114 高普考高考三級 統計 抽樣方法與迴歸分析 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 分層隨機抽樣下母體總和的估計。
2. 分層總和估計量的變異數與 $95\%$ 近似誤差界限。
3. 奈曼配置下，達到指定誤差界限所需的總樣本數。

各層權數為

$$W_i=\frac{N_i}{N},\qquad N=\sum_iN_i=280.$$

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（一）估計綠化社區總面積

分層抽樣下，母體總面積估計量為

$$\hat{Y}_{st}=\sum_{i=1}^4N_i\bar{y}_i.$$

各層估計總面積如下：

$$\begin{aligned} A&:96(183.6)=17,625.6,\\ B&:82(383.0)=31,406.0,\\ C&:62(590.5)=36,611.0,\\ D&:40(772.4)=30,896.0. \end{aligned}$$

因此

$$\hat{Y}_{st} =17,625.6+31,406.0+36,611.0+30,896.0 =116,538.6.$$

故該市綠化社區總面積估計為

$$\boxed{116,538.6\text{ 平方公尺}}.$$

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（二）$95\%$ 近似誤差界限

分層總和估計量的變異數

不放回分層隨機抽樣下，

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{Y}_{st}) = \sum_{i=1}^4 N_i^2\left(1-\frac{n_i}{N_i}\right)\frac{s_i^2}{n_i}.$$

各層變異數估計值為：

$$\begin{aligned} V_A &=96^2\left(1-\frac{16}{96}\right)\frac{1071.9}{16} =514,512.0,\\ V_B &=82^2\left(1-\frac{13}{82}\right)\frac{9054.8}{13} =3,939,534.5,\\ V_C &=62^2\left(1-\frac{10}{62}\right)\frac{16794.2}{10} =5,414,450.1,\\ V_D &=40^2\left(1-\frac{6}{40}\right)\frac{72376.3}{6} =16,405,294.7. \end{aligned}$$

所以

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{Y}_{st}) =26,273,791.3.$$

標準誤為

$$SE(\hat{Y}_{st}) =\sqrt{26,273,791.3} \approx 5,125.8.$$

$95\%$ 近似誤差界限

採用常態近似，$95\%$ 信賴水準的臨界值為 $z_{0.975}=1.96$，故誤差界限為

$$B=1.96SE(\hat{Y}_{st}) =1.96(5,125.8) \approx10,046.6.$$

因此，估計結果可表示為

$$\boxed{116,538.6\pm10,046.6\text{ 平方公尺}}.$$

相應的 $95\%$ 近似信賴區間為

$$\boxed{(106,492.0,\ 126,585.2)\text{ 平方公尺}}.$$

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（三）奈曼配置下的近似樣本量

題目明示希望估計誤差控制在 $5,000$ 平方公尺內，因此令

$$B=5,000.$$

奈曼配置

在各層抽樣成本相同時，奈曼配置為

$$n_i=n\frac{N_iS_i}{\sum_iN_iS_i},$$

其中

$$S_i=\sqrt{s_i^2}.$$

核心觀念

本題考查二階段聚類抽樣（two-stage cluster sampling）下母體平均數與其變異數估計。

• 第一階段：從 $N=20$ 個行政區中簡單隨機抽出 $n=5$ 區。
• 第二階段：第 $i$ 區有 $N_i$ 個里，再抽出 $m_i$ 個里。
• $\bar y_i$ 為第 $i$ 區抽樣里之平均每週申辦數。
• $s_i^2$ 為第 $i$ 區里層級的樣本變異數。

本題將各行政區視為第一階段抽樣單位，因此估計的是「每一行政區平均每週申辦數量」。

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（一）估算平均每週申辦數量

由於第一階段是從 $20$ 區中等機率抽出 $5$ 區，各區在估計全市行政區平均時權重相同，因此母體平均數估計量為

$$\hat{\bar Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bar y_i.$$

代入資料：

$$\hat{\bar Y} = \frac{102+90+69+94+120}{5} = \frac{475}{5} = 95.$$

因此，該業務平均每週申辦數量估計為

$$\boxed{95\text{ 件}}.$$

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（二）計算 $95\%$ 近似誤差限

第一步：計算第一階段變異數部分

先計算五個抽樣行政區平均數的樣本變異數：

$$s_{\bar y}^{\,2} = \frac{\sum_{i=1}^{5}(\bar y_i-\hat{\bar Y})^2}{n-1}.$$

因為 $\hat{\bar Y}=95$，所以

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{5}(\bar y_i-95)^2 &=(102-95)^2+(90-95)^2+(69-95)^2\\ &\quad +(94-95)^2+(120-95)^2\\ &=49+25+676+1+625\\ &=1376. \end{aligned}$$

因此

$$s_{\bar y}^{\,2} = \frac{1376}{4} = 344.$$

第一階段抽樣比率為

$$f_1=\frac{n}{N}=\frac{5}{20}.$$

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第二步：計算各行政區的第二階段變異數

第 $i$ 區里平均數的變異數估計為

$$\hat V_i(\bar y_i) = \left(1-\frac{m_i}{N_i}\right)\frac{s_i^2}{m_i}.$$

各區計算如下：

核心觀念

本題考查多元線性迴歸、類別變數虛擬變數、個別迴歸係數的 $t$ 檢定、整體迴歸模型的 $F$ 檢定、變異數分析表、調整判定係數及均方誤。

共有 $n=30$ 筆資料，解釋變數數目為 $p=4$，包括 $X_1,X_2,X_3,X_4$；模型含截距項。

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（一）迴歸模型及誤差假設

建立的多元線性迴歸模型為

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\beta_2X_{2i} +\beta_3X_{3i}+\beta_4X_{4i}+\varepsilon_i, \quad i=1,\ldots,30.$$

代入估計結果後，配適迴歸式為

$$\hat Y=13.24+8.69X_1+1.35X_2+4.92X_3+5.89X_4.$$

誤差項通常作以下假設：

1. 線性關係：$Y$ 與各解釋變數間的條件平均值具有線性形式。
2. 零平均數：

$$E(\varepsilon_i\mid X_{1i},X_{2i},X_{3i},X_{4i})=0.$$

3. 變異數相同：

$$\operatorname{Var}(\varepsilon_i\mid X)=\sigma^2.$$

4. 誤差彼此獨立：

$$\operatorname{Cov}(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0,\quad i\ne j.$$

5. 若進行精確的 $t$ 檢定與 $F$ 檢定，通常再假設

$$\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2).$$

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（二）$X_3$ 與 $X_4$ 迴歸係數的意義

高中及以下學歷為基準組，因為：

• 高中及以下：$X_3=0,\ X_4=0$
• 大專：$X_3=1,\ X_4=0$
• 研究所及以上：$X_3=0,\ X_4=1$

$X_3$ 的係數

$$\hat\beta_3=4.92$$

在工作年資 $X_1$、薪資 $X_2$ 及其他條件相同下，大專學歷者的平均工作滿意度，比高中及以下學歷者高 $4.92$ 分。

$X_4$ 的係數

$$\hat\beta_4=5.89$$

在工作年資 $X_1$、薪資 $X_2$ 及其他條件相同下，研究所及以上學歷者的平均工作滿意度，比高中及以下學歷者高 $5.89$ 分。

係數 $4.92$ 與 $5.89$ 並非直接表示大專與研究所學歷者之間的差距；兩者差距的估計值為

$$5.89-4.92=0.97\text{ 分}.$$

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（三）$X_3$ 與 $X_4$ 係數的顯著性檢定

各別檢定皆採用

$$H_0:\beta_j=0,\qquad H_1:\beta_j\ne0,$$

自由度為誤差自由度

$$df_E=n-p-1=30-4-1=25.$$

在顯著水準 $0.05$ 下，雙尾臨界值為

$$t_{0.025,25}\approx2.060.$$

$X_3$

$$t=\frac{\hat\beta_3}{SE(\hat\beta_3)} =\frac{4.92}{2.10} \approx2.343.$$

因為

$$|2.343|>2.060,$$

故拒絕 $H_0$。在 $5\%$ 顯著水準下，$X_3$ 的迴歸係數顯著不等於 $0$，表示在控制工作年資、薪資及其他學歷虛擬變數後，大專學歷與工作滿意度具有顯著關聯。

$X_4$

$$t=\frac{\hat\beta_4}{SE(\hat\beta_4)} =\frac{5.89}{4.10} \approx1.437.$$

因為

$$|1.437|<2.060,$$

故不拒絕 $H_0$。在 $5\%$ 顯著水準下，沒有充分證據認定 $X_4$ 的迴歸係數顯著不等於 $0$。

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（四）變異數分析表

1. 自由度

總自由度：

$$df_T=n-1=30-1=29.$$

迴歸自由度：

$$df_R=p=4.$$

誤差自由度：

$$df_E=n-p-1=25.$$

且

$$df_T=df_R+df_E=4+25=29.$$

2. 誤差平方和 SSE

題目給定迴歸誤差標準差估計值

$$s=4.8.$$

因為

$$s^2=MSE=\frac{SSE}{df_E},$$

所以

$$MSE=s^2=4.8^2=23.04.$$