115 高普考高考三級 統計 抽樣方法與迴歸分析 考古題詳解

某市政府推動智慧便民服務計畫，希望了解各行政區的線上服務使用情形、案件處理效率、服務據點配置與行政區類型，是否會影響民眾對公共服務的滿意度。變數說明如下：

• $Y$：民眾公共服務滿意度，0 至 100 分。
• $X_1$：每千人每月線上申辦件數。
• $X_2$：平均案件處理天數。
• $X_3$：每萬人服務據點數。
• $D_1$：一般市區，是為 1，否為 0。
• $D_2$：核心商業區，是為 1，否為 0。

其中，偏遠地區作為基準組，因此偏遠地區之 $D_1=0$、$D_2=0$。

（一）市政府先以每千人每月線上申辦件數 $X_1$ 作為自變數，解釋民眾公共服務滿意度 $Y$。建立簡單線性迴歸模型：

$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i,\qquad i=1,2,\ldots,10$

其中，誤差項 $\varepsilon_i$ 相互獨立，且服從常態分配：

$\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$

已知 10 個行政區的摘要統計量如下：

$n=10,\qquad \sum x_i=850,\qquad \sum y_i=740,$

$\sum x_i^2=80500,\qquad \sum x_iy_i=56410,\qquad \sum y_i^2=66200$

請以最小平方法（least squares method）求出 $\beta_0$ 與 $\beta_1$ 的估計值，寫出配適後的簡單線性迴歸模型，並計算判定係數 $R^2$，說明其意義。（15 分）

（二）延續第（一）題的簡單線性迴歸模型，請建立變異數分析表，並在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下檢定迴歸模型是否顯著。已知臨界值為：

$F_{0.05}(1,8)=5.32$

（12 分）

（三）市政府進一步同時考慮線上申辦件數、平均案件處理天數與服務據點數對滿意度的影響，建立複迴歸模型：

$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_3+\varepsilon$

其中：

$X_1=\frac{X-80}{20},\qquad X_2=\frac{X-6}{2},\qquad X_3=\frac{X-10}{4}$

令設計矩陣（design matrix）為 $X$，反應變數向量（response vector）為 $Y$，複迴歸模型可表示為：

$Y=X\beta+\varepsilon$

且已知：

請利用最小平方法估計 $\beta$，寫出複迴歸估計模型，並預測某行政區在 $X_1=100$、$X_2=5$、$X_3=14$ 時的公共服務滿意度。（13 分）

（四）市政府為了解不同類型行政區的公共服務滿意度差異，將行政區分為三類：偏遠地區、一般市區與核心商業區。其中以「偏遠地區」作為基準組，並設定兩個屬性自變數如下：

根據資料，估計得到下列迴歸式：

$\hat{Y}=46.80+0.32X_1-1.45X_2+5.20D_1+10.40D_2$

請解釋 5.20 與 10.40 兩個迴歸係數的意義。在控制線上申辦件數與平均案件處理天數後，核心商業區的預測滿意度比一般市區高多少分？（10 分）

某政府機關希望了解員工使用生成式 AI 協助公務處理的情形。研究團隊依不同部門進行分層抽樣，調查員工每週使用生成式 AI 協助公務的時數。（每小題 10 分，共 50 分）

（一）研究團隊完成比例配置抽樣後，得到下列樣本統計量：

請估計全機關員工每週使用生成式 AI 協助公務的平均時數，並建立全機關平均使用時數的 95% 信賴區間。

（二）研究團隊在正式抽樣前進行前測，得到各部門員工使用生成式 AI 時數的標準差如下：

若總樣本數為 300，請使用 Neyman allocation 計算各部門建議樣本數，並說明配置結果的意義。

（三）正式調查後，實際回收情況如下：

若原本採比例配置，各層基本權重皆為 15，請計算各部門非回覆調整後權重，並估計非回覆調整後全機關員工每週平均使用生成式 AI 協助公務的時數，同時說明若不處理非回覆可能造成的問題。

（四）研究團隊發現，不同部門完成一份有效問卷的成本不同，資料如下：

若總調查成本限制為 500，請使用成本限制下的最適配置計算各部門建議樣本數，並說明此配置與 Neyman allocation 的差異。

（五）若政府機關希望估計全機關員工每週使用生成式 AI 協助公務的平均時數，並希望在 95% 信心水準下估計誤差不超過 0.5 小時。根據前測資料，估計全體標準差為 7.5，母體總人數為 4,500。請分別計算不考慮有限母體修正與考慮有限母體修正時所需樣本數；若預估問卷回覆率為 80%，請計算原始應抽樣本數。