 $n'_h$ 戶中，分別以簡單隨機抽樣抽出 $n_h$ 戶（抽樣比率為 $\nu_h = n_h / n'_h$），調查主要目標變數 $Y$（年營運成本）。
• 母體平均數之估計量： $\bar{y}_{st}' = \sum_{h=1}^L w'_h \bar{y}_h$ 其中 $\bar{y}_h = \frac{1}{n_h}\sum_{j=1}^{n_h} y_{hj}$ 為第 $h$ 層第二重樣本之平均數。$\bar{y}_{st}'$ 為母體平均數 $\bar{Y}$ 的不偏估計量。

2. 估計量變異數與估計式： 依據全變異數定理（Law of Total Variance），固定各層抽樣比率 $\nu_h = \nu$ 時，$\bar{y}_{st}'$ 的理論變異數為： $V(\bar{y}_{st}') = \left(\frac{1}{n'} - \frac{1}{N}\right)S^2 + \sum_{h=1}^L \frac{W_h S_h^2}{n'} \left(\frac{1}{\nu_h} - 1\right) = \left(\frac{1}{n'} - \frac{1}{N}\right)S^2 + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n'}\right)\sum_{h=1}^L W_h S_h^2$ 其中 $S^2$ 為母體總變異數，$S_h^2$ 為第 $h$ 層層內變異數。 樣本變異數估計式 $v(\bar{y}_{st}')$ 則以樣本統計量 $s^2$、$w'_h$、$s_h^2$ 代替母體參數： $v(\bar{y}_{st}') = \left(\frac{1}{n'} - \frac{1}{N}\right)s^2 + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n'}\right)\sum_{h=1}^L w'_h s_h^2$ 標準誤（Standard Error, $\text{SE}$）即為 $\sqrt{v(\bar{y}_{st}')}$。

3. 最佳抽樣設計（Optimum Double Sample Plan）： 總調查成本函數為： $C = c' n' + \sum_{h=1}^L c_h E(n_h) = c' n' + \sum_{h=1}^L c_h n_h$ 變異數可拆解為層間變異與層內變異： $V(\bar{y}_{st}') = \frac{S_b^2}{n'} + \sum_{h=1}^L \frac{W_h^2 S_h^2}{n_h} - \frac{S^2}{N}$ 其中 $S_b^2 = \sum_{h=1}^L W_h(\bar{Y}_h - \bar{Y})^2 \approx S^2 - \sum_{h=1}^L W_h S_h^2$ 為層間變異數。 在固定總預算 $C$ 下，欲使 $V(\bar{y}_{st}')$ 最小化，利用柯西－史瓦茲不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），最佳樣本配置比例為： $n' \propto \frac{S_b}{\sqrt{c'}}, \quad n_h \propto \frac{W_h S_h}{\sqrt{c_h}}$ 由此可得最佳抽樣比率 $\nu_h = \frac{n_h}{n' W_h} = \frac{S_h}{S_b}\sqrt{\frac{c'}{c_h}}$，並決定最適樣本規模 $n'$ 與 $n_h$。

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解題方法

(一) 估計該區域養殖漁戶平均年營運成本及估計量之標準誤

1. 樣本資訊整理：

• 母體總戶數：$N = 800$。
• 第一重樣本總數：$n' = 500$。
• 第 I 層（漁電共生）：$n'_1 = 100 \implies w'_1 = \frac{100}{500} = 0.2$。
• 第 II 層（非漁電共生）：$n'_2 = 400 \implies w'_2 = \frac{400}{500} = 0.8$。
• 第二重樣本總數：$n = 100$（各層抽出 $20\%$，即 $\nu = 0.2$）。
• 第 I 層：$n_1 = 20$，$\bar{y}_1 = 120$，標準差 $s_1 = 100$。
• 第 II 層：$n_2 = 80$，$\bar{y}_2 = 50$，標準差 $s_2 = 60$。
• 表格合計列中數值「75」即為題目第 (二) 小題所提及之全體樣本標準差 $s = 75$。

2. 估計母體平均年營運成本（$\hat{\bar{Y}}$）： $\hat{\bar{Y}} = \bar{y}_{st}' = \sum_{h=1}^2 w'_h \bar{y}_h = w'_1 \bar{y}_1 + w'_2 \bar{y}_2 = (0.2)(120) + (0.8)(50) = 24 + 40 = 64 \text{（十萬元）}$

註：若題目符號 $Y$ 意指母體總營運成本，則其估計量為 $\hat{Y} = N \bar{y}_{st}' = 800 \times 64 = 51,200$（十萬元）。題幹文字明確註明「平均年營運成本」，故核心答案為平均數 $64$ 十萬元。

3. 估計量之變異數與標準誤： 先計算各層層內變異數之加權和： $\sum_{h=1}^2 w'_h s_h^2 = (0.2)(100^2) + (0.8)(60^2) = (0.2)(10000) + (0.8)(3600) = 2000 + 2880 = 4880$ 代入二重抽樣變異數估計式（全體樣本標準差 $s = 75 \implies s^2 = 5625$）： $v(\bar{y}_{st}') = \left(\frac{1}{n'} - \frac{1}{N}\right)s^2 + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n'}\right)\sum_{h=1}^2 w'_h s_h^2$ $v(\bar{y}_{st}') = \left(\frac{1}{500} - \frac{1}{800}\right)(5625) + \left(\frac{1}{100} - \frac{1}{500}\right)(4880)$ $= \left(\frac{8 - 5}{4000}\right)(5625) + (0.01 - 0.002)(4880)$ $= \left(\frac{3}{4000}\right)(5625) + (0.008)(4880) = 4.21875 + 39.04 = 43.25875$ 計算標準誤（$\text{SE}$）： $\text{SE}(\bar{y}_{st}') = \sqrt{v(\bar{y}_{st}')} = \sqrt{43.25875} \approx 6.577 \text{（十萬元）}$

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(二) 最佳抽樣設計與對應之估計量變異數

1. 決定分層雙重抽樣的最佳抽樣設計（求 $n'$ 與 $n_h$）：

• 調查成本參數：$c' = 9$，$c_1 = c_2 = c = 400$，總預算 $C = 44,500$。
• 成本方程式：$C = 9n' + 400(n_1 + n_2) = 44,500$。
• 參數代換（以第一階段與各層樣本資訊取代母體參數）：
• 權重：$W_1 = w'_1 = 0.2$，$W_2 = w'_2 = 0.8$。
• 各層標準差：$S_1 = s_1 = 100$，$S_2 = s_2 = 60$。
• 層間變異數：

核心觀念

本題評量**分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）架構下，結合輔助變數（Auxiliary Variable）之參數估計、變異數估計以及相對效率（Relative Efficiency）**之比較。核心公式與觀念如下：

1. 基本符號與母體權數：

• 母體總家數 $N = N_1 + N_2 = 1,500 + 500 = 2,000$。
• 各層母體權數：$W_1 = \frac{N_1}{N} = \frac{1,500}{2,000} = 0.75$；$W_2 = \frac{N_2}{N} = \frac{500}{2,000} = 0.25$。
• 各層樣本數：$n_1 = 10, n_2 = 10$，總樣本數 $n = 20$。
• 各層抽樣率：$f_1 = \frac{10}{1,500} = \frac{1}{150}$；$f_2 = \frac{10}{500} = \frac{1}{50}$；全體抽樣率 $f = \frac{20}{2,000} = 0.01$。
• 輔助變數 $x$（2021 年）之母體平均數： $\bar{X} = W_1 \bar{X}_1 + W_2 \bar{X}_2 = 0.75(220) + 0.25(140) = 165 + 35 = 200$

2. 分層隨機抽樣之簡單均數估計量（Mean per unit, $\bar{y}_{st}$）：

• 點估計量：$\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^L W_h \bar{y}_h$
• 估計變異數：$\widehat{\text{Var}}(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^L W_h^2 \left(1 - f_h\right) \frac{s_{yh}^2}{n_h}$

3. 分開比率估計量（Separate Ratio Estimator, $\bar{y}_{Rs}$）：

• 適用於各層比率 $R_h = \frac{Y_h}{X_h}$ 差異顯著時，先在各層分別估計比率，再進行加權。
• 點估計量：$\bar{y}_{Rs} = \sum_{h=1}^L W_h \hat{R}_h \bar{X}_h$，其中 $\hat{R}_h = \frac{\bar{y}_h}{\bar{x}_h}$。
• 估計變異數（大樣本近似）： $\widehat{\text{Var}}(\bar{y}_{Rs}) = \sum_{h=1}^L W_h^2 \left(1 - f_h\right) \frac{s_{eh}^2}{n_h}$ 其中各層殘差樣本變異數為：$s_{eh}^2 = s_{yh}^2 - 2\hat{R}_h s_{xyh} + \hat{R}_h^2 s_{xh}^2$。

4. 混合比率估計量（Combined Ratio Estimator, $\bar{y}_{Rc}$）：

• 適用於各層比率差異不大，或各層樣本數較小為避免分層比率估計量累積偏誤時，先以分層均數估計全體總比率。
• 點估計量：$\bar{y}_{Rc} = \hat{R}_c \bar{X} = \frac{\bar{y}_{st}}{\bar{x}_{st}} \bar{X}$，其中 $\bar{x}_{st} = \sum_{h=1}^L W_h \bar{x}_h$。
• 估計變異數（大樣本近似）： $\widehat{\text{Var}}(\bar{y}_{Rc}) = \sum_{h=1}^L W_h^2 \left(1 - f_h\right) \frac{s_{ech}^2}{n_h}$ 其中各層對綜合比率之殘差樣本變異數為：$s_{ech}^2 = s_{yh}^2 - 2\hat{R}_c s_{xyh} + \hat{R}_c^2 s_{xh}^2$。

5. 相對效率（Relative Efficiency, RE）：

• 以未分層之簡單隨機抽樣均數估計量 $\bar{y}$ 作為基準，估計量 $\hat{\theta}$ 對 $\bar{y}$ 之相對效率定義為變異數反比： $\text{RE}(\hat{\theta}, \bar{y}) = \frac{\widehat{\text{Var}}(\bar{y})}{\widehat{\text{Var}}(\hat{\theta})}$
• 若 $\text{RE} > 1$（或 $> 100\%$），表示 $\hat{\theta}$ 比 $\bar{y}$ 更具精確度。

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解題方法與詳細步驟

(一) 估計 2022 年平均銷售量（$\bar{Y}$）及各估計量之變異數

1. 分層隨機抽樣結合簡單均數估計量（$\bar{y}_{st}$）

• 點估計量： $\bar{y}_{st} = W_1 \bar{y}_1 + W_2 \bar{y}_2 = 0.75(240) + 0.25(180) = 180 + 45 = 225 \text{（輛）}$

• 估計變異數： 各層抽樣有限母體校正項（fpc）： $1 - f_1 = 1 - \frac{10}{1,500} = \frac{149}{150}, \quad 1 - f_2 = 1 - \frac{10}{500} = \frac{49}{50} = 0.98$ 代入變異數公式：

$$\begin{aligned} \widehat{\text{Var}}(\bar{y}_{st}) &= W_1^2 \left(1 - f_1\right) \frac{s_{y1}^2}{n_1} + W_2^2 \left(1 - f_2\right) \frac{s_{y2}^2}{n_2} \\ &= (0.75)^2 \times \frac{149}{150} \times \frac{100^2}{10} + (0.25)^2 \times \frac{49}{50} \times \frac{60^2}{10} \\ &= 0.5625 \times \frac{149}{150} \times 1,000 + 0.0625 \times 0.98 \times 360 \\ &= 558.75 + 22.05 = 580.80 \end{aligned}$$

2. 分層隨機抽樣結合分開比率估計量（$\bar{y}_{Rs}$）

• 點估計量： 由題目已知 $\hat{R}_1 = 1.2, \bar{X}_1 = 220$；$\hat{R}_2 = 1.8, \bar{X}_2 = 140$： $\bar{y}_{Rs} = W_1 \hat{R}_1 \bar{X}_1 + W_2 \hat{R}_2 \bar{X}_2 = 0.75(1.2 \times 220) + 0.25(1.8 \times 140) = 0.75(264) + 0.25(252) = 198 + 63 = 261 \text{（輛）}$

• 各層殘差變異數 $s_{eh}^2$ 計算：

• 第 I 層： $s_{e1}^2 = s_{y1}^2 - 2\hat{R}_1 s_{xy1} + \hat{R}_1^2 s_{x1}^2 = 100^2 - 2(1.2)(7,200) + (1.2)^2(80^2) = 10,000 - 17,280 + 1.44(6,400) = 10,000 - 17,280 + 9,216 = 1,936$

• 第 II 層： $s_{e2}^2 = s_{y2}^2 - 2\hat{R}_2 s_{xy2} + \hat{R}_2^2 s_{x2}^2 = 60^2 - 2(1.8)(2,200) + (1.8)^2(40^2) = 3,600 - 7,920 + 3.24(1,600) = 3,600 - 7,920 + 5,184 = 864$

• 估計變異數：

$$\begin{aligned} \widehat{\text{Var}}(\bar{y}_{Rs}) &= W_1^2 \left(1 - f_1\right) \frac{s_{e1}^2}{n_1} + W_2^2 \left(1 - f_2\right) \frac{s_{e2}^2}{n_2} \\ &= (0.75)^2 \times \frac{149}{150} \times \frac{1,936}{10} + (0.25)^2 \times \frac{49}{50} \times \frac{864}{10} \\ &= 0.5625 \times \frac{149}{150} \times 193.6 + 0.0625 \times 0.98 \times 86.4 \\ &= 108.174 + 5.292 = 113.466 \approx 113.47 \end{aligned}$$

3. 分層隨機抽樣結合混合比率估計量（$\bar{y}_{Rc}$）

• 前置基本量計算：

• $\bar{y}_{st} = 225$

• $\bar{x}_{st} = W_1 \bar{x}_1 + W_2 \bar{x}_2 = 0.75(200) + 0.25(100) = 150 + 25 = 175$

• 綜合比率估計值： $\hat{R}_c = \frac{\bar{y}_{st}}{\bar{x}_{st}} = \frac{225}{175} = \frac{9}{7} \approx 1.2857$

• 母體輔助變數平均數：$\bar{X} = 200$

• 點估計量： $\bar{y}_{Rc} = \hat{R}_c \bar{X} = \frac{9}{7} \times 200 = \frac{1,800}{7} \approx 257.14 \text{（輛）}$

• 各層對 $\hat{R}_c$ 殘差變異數 $s_{ech}^2$ 計算：

• 第 I 層：