113 高普考高考三級 教育行政 教育測驗與統計 考古題詳解

核心觀念

本題考查皮爾森積差相關的顯著性檢定，以及簡單線性迴歸方程式的估計。

皮爾森相關係數為：

$$r_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{S_XS_Y}$$

以 $X$ 預測 $Y$ 的迴歸方程式為：

$$\hat{Y}=a+bX$$

其中斜率 $b=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{S_X^2}$，截距 $a=\bar{Y}-b\bar{X}$。

（一）閱讀自信與閱讀表現的相關檢定

解題方法與計算

以皮爾森積差相關檢定兩變項的線性相關是否顯著。由題目資料：

$$r=\frac{53.58}{70\times1.89} =\frac{53.58}{132.3} \approx 0.405$$

相關係數約為 $0.405$，表示閱讀自信與閱讀表現呈正相關。接著檢定此相關是否達統計顯著。

統計檢驗步驟

1. 設定假設 $H_0:\rho=0$ $H_1:\rho\ne 0$

採雙尾檢定，因題目詢問是否有顯著相關，未指定正相關或負相關。

2. 設定顯著水準 題目未指定時，採常用的 $\alpha=.05$。

3. 計算檢定統計量 樣本數 $n=402$，相關係數檢定的統計量為：

$$t=r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}$$

代入 $r\approx0.405$、$n=402$：

核心觀念

本題考二因子變異數分析的平方和分解、自由度配置，以及交互作用的意義與後續分析。

將「教學介入（組別）」記為因子 $A$，將「性別」記為因子 $B$。二因子變異數分析的平方和分解為：

$$SS_T=SS_A+SS_B+SS_{AB}+SS_E$$

其中 $SS_{AB}$ 是交互作用平方和，$SS_E$ 是誤差平方和。本題有 $2\times2$ 個組合，總樣本數 $N=39$，因此：

• 總自由度：$N-1=38$
• 因子 $A$ 自由度：$2-1=1$
• 因子 $B$ 自由度：$2-1=1$
• 交互作用自由度：$(2-1)(2-1)=1$
• 誤差自由度：$N-ab=39-4=35$

解題方法與計算

題目提供：

$$SS_A+SS_B+SS_{AB}=243.5$$ $$SS_A+SS_{AB}=183.5,\qquad SS_{AB}=10.5$$

先求教學介入平方和：

$$SS_A=183.5-10.5=173$$

再求性別平方和：

$$SS_B=243.5-SS_A-SS_{AB} =243.5-173-10.5=60$$

誤差平方和為總平方和扣除三項模型平方和：

$$SS_E=SS_T-(SS_A+SS_B+SS_{AB}) =534.5-243.5=291$$

平均平方和為平方和除以自由度。三項效果的自由度皆為 $1$，所以各自的平均平方和等於其平方和；誤差平均平方和為：

$$MS_E=\frac{291}{35}\approx8.314$$

各效果的 $F$ 值以效果平均平方和除以誤差平均平方和：

$$F_A=\frac{173}{8.314}\approx20.81$$ $$F_B=\frac{60}{8.314}\approx7.22$$ $$F_{AB}=\frac{10.5}{8.314}\approx1.26$$

二因子變異數分析表

核心觀念

本題考查古典測驗理論中的試題難度、試題變異數、區辨力、性別公平性，以及誘答選項的功能。

• 難度指數：以答對率 $p$ 表示；$p$ 越高，題目越容易。整份試卷各題權重相同時，試卷平均難度為各題答對率的算術平均。
• 二分計分題的變異數：答對計為 1、答錯計為 0 時，母體變異數為 $pq=p(1-p)$。$p$ 越接近 .50，變異數越大。
• 區辨力：表示題目區分高、低能力學生的程度；常見經驗標準是 .30 以上較理想，低於 .30 通常需要檢視。
• 公平性檢視：比較不同群體的答對率差異，可作為檢視題目是否存在差別表現的線索；單憑差異仍不能直接判定題目有偏差。
• 誘答選項：錯誤選項應能吸引部分未精熟該內容的學生。錯誤選項幾乎無人選，通常表示誘答功能較弱。

解題方法與計算

整份試卷的難度

各題答對率即表中標示正確答案的人數百分比。由於每題權重相同，直接取十題答對率的平均：

$$\bar p =\frac{69.3+54.6+66.3+75.1+92.2+62.6+96.0+78.3+64.6+85.2}{10} =\frac{744.2}{10} =74.42\%$$

因此，整份試卷的平均答對率為 74.42%，整體屬於偏容易的試卷。

變異數最大的題目

二分計分題的變異數為 $p(1-p)$。各題答對率中，第 2 題的 $p=.546$ 最接近 .50，因此變異數最大：

$$V_2=.546(1-.546)=.546(.454)=.247884\approx .248$$

故 第 2 題變異數最大，約為 .248。若以樣本變異數計算，需再乘上 $\frac{N}{N-1}=\frac{205}{204}$，約為 .249；一般試題分析以 $pq$ 表示時，答案為 .248。

區辨力不理想的題目

第 7 題區辨力較不理想，其 $Dic=.26$，低於常用的 .30 判準。該題答對率高達 96%，顯示題目非常容易；高、低能力學生大多都答對，能供區分的作答差異有限。此外，錯誤選項的選答率極低，也顯示誘答效果弱。題目過易、選項鑑別資訊不足，均可能使區辨力降低。

公平性疑慮

核心觀念

信度（reliability）是測驗分數的一致性與穩定性，反映觀察分數中有多少變異來自真分數、多少受到測量誤差影響。信度愈高，分數受偶然誤差影響愈小，據以比較或解釋個別受試者表現也愈有依據。

本題先以奇數題、偶數題折半，求出兩半測驗的相關，再用斯皮爾曼－布朗公式校正為全長測驗的信度。測量標準誤（standard error of measurement, SEM）則以測驗總分標準差與信度估計，表示個別觀察分數因測量誤差而波動的典型幅度。

解題方法與計算

1. 折半信度校正

題目給的奇數題與偶數題相關為 $r_{xx}=.87$。兩半合併為原測驗時，測驗長度加倍，故 $k=2$。代入斯皮爾曼－布朗公式：

$$r_{kk}=\frac{kr_{xx}}{1+(k-1)r_{xx}} =\frac{2(.87)}{1+(2-1)(.87)} =\frac{1.74}{1.87} \approx .930$$

因此，此測驗的信度估計約為 .93。

折半後兩半各自較短，兩半相關不能直接當成全測驗信度；斯皮爾曼－布朗公式會校正測驗長度增加的影響。

2. 測量標準誤

測驗分數變異數為 $25$，故標準差為：

$$S_X=\sqrt{25}=5$$

測量標準誤公式為：

$$SEM=S_X\sqrt{1-r_{xx}}$$

代入全測驗信度 $r_{xx}=.930$：

$$SEM=5\sqrt{1-.930} =5\sqrt{.070} \approx 1.32$$

所以測量標準誤約為 1.32 分。

3. 測量標準誤的意義

在古典測驗理論下，觀察分數可表示為真分數與測量誤差之和。測量標準誤是測量誤差分數標準差的估計，說明同一受試者若在相同條件下反覆接受測量，其觀察分數因偶然誤差而波動的典型幅度。

因此，本題 $SEM\approx1.32$，表示分數周圍約有 $1.32$ 分的典型測量誤差；它不是每位考生的實際誤差，也不是測驗平均誤差。若分數分配及誤差近似常態，觀察分數可粗略以 $X\pm1.96(SEM)$ 作為約 95% 的真分數信賴區間估計；此估計仍須符合相關假設。

其他信度估計方法與特點