113 高普考高考三級 統計 抽樣方法與迴歸分析 考古題詳解

核心觀念

本題以不放回簡單隨機抽樣估計有限母體的失業率。母體失業率為失業人口數占總人口數的比例，估計量是樣本失業比例：

$$\widehat{P}=\frac{y}{n}$$

設母體大小為 $N$，樣本大小為 $n$。在簡單隨機抽樣下，樣本比例估計量的標準誤可用

$$\widehat{\operatorname{SE}}(\widehat{P}) =\sqrt{\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{\widehat{P}(1-\widehat{P})}{n-1}}$$

估計；其中 $1-\frac{n}{N}$ 是有限母體修正因子。近似 $95\%$ 誤差界限為 $1.96$ 倍標準誤，信賴區間則以樣本比例為中心，向兩側加減此誤差界限。

解題方法

已知 $N=24000$、$n=500$、$y=10$。

（一）失業率估計值

$$\widehat{P}=\frac{y}{n}=\frac{10}{500}=0.02$$

因此估計失業率為 $2\%$。

（二）標準誤之估計值

代入有限母體修正後的標準誤公式：

$$\widehat{\operatorname{SE}}(\widehat{P}) =\sqrt{\left(1-\frac{500}{24000}\right) \frac{0.02(1-0.02)}{499}} \approx 0.00617$$

標準誤約為 $0.617\%$。

（三）$95\%$ 近似誤差界限

$$B_{95}=1.96\widehat{\operatorname{SE}}(\widehat{P}) =1.96(0.00617) \approx 0.01209$$

故誤差界限約為 $1.209$ 個百分點。

（四）$95\%$ 近似信賴區間

核心觀念

分層隨機抽樣先分別計算各層的樣本平均數與樣本變異數，再依各層母體比例加權。令

$$N=\sum_{h=1}^L N_h,\qquad W_h=\frac{N_h}{N},$$

則母體平均數的分層估計量為

$$\bar y_{\mathrm{st}}=\sum_{h=1}^L W_h\bar y_h.$$

其變異數估計值為

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\bar y_{\mathrm{st}}) =\sum_{h=1}^L W_h^2 \left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)\frac{s_h^2}{n_h},$$

其中 $1-n_h/N_h$ 是有限母體修正因子。標準誤估計值為上述變異數估計值的平方根。

解題方法

全體母體大小為

$$N=200+200+100=500,$$

所以三層權數為

$$W_1=\frac{200}{500}=0.4,\qquad W_2=\frac{200}{500}=0.4,\qquad W_3=\frac{100}{500}=0.2.$$

（一）母體平均數的分層估計值：

$$\bar y_{\mathrm{st}} =0.4(150)+0.4(100)+0.2(200) =60+40+40 =\boxed{140}.$$

（二）母體平均數估計量的分層估計值，即估計量變異數的估計值：

核心觀念

本題考複迴歸分析的變異數分析表、整體迴歸顯著性檢定，以及決定係數 $R^2$。

模型含截距項及 $3$ 個解釋變數，因此迴歸自由度為 $3$；誤差自由度為樣本數減去估計參數個數，即 $n-(3+1)$。含截距項的模型滿足平方和分解：

$$\mathrm{SST}=\mathrm{SSR}+\mathrm{SSE},$$

其中 $\mathrm{SSR}$ 為迴歸平方和。

解題方法與計算

已知 $n=100$、$\mathrm{SSE}=5$、$\mathrm{SST}=10$。

迴歸平方和為：

$$\mathrm{SSR}=\mathrm{SST}-\mathrm{SSE}=10-5=5.$$

自由度如下：

$$df_{\text{迴歸}}=3,\qquad df_{\text{誤差}}=100-(3+1)=96,\qquad df_{\text{總和}}=100-1=99.$$

均方等於平方和除以相應自由度：

$$\mathrm{MSR}=\frac{\mathrm{SSR}}{3}=\frac{5}{3}, \qquad \mathrm{MSE}=\frac{\mathrm{SSE}}{96}=\frac{5}{96}.$$

因此變異數分析表為：

$$\begin{array}{c|c|c|c} \text{變異來源} & \text{平方和} & \text{自由度} & \text{均方}\\ \hline \text{迴歸} & 5 & 3 & \frac{5}{3}\\ \text{誤差} & 5 & 96 & \frac{5}{96}\\ \text{總和} & 10 & 99 & - \end{array}$$

故 $(a)=5$、$(b)=5$、$(c)=10$、$(d)=3$、$(e)=96$、$(f)=99$、$(g)=\frac{5}{3}$、$(h)=\frac{5}{96}$。

整體迴歸檢定

檢定三個斜率參數是否同時為 $0$：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸中應變數與自變數的辨認、誤差項的 iid 假設，以及最小平方法迴歸殘差的正規方程。估計式含有截距項，因此最小平方法會使殘差對常數項與自變數皆正交。

（一）應變數與自變數

模型為

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i。$$

• 應變數是 $Y_i$，表示第 $i$ 個觀測值的反應變數。
• 自變數是 $X_i$，表示用來解釋或預測 $Y_i$ 的變數。

$\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是迴歸斜率，$\varepsilon_i$ 是誤差項。

（二）iid 的意義

iid 是 independent and identically distributed 的縮寫，意為「相互獨立且同分布」。

套用於本題的誤差項 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$，包含兩項假設：

1. 相互獨立（independent）：不同觀測值的誤差彼此不影響。對任意不同的 $i,j$，$\varepsilon_i$ 與 $\varepsilon_j$ 獨立。
2. 同分布（identically distributed）：所有誤差項來自同一個機率分布。本題進一步指定

$$\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2),\qquad i=1,\ldots,n,$$

因此各誤差項皆為平均數 $0$、變異數 $\sigma^2$ 的常態分布。

題目中的常態分布假設比 iid 本身更進一步；iid 著重於誤差項彼此獨立且具有相同分布。

（三）推導 $\sum_{i=1}^n e_iX_i$

解題方法： 由最小平方估計得到的迴歸直線含有截距，因此殘差滿足最小平方法的正規方程：

$$\sum_{i=1}^n e_i=0,\qquad \sum_{i=1}^n e_iX_i=0。$$

以下由題目給定的配適值直接推導第二式。因為

$$\hat{Y}_i=\bar{Y}+\hat{\beta}_1(X_i-\bar{X}),$$

所以

$$e_i=Y_i-\bar{Y}-\hat{\beta}_1(X_i-\bar{X})。$$

將殘差乘以 $X_i$ 後加總：