109 高普考高考三級 教育行政 教育測驗與統計 考古題詳解

核心觀念

本題考驗斯布校正公式（Spearman–Brown formula），用來估計測驗長度改變後的信度。假設新增的試題與原測驗具有相同的品質，且測驗內容與施測條件大致一致，測驗題數增加會提升信度。

若測驗長度變為原來的 $k$ 倍，校正後信度為：

其中 $r_{\text{原}}$ 是原測驗信度，$r_{\text{新}}$ 是目標信度，$k$ 是新測驗長度與原測驗長度的比值。

解題方法

原測驗有 $5$ 題，信度為 $0.40$；目標信度為 $0.80$。先由斯布校正公式求達成目標信度所需的測驗長度倍數 $k$：

整理分母：

交叉相乘：

核心觀念

本題考查合併不同群體的平均數與變異數，以及以變異係數比較不同學校的相對個別差異。

各校樣本數不同，不能直接把三校平均數等權平均。全體平均數須依各校人數加權；全體變異數則須同時納入：

1. 各校內部的個別差異；
2. 各校平均數彼此不同所造成的差異。

解題方法

（一）全體樣本的平均成績與變異數

全體樣本數為：

全體平均數為各校平均數的加權平均：

因此，全體樣本的平均成績為 60 分。

計算全體變異數時，先依各校標準差求各校內平方和，再加上各校平均數與全體平均數之差所造成的平方和：

其中 $n_i$、$\bar X_i$、$s_i$ 分別代表第 $i$ 校的樣本數、平均數與標準差。代入資料：

題目稱全體為「樣本」，故採樣本變異數，分母為 $N-1=59$：

核心觀念

本題是同一批 40 名學生接受教學實驗前後測，結果分成「及格／不及格」兩類，因此屬於相依樣本的二分類資料。適用的檢定是 McNemar 檢定，檢驗前後測的及格比例是否改變。

McNemar 檢定只使用前後測結果不同的學生：

• 前測不及格、後測及格：改善者 $b=18$。
• 前測及格、後測不及格：退步者 $c=6$。

兩次都及格或兩次都不及格的學生，前後結果一致，不納入檢定統計量。

解題方法

設定假設：

• 虛無假設 $H_0$：前後測及格比例沒有差異，即改善者與退步者人數相同，$b=c$。
• 對立假設 $H_1$：前後測及格比例有差異，即 $b\ne c$。

採用含連續性校正的 McNemar 卡方統計量：

代入 $b=18$、$c=6$：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸中的斜率顯著性檢定、相關係數與決定係數的關係、代入迴歸方程式進行預測，以及標準化迴歸係數的解讀。

已知迴歸方程式為 $\hat{Y}=62.75+0.8X$，斜率估計值 $B=0.8$，其標準誤 $SE(B)=0.125$，樣本數 $n=81$，且 $R^2=0.81$。

解題方法與計算

（一）檢定迴歸係數是否顯著

檢定斜率是否顯著，通常檢定虛無假設 $H_0:\beta=0$，並計算：

題目給定雙尾臨界值 $t=\pm2$。因為 $|6.4|>2$，故拒絕虛無假設，斜率達統計顯著，表示努力程度與學業成績的線性關係顯著。

（二）求相關係數

簡單線性迴歸中，決定係數為相關係數的平方：

因此：

相關係數的正負方向與迴歸斜率相同。因斜率 $B=0.8>0$，所以：

（三）預測努力 10 小時的學業成績

將 $X=10$ 代入迴歸方程式：

預測學業成績為 $70.75$ 分。