108 高普考高考三級 電子工程 電子學 考古題詳解

108 年・高普考・高考三級・電子工程
試題代碼 電子學

第 一 題20 分

圖一(a)中，電容 CC 的電壓為 vC(t)v_C(t)。已知 vC(0)=0v_C(0)=0、τ=RC\tau=RC，且二極體 DD 具有理想特性，導通電壓為 0 V0\ \mathrm{V}。

vS(t)v_S(t) 自 t=0t=0 開始，為週期 TT 的方波，如圖一(b)所示。已知

e−T/(2τ)=0.9e^{-T/(2\tau)}=0.9

−3 V-3\ \mathrm{V} 直流電池之內阻為 RS≪RR_S\ll R，且

τS=RSC≪T\tau_S=R_SC\ll T

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在 0<t<2T0<t<2T 區間內，推導並畫出 vL(t)v_L(t) 的波形。

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核心觀念

本題考「二極體偏壓箝位」與 RCRC 電路的自然響應。電容電壓不能瞬間改變；二極體導通時，輸出被箝在約 −3 V-3\ \mathrm{V}，電容則經電池內阻 RSR_S 快速充電。二極體截止時，輸出經電阻 RR 以時間常數 τ=RC\tau=RC 指數衰減。

依圖中極性，

vC(t)=vS(t)−vL(t).v_C(t)=v_S(t)-v_L(t).

二極體導通後將輸出箝在 −3 V-3\ \mathrm{V}；因 RS≪RR_S\ll R，箝位電壓可視為 −3 V-3\ \mathrm{V}。導通期間的充電時間常數約為 τS=RSC≪T\tau_S=R_SC\ll T，故其過渡很短。

解題方法與推導

圖一(b)的輸入在每半週交替為 −6 V-6\ \mathrm{V} 與 +6 V+6\ \mathrm{V}，且從 t=0t=0 起先為 −6 V-6\ \mathrm{V}。

在 t=0t=0，由 vC(0)=0v_C(0)=0 可知輸出初值為 vL(0+)=−6 Vv_L(0^+)=-6\ \mathrm{V}。這低於箝位電壓，二極體導通，輸出快速升至約 −3 V-3\ \mathrm{V}。此時電容電壓為

vC=(−6)−(−3)=−3 V.v_C=(-6)-(-3)=-3\ \mathrm{V}.

當 t=T/2t=T/2，輸入由 −6 V-6\ \mathrm{V} 跳至 +6 V+6\ \mathrm{V}。電容電壓不能瞬變，因此輸出同樣上跳 12 V12\ \mathrm{V}，由約 −3 V-3\ \mathrm{V} 跳至 +9 V+9\ \mathrm{V}。此後二極體截止，輸出依 RCRC 自然響應衰減：

vL(t)=9e−(t−T/2)/τ,T/2<t<T.v_L(t)=9e^{-(t-T/2)/\tau},\qquad T/2<t<T.

利用題給條件，

vL(T−)=9e−T/(2τ)=9(0.9)=8.1 V.v_L(T^-)=9e^{-T/(2\tau)}=9(0.9)=8.1\ \mathrm{V}.

在 t=Tt=T，輸入由 +6 V+6\ \mathrm{V} 跳回 −6 V-6\ \mathrm{V}，輸出瞬間下降 12 V12\ \mathrm{V}，故跳至

vL(T+)=8.1−12=−3.9 V.v_L(T^+)=8.1-12=-3.9\ \mathrm{V}.

此值低於箝位電壓，二極體再次導通，輸出快速回到約 −3 V-3\ \mathrm{V}，並將電容電壓恢復至約 −3 V-3\ \mathrm{V}。

在 t=3T/2t=3T/2，輸入再由 −6 V-6\ \mathrm{V} 跳至 +6 V+6\ \mathrm{V}，輸出由約 −3 V-3\ \mathrm{V} 跳至 +9 V+9\ \mathrm{V}，隨後再次指數衰減。

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第 二 題20 分

圖二放大器中，Q1Q_1 與 Q2Q_2 的製程參數為

kn′=2kp′=2 mA/V2k_n'=2k_p'=2\ \mathrm{mA/V^2} (W/L)p=18(W/L)n=360(W/L)_p=18(W/L)_n=360

且

∣Vtn∣=1.2 V,∣Vtp∣=0.8 V|V_{tn}|=1.2\ \mathrm{V},\qquad |V_{tp}|=0.8\ \mathrm{V}

不考慮 Early effect。使 Q2Q_2 具有放大器功能時，推導並畫出 vI−vOv_I-v_O 轉換曲線，須註明範圍以及各線段之斜率。

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核心觀念

圖二中，Q1Q_1 是閘極與汲極相接的二極體接法 NMOS；Q2Q_2 是源極接 +6 V+6\text{ V}、由 vIv_I 控制的 PMOS。題目要求 Q2Q_2 作為放大器，因此須令 Q2Q_2 工作於飽和區。兩管串聯，直流工作時電流相等。

長通道 MOSFET 飽和區電流公式為

ID,sat=12k′(W/L)VOV2I_{D,\mathrm{sat}}=\frac{1}{2}k'(W/L)V_{\mathrm{OV}}^2

其中 NMOS 的 VOV=VGS−VtnV_{\mathrm{OV}}=V_{GS}-V_{tn}；PMOS 的 VOV=VSG−∣Vtp∣V_{\mathrm{OV}}=V_{SG}-|V_{tp}|。

解題方法與推導

先由題目參數求兩管的電流係數：

kn′=2 mA/V2,kp′=1 mA/V2k_n'=2\ \mathrm{mA/V^2},\qquad k_p'=1\ \mathrm{mA/V^2} (W/L)p=360,(W/L)n=36018=20(W/L)_p=360,\qquad (W/L)_n=\frac{360}{18}=20

因此

12kn′(W/L)n=20 mA/V2\frac{1}{2}k_n'(W/L)_n=20\ \mathrm{mA/V^2} 12kp′(W/L)p=180 mA/V2\frac{1}{2}k_p'(W/L)_p=180\ \mathrm{mA/V^2}

Q1Q_1 的閘極與汲極都接在 vOv_O，故只要 Q1Q_1 導通，它即工作於飽和區：

ID1=20(vO−1.2)2 mAI_{D1}=20(v_O-1.2)^2\ \mathrm{mA}

Q2Q_2 的源極電壓為 6 V6\text{ V}，所以其過驅電壓為

VOV,p=VSG−∣Vtp∣=6−vI−0.8=5.2−vIV_{\mathrm{OV},p}=V_{SG}-|V_{tp}|=6-v_I-0.8=5.2-v_I

在飽和區時，

ID2=180(5.2−vI)2 mAI_{D2}=180(5.2-v_I)^2\ \mathrm{mA}

串聯支路電流相等，令 ID1=ID2I_{D1}=I_{D2}：

20(vO−1.2)2=180(5.2−vI)220(v_O-1.2)^2=180(5.2-v_I)^2

在兩管導通的範圍取正根，得到

vO−1.2=3(5.2−vI)v_O-1.2=3(5.2-v_I)

因此轉換關係為

vO=16.8−3vI\boxed{v_O=16.8-3v_I}

接著確認此線段的有效範圍。

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第 三 題20 分

圖三放大器僅顯示交流分析所需要的元件。電晶體參數為

gm=30 mA/V,rπ=2 kΩ,ro=36 kΩg_m=30\ \mathrm{mA/V},\qquad r_\pi=2\ \mathrm{k\Omega},\qquad r_o=36\ \mathrm{k\Omega} RS=12.6 kΩ,RB1=RB2=36 kΩR_S=12.6\ \mathrm{k\Omega},\qquad R_{B1}=R_{B2}=36\ \mathrm{k\Omega} RC1=RC2=4 kΩ,RE1=RE2=1 kΩR_{C1}=R_{C2}=4\ \mathrm{k\Omega},\qquad R_{E1}=R_{E2}=1\ \mathrm{k\Omega} RL=0.9 kΩ,CE→∞R_L=0.9\ \mathrm{k\Omega},\qquad C_E\to\infty

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（一）當 CC1C_{C1}、CC2C_{C2}、CC3C_{C3} 的電容值均趨近於無限大時，求算電壓增益

Av=vovsA_v=\frac{v_o}{v_s}

（10 分）

（二）當

CC1=2518 μF,CC2=2527 μF,CC3=2023 μFC_{C1}=\frac{25}{18}\ \mu\mathrm{F},\qquad C_{C2}=\frac{25}{27}\ \mu\mathrm{F},\qquad C_{C3}=\frac{20}{23}\ \mu\mathrm{F}

估算增益頻率響應之低頻 33-dB 點。可利用

10π≈3.18\frac{10}{\pi}\approx3.18

計算近似結果。（10 分）

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核心觀念

本題考兩級共射極放大器的小訊號中頻增益，以及輸入、級間與輸出耦合電容造成的低頻衰減。

中頻分析時，CC1C_{C1}、CC2C_{C2}、CC3C_{C3} 視為短路，CE→∞C_E\to\infty 使兩級射極皆為交流接地。每級電壓增益可用

Av≈−gmR負載A_v \approx -g_m R_{\text{負載}}

計算，其中集極負載須納入 RCR_C、晶體管輸出電阻 ror_o，以及後級或輸出端的負載。

低頻分析時，分別求各耦合電容兩端所見電阻，得到各自的轉折頻率；再將三個高通響應相乘，求整體下降 3 dB3\,\mathrm{dB} 的頻率。

解題方法

（一）中頻電壓增益

每級基極偏壓電阻並聯為

RB1∥RB2=36∥36=18 kΩ.R_{B1}\parallel R_{B2}=36\parallel36=18\ \mathrm{k\Omega}.

因此每級輸入電阻為

Rin=rπ∥RB1∥RB2=2∥18=1.8 kΩ.R_{\text{in}} =r_\pi\parallel R_{B1}\parallel R_{B2} =2\parallel18 =1.8\ \mathrm{k\Omega}.

訊號源到第一級基極的分壓比為

vb1vs=1.812.6+1.8=18.\frac{v_{b1}}{v_s} =\frac{1.8}{12.6+1.8} =\frac18.

第一級集極所見負載包含 RC1R_{C1}、ror_o 與第二級輸入電阻：

RL1=RC1∥ro∥Rin=4∥36∥1.8=1.2 kΩ.R_{L1}=R_{C1}\parallel r_o\parallel R_{\text{in}} =4\parallel36\parallel1.8 =1.2\ \mathrm{k\Omega}.

所以第一級基極至集極的增益為

Av1=−gmRL1=−0.03(1200)=−36.A_{v1}=-g_mR_{L1} =-0.03(1200) =-36.

第二級集極所見負載包含 RC2R_{C2}、ror_o 與 RLR_L：

RL2=RC2∥ro∥RL=4∥36∥0.9=0.72 kΩ.R_{L2}=R_{C2}\parallel r_o\parallel R_L =4\parallel36\parallel0.9 =0.72\ \mathrm{k\Omega}.

第二級增益為

Av2=−gmRL2=−0.03(720)=−21.6.A_{v2}=-g_mR_{L2} =-0.03(720) =-21.6.

兩級各反相一次，總增益為正：

Av=vovs=18(−36)(−21.6)=97.2 V/V.A_v=\frac{v_o}{v_s} =\frac18(-36)(-21.6) =\boxed{97.2\ \mathrm{V/V}}.

（二）低頻 3 dB3\,\mathrm{dB} 點

各耦合電容的轉折頻率為

fc=12πCR兩端所見電阻.f_c=\frac{1}{2\pi C R_{\text{兩端所見電阻}}}.

對 CC1C_{C1}，兩端所見電阻相加：

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第 四 題20 分

圖四放大器之參數如下：

R1=R3=Ro2=1 kΩR_1=R_3=R_{o2}=1\ \mathrm{k\Omega} Ri1=R2=2 kΩR_{i1}=R_2=2\ \mathrm{k\Omega} Ri2=8 kΩ,Ro1=7 kΩR_{i2}=8\ \mathrm{k\Omega},\qquad R_{o1}=7\ \mathrm{k\Omega} A1=10 V/V,A2=5 V/VA_1=10\ \mathrm{V/V},\qquad A_2=5\ \mathrm{V/V}

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求算放大器之輸入電阻 RifR_{if}、輸出電阻 RofR_{of}，以及電壓增益

Av=vovsA_v=\frac{v_o}{v_s}
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核心觀念

本題考有限電壓增益與有限輸入、輸出電阻的兩級放大器。以小訊號等效電路分析：

  • Ri1R_{i1}、Ri2R_{i2} 分別跨接各級的差動輸入端。
  • 各級受控電壓源分別為 A1(v+1−v−1)A_1(v_{+1}-v_{-1})、A2(v+2−v−2)A_2(v_{+2}-v_{-2})，並各自串聯輸出電阻 Ro1R_{o1}、Ro2R_{o2}。
  • 輸入電阻定義為 Rif=vs/isR_{if}=v_s/i_s；輸出電阻則將輸入訊號設為零，從輸出端加測試電壓求得 Rof=vt/itR_{of}=v_t/i_t。

以下以 kΩ\mathrm{k\Omega} 為電阻單位。

解題方法

令 v1v_1 為第一級反相端電壓，vxv_x 為第一級輸出電阻 Ro1R_{o1} 後、第二級非反相端的電壓，輸出電壓為 vov_o。

第二級反相端接地，因此第一級受控電壓源為 10(vs−v1)10(v_s-v_1)。由 Ro1R_{o1} 與 Ri2R_{i2} 分壓：

vx=Ri2Ro1+Ri2 10(vs−v1)=815 10(vs−v1)=163(vs−v1)v_x=\frac{R_{i2}}{R_{o1}+R_{i2}}\,10(v_s-v_1) =\frac{8}{15}\,10(v_s-v_1) =\frac{16}{3}(v_s-v_1)

第二級受控電壓源為 5vx5v_x，串聯 Ro2=1R_{o2}=1。在輸出節點寫 KCL：

vo−5vx1+voR3+vo−v1R2=0\frac{v_o-5v_x}{1}+\frac{v_o}{R_3}+\frac{v_o-v_1}{R_2}=0

代入 R3=1R_3=1、R2=2R_2=2：

vo=2vx+v15v_o=2v_x+\frac{v_1}{5}

在第一級反相端寫 KCL，該節點連接 Ri1R_{i1}、R1R_1 與 R2R_2：

v1−vs2+v11+v1−vo2=0\frac{v_1-v_s}{2}+\frac{v_1}{1}+\frac{v_1-v_o}{2}=0

因此

v1=vs+vo4v_1=\frac{v_s+v_o}{4}

將 vx=163(vs−v1)v_x=\frac{16}{3}(v_s-v_1) 代入輸出關係：

vo=323vs−15715v1v_o=\frac{32}{3}v_s-\frac{157}{15}v_1

與 v1=vs+vo4v_1=\frac{v_s+v_o}{4} 聯立，可得

v1vs=175217,vovs=483217\frac{v_1}{v_s}=\frac{175}{217}, \qquad \frac{v_o}{v_s}=\frac{483}{217}

所以電壓增益為

Av=vovs=483217≈2.23 V/VA_v=\frac{v_o}{v_s}=\frac{483}{217}\approx 2.23\ \mathrm{V/V}

輸入電阻

訊號源電流流過跨接第一級差動輸入端的 Ri1R_{i1}，故

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第 五 題20 分

圖五邏輯閘輸入訊號 vIv_I 的高、低電位分別為 +5 V+5\ \mathrm{V}、0 V0\ \mathrm{V}，CLC_L 為負載電容。電晶體之

∣VA∣→∞|V_A|\to\infty

不考慮 body effect。其中 Q1Q_1 與 Q2Q_2 之 β=50\beta=50，且導通時

VBE=0.7 VV_{BE}=0.7\ \mathrm{V}

QPQ_P 與 QNQ_N 之臨界電壓為

∣Vtp∣=∣Vtn∣=0.8 V|V_{tp}|=|V_{tn}|=0.8\ \mathrm{V}

且

kn=2.5kp=0.2 mA/V2,(W/L)n=1k_n=2.5k_p=0.2\ \mathrm{mA/V^2},\qquad (W/L)_n=1

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（一）在 vI=+5 Vv_I=+5\ \mathrm{V} 與 0 V0\ \mathrm{V} 的穩態時，求 vOv_O 的電位，並判斷 QPQ_P 與 QNQ_N 各自的工作區為何？（10 分）

（二）vI=+2.5 Vv_I=+2.5\ \mathrm{V} 為此邏輯閘的臨界電壓，此時所有電晶體均導通，QPQ_P 與 QNQ_N 的電流相同，且 Q1Q_1 與 Q2Q_2 的集極電流相同。求算 (W/L)p(W/L)_p 的值與 Q1Q_1 的集極電流。（10 分）

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核心觀念

本題考查互補 MOSFET 驅動雙極性電晶體的邏輯閘。先依輸入電位判斷 QPQ_P、QNQ_N 是否導通，再用 MOSFET 工作區條件判斷其區域；臨界電壓時，則以 MOSFET 電流供應 BJT 基極電流，配合題目給定的電流相等條件求尺寸與集極電流。

採用長通道平方律模型：

  • 截止：VGS<VtnV_{GS}<V_{tn}（NMOS），或 VSG<∣Vtp∣V_{SG}<|V_{tp}|（PMOS）。
  • 飽和區：VDS≥VGS−VtnV_{DS}\ge V_{GS}-V_{tn}（NMOS），或 VSD≥VSG−∣Vtp∣V_{SD}\ge V_{SG}-|V_{tp}|（PMOS）。
  • 三極區：上述飽和條件不成立但通道已導通。
  • BJT 導通時，IC=βIBI_C=\beta I_B；Q1Q_1 為射極隨耦器，VB1=vO+0.7 VV_{B1}=v_O+0.7\ \mathrm V。

解題方法

（一）穩態輸出與 MOSFET 工作區

QPQ_P 的源極接 +5 V+5\ \mathrm V、QNQ_N 的源極接地；Q1Q_1 的射極接輸出，Q2Q_2 的基極經 QNQ_N 接輸出。

  • 當 vI=0v_I=0：QPQ_P 導通、QNQ_N 截止。QPQ_P 將 Q1Q_1 基極拉高，使 Q1Q_1 導通，故 vO=5−0.7=4.3 V.v_O=5-0.7=4.3\ \mathrm V. 此時 QPQ_P 的源汲端電位接近，故在三極區；QNQ_N 截止。
  • 當 vI=5 Vv_I=5\ \mathrm V：QPQ_P 截止、QNQ_N 導通。Q1Q_1 不再由 QPQ_P 驅動；輸出端經導通的 QNQ_N 連到 Q2Q_2 基極，使輸出放電並停在低電位，故 vO=0 V.v_O=0\ \mathrm V. 此時 QNQ_N 導通而其兩端電壓為零，屬三極區；QPQ_P 截止。

（二）臨界輸入時的 (W/L)p(W/L)_p 與 Q1Q_1 集極電流

當 vI=2.5 Vv_I=2.5\ \mathrm V 時，題目給定兩個 MOSFET 電流相同、兩個 BJT 集極電流相同。MOSFET 電流分別供應 Q1Q_1 與 Q2Q_2 的基極電流，因此 IB1=IB2,IC1=IC2.I_{B1}=I_{B2},\qquad I_{C1}=I_{C2}.

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