110 高普考高考三級 統計 以實例命題 考古題詳解

核心觀念

本題比較「分層隨機抽樣」與「群集抽樣」：

• 分層隨機抽樣：先依研究特性將母體分成互不重疊的層，再從每一層抽取部分單位。
• 群集抽樣：先將母體劃分成若干群集，以群集為抽樣單位，抽中群集後調查群集內的全部建築物。

母體建築物總數為

$$N=2,500$$

抽樣比例為 $4\%$，因此樣本數為

$$n=2,500\times 0.04=100$$

由於每棟建築恰有一個水塔，因此抽取建築物即可視為抽取水塔。

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（一）分層隨機抽樣

解題方法

以「行政區 $\times$ 建築物類型」作為分層依據，共形成 $3\times 3=9$ 層。各層皆按照其在母體中的比例進行比例配置：

$$n_h=n\frac{N_h}{N}$$

其中：

• $N_h$：第 $h$ 層的建築物數
• $N=2,500$：母體總數
• $n=100$：總樣本數

各層樣本數

行政區	公寓	大廈	獨立透天厝	合計
A區	$400\times\frac{100}{2500}=16$	$100\times\frac{100}{2500}=4$	$500\times\frac{100}{2500}=20$	40
B區	$300\times\frac{100}{2500}=12$	$300\times\frac{100}{2500}=12$	$200\times\frac{100}{2500}=8$	32
C區	$100\times\frac{100}{2500}=4$	$300\times\frac{100}{2500}=12$	$300\times\frac{100}{2500}=12$	28
合計	32	28	40	100

抽樣程序

1. 依行政區及建築物類型分成九層。
2. 在每一層內建立建築物名冊。
3. 依上表各層樣本數，使用簡單隨機抽樣抽出建築物。
4. 抽中建築物後，調查其水塔衛生狀況。

抽樣後各類型及各行政區的比例均與母體一致。例如：

$$\frac{16}{100}=16\%=\frac{400}{2500}$$

因此符合題目要求。

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（二）群集抽樣

解題方法

將全市 $2,500$ 棟建築物劃分為 $100$ 個群集，每一群集包含 $25$ 棟建築物，並使每一群集的組成比例完全符合全市母體比例。

各群集應包含：

行政區	公寓	大廈	獨立透天厝	合計
A區	4	1	5	10
B區	3	3	2	8
C區	1	3	3	7

核心觀念

本題考查：

1. 粗死亡率（crude death rate）：以全體人口為分母，計算某族群整體死亡程度。
2. 年齡別死亡率（age-specific death rate）：分別計算各年齡層的死亡率。
3. 直接標準化法（direct standardization）：將研究族群各年齡層的死亡率，套用標準人口的年齡結構，以排除年齡分布不同所造成的影響。

死亡率通常可表示為每千人或每十萬人口的死亡人數。

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解題方法

（一）計算 G 族群當年粗死亡率

粗死亡率公式為：

$$\text{粗死亡率} = \frac{\text{全年死亡人數}}{\text{年中人口數}}$$

代入題目資料：

$$\text{粗死亡率} = \frac{7,200}{1,350,000} = 0.0053333$$

因此：

• 以每千人表示：

$$0.0053333 \times 1,000 = 5.3333$$

• 以每十萬人口表示：

$$0.0053333 \times 100,000 = 533.33$$

所以 G 族群當年粗死亡率為：

$$\boxed{5.3333\text{‰}}$$

亦即每千人約死亡 $5.33$ 人，或每十萬人口約死亡 $533.33$ 人。

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（二）依 W 標準人口分布重新計算死亡率

1. 先計算 G 族群各年齡層死亡率

各年齡層死亡率公式為：

$$\text{年齡別死亡率} = \frac{\text{該年齡層死亡人數}}{\text{該年齡層年中人口數}}$$

0 到 14 歲

$$m_1=\frac{600}{300,000}=0.002$$

即：

$$0.002\times 1,000=2\text{‰}$$

15 到 64 歲

$$m_2=\frac{5,400}{900,000}=0.006$$

即：

$$0.006\times 1,000=6\text{‰}$$

65 歲以上

$$m_3=\frac{1,200}{150,000}=0.008$$

即：

$$0.008\times 1,000=8\text{‰}$$

因此，G 族群的年齡別死亡率如下：

年齡層	年齡別死亡率
0 到 14 歲	$0.002$，即 $2\text{‰}$
15 到 64 歲	$0.006$，即 $6\text{‰}$
65 歲以上	$0.008$，即 $8\text{‰}$

2. 套用 W 標準人口分布

直接標準化死亡率公式為：

$$\text{標準化死亡率} = \sum_{i=1}^{k} \left( \text{G族群第 }i\text{ 年齡層死亡率} \times \text{W標準人口第 }i\text{ 年齡層比例} \right)$$

代入 W 標準人口分布：

$$\begin{aligned} \text{標準化死亡率} &=(0.002)(0.270)+(0.006)(0.650)+(0.008)(0.080)\\ &=0.00054+0.00390+0.00064\\ &=0.00508 \end{aligned}$$

換算為每千人：

核心觀念

本題給的是家庭所得分配兩端的群組平均值：

• $L_{20}$：所得最低 $20\%$ 家庭的平均可支配所得。
• $H_{20}$：所得最高 $20\%$ 家庭的平均可支配所得。

分析兩者關係時，應同時觀察：

1. 兩組所得各自的時間趨勢。
2. 最高與最低 $20\%$ 間的絕對所得差距。
3. 最高與最低 $20\%$ 間的相對所得差距。
4. $L_{20}$ 與 $H_{20}$ 的相關程度。
5. 僅憑兩組平均值所得出的分析限制。

其中，常用的不均度指標為：

絕對差距

$$D_t=H_{20,t}-L_{20,t}$$

$D_t$ 愈大，表示兩群家庭的所得金額差距愈大。

所得倍數

$$R_t=\frac{H_{20,t}}{L_{20,t}}$$

$R_t$ 表示最高所得 $20\%$ 家庭平均所得為最低所得 $20\%$ 家庭平均所得的幾倍，數值愈大表示相對所得差距愈大。

亦可使用相對差距：

$$G_t=\frac{H_{20,t}-L_{20,t}}{L_{20,t}} =R_t-1$$

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解題方法與計算

一、觀察兩組所得的成長趨勢

六年間：

$$L_{20}: 29.6\longrightarrow 32.9$$

所得增加：

$$32.9-29.6=3.3$$

成長率為：

$$\frac{32.9-29.6}{29.6}\times100\% =11.15\%$$

最高所得 $20\%$：

$$H_{20}:182.7\longrightarrow200.4$$

所得增加：

$$200.4-182.7=17.7$$

成長率為：

$$\frac{200.4-182.7}{182.7}\times100\% =9.69\%$$

因此，六年間兩群家庭的平均所得均呈增加趨勢，但最低所得 $20\%$ 的相對成長率 $11.15\%$ 高於最高所得 $20\%$ 的 $9.69\%$。

若以每年度平均增加金額觀察：

$$\frac{3.3}{5}=0.66$$ $$\frac{17.7}{5}=3.54$$

最高所得 $20\%$ 每年增加的金額較多，這是因為其原始所得基數遠高於最低所得 $20\%$。

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二、分析絕對所得差距

計算各年度所得差距：

年度	$H_{20}-L_{20}$
1	$153.1$
2	$154.5$
3	$157.4$
4	$160.3$
5	$162.0$
6	$167.5$

第一年度與第六年度的差距變化為：

$$167.5-153.1=14.4$$

因此，最高與最低所得 $20\%$ 間的絕對所得差距擴大 $14.4$ 萬元，約增加：

$$\frac{14.4}{153.1}\times100\% =9.41\%$$

由絕對金額而言，所得差距逐年擴大，且第六年度擴大幅度最為明顯。

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三、分析相對所得差距

計算最高所得 $20\%$ 為最低所得 $20\%$ 的倍數：

年度	$\dfrac{H_{20}}{L_{20}}$
1	$6.172$
2	$6.133$
3	$6.094$
4	$6.057$
5	$6.063$
6	$6.091$

第一年度：

$$\frac{182.7}{29.6}=6.172$$

第六年度：

$$\frac{200.4}{32.9}=6.091$$

所得倍數由約 $6.172$ 倍降至約 $6.091$ 倍，下降：

$$6.172-6.091=0.081$$

相對差距約下降：

$$\frac{6.091-6.172}{6.172}\times100\% \approx -1.31\%$$

核心觀念

本題考查兩項抽樣調查基本概念：

1. 家庭收支調查所採用的抽樣設計，包括「分層」、「二段抽樣」及「不等機率抽樣」。
2. 在分層抽樣或一般複雜抽樣設計下，如何利用各家戶的抽樣包含機率，寫出母體家戶平均收入的不偏估計量。

設母體共有 $N$ 戶，第 $i$ 戶收入為 $Y_i$，則母體家戶平均收入為

$$\bar{Y}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}Y_i.$$

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（一）109 年家庭收支調查的抽樣方法

1. 母體與抽樣名冊

109 年家庭收支調查以臺灣地區符合調查定義的家戶為調查母體，並利用戶籍及相關家戶資料建立抽樣名冊，再由抽樣名冊中抽取樣本家戶進行調查。

2. 採分層二段抽樣

家庭收支調查採用「分層二段隨機抽樣法」，其程序如下：

第一段：抽取村里

先依地區、行政區及都市化程度等特徵進行分層，使同一層內的家戶具有較相近的社會經濟特性，以提高估計效率。

以村里作為第一段抽樣單位，在各層內抽取樣本村里。由於各村里的家戶數不同，抽取村里時通常依村里家戶數採與規模大小成比例的機率抽樣，即：

$$P_h(\text{抽中村里})\propto \text{該村里家戶數}.$$

家戶數較多的村里，被抽中的機率較高。

第二段：抽取家戶

在第一段抽中的村里內，再依抽樣名冊抽取樣本家戶。第二段通常採系統抽樣或簡單隨機抽樣方式，從村里內的家戶中抽取調查家戶。

因此，完整流程為：

$$\text{分層} \longrightarrow \text{抽取樣本村里} \longrightarrow \text{於樣本村里內抽取樣本家戶}.$$

3. 抽樣方法的性質

此種設計具有下列特性：

• 「分層」可使各類型地區均有代表性。
• 「村里」為第一段抽樣單位，「家戶」為第二段抽樣單位。
• 第一段若依村里家戶數按比例抽樣，屬於不等機率抽樣。
• 家戶最終被抽中的機率，必須將第一段及第二段的抽樣機率相乘。

設第 $h$ 層中的第 $j$ 個村里為第一段抽樣單位，第 $i$ 戶為該村里內的家戶，則該家戶的最終包含機率為

$$\pi_{hji} = \pi_{hj}\pi_{i\mid hj},$$

其中：

• $\pi_{hj}$：第 $h$ 層第 $j$ 村里被抽中的機率；
• $\pi_{i\mid hj}$：該村里被抽中後，第 $i$ 戶於村里內被抽中的條件機率；
• $\pi_{hji}$：第 $i$ 戶最終被抽入樣本的機率。

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（二）母體家戶平均收入的不偏估計

1. 一般形式：Horvitz-Thompson 不偏估計量

令：

• $s$：實際抽出的樣本家戶集合；
• $y_i$：樣本家戶 $i$ 的收入；
• $\pi_i$：家戶 $i$ 被抽入樣本的包含機率；
• $N$：母體家戶總數。

則母體家戶總收入的 Horvitz-Thompson 不偏估計量為

$$\widehat{Y}_{HT} = \sum_{i\in s}\frac{y_i}{\pi_i}.$$

因此，母體家戶平均收入的不偏估計量為

$$\boxed{ \widehat{\bar{Y}}_{HT} = \frac{1}{N} \sum_{i\in s}\frac{y_i}{\pi_i} }$$

其不偏性如下：

$$E\left(\widehat{\bar{Y}}_{HT}\right) = \frac{1}{N} E\left( \sum_{i\in s}\frac{y_i}{\pi_i} \right).$$

令 $I_i$ 表示家戶 $i$ 是否被抽中，則 $E(I_i)=\pi_i$，所以

$$E\left(\widehat{\bar{Y}}_{HT}\right) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} E\left(\frac{I_i y_i}{\pi_i}\right) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{y_iE(I_i)}{\pi_i}.$$

因為 $E(I_i)=\pi_i$，故

核心觀念

本題考查「分層抽樣」與「紐曼配置（Neyman Allocation）」：

1. 先將製造業母體依產業及重點產業分為 $38$ 個副母體。
2. 每一副母體內再分成若干層。
3. 各層採隨機系統抽樣選取樣本。
4. 樣本數依各副母體及其內部各層的母體大小與變異程度配置。

紐曼配置的基本原則是：

$$n_h \propto N_h S_h$$

其中 $N_h$ 為第 $h$ 層母體單位數，$S_h$ 為該層調查變數的母體標準差。母體越大、變異越大的層，應配置較多樣本。

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（一）各副母體及其內各層的樣本數配置公式

1. 符號設定

令：

• $i=1,2,\ldots,38$：副母體編號。
• $j=1,2,\ldots,L_i$：第 $i$ 個副母體內的第 $j$ 層。
• $N_{ij}$：副母體 $i$ 中第 $j$ 層的母體單位數。
• $N_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{L_i}N_{ij}$：副母體 $i$ 的母體單位總數。
• $n_i$：配置給副母體 $i$ 的樣本數。
• $n_{ij}$：副母體 $i$ 中第 $j$ 層的樣本數。
• $n=\displaystyle\sum_{i=1}^{38}n_i$：總樣本數。
• $S_i$：副母體 $i$ 中調查變數的標準差。
• $S_{ij}$：副母體 $i$ 中第 $j$ 層調查變數的標準差。

2. 副母體間的紐曼配置

將 $38$ 個副母體視為第一層分層單位，總樣本數 $n$ 配置於各副母體：

$$n_i = n\frac{N_iS_i} {\displaystyle\sum_{i=1}^{38}N_iS_i}, \qquad i=1,2,\ldots,38.$$

此式表示：副母體 $i$ 的樣本數，與其母體大小 $N_i$ 及變異程度 $S_i$ 的乘積成正比。

3. 副母體內各層的紐曼配置

在第 $i$ 個副母體內，再將 $n_i$ 個樣本配置於其內部各層：

$$n_{ij} = n_i \frac{N_{ij}S_{ij}} {\displaystyle\sum_{j=1}^{L_i}N_{ij}S_{ij}}, \qquad j=1,2,\ldots,L_i.$$

將副母體間配置公式代入，可得完整表示式：

$$n_{ij} = n \frac{N_iS_i} {\displaystyle\sum_{i=1}^{38}N_iS_i} \cdot \frac{N_{ij}S_{ij}} {\displaystyle\sum_{j=1}^{L_i}N_{ij}S_{ij}}.$$

並且必須滿足：

$$\sum_{j=1}^{L_i}n_{ij}=n_i, \qquad \sum_{i=1}^{38}n_i=n.$$

實務上計算後若出現小數，須依總樣本數固定及各層最低樣本數限制進行整數化調整。

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（二）母體產值的不偏估計

1. 符號設定

令：

• $X_{ijk}$：副母體 $i$、第 $j$ 層、第 $k$ 個企業的產值。
• $s_{ij}$：副母體 $i$ 第 $j$ 層抽出的樣本集合。
• $\bar X_{ij}$：副母體 $i$ 第 $j$ 層樣本產值平均數：