110 高普考高考三級 電子工程 電子學 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・電子工程
試題代碼 電子學

第 一 題20 分

下圖電路中，VDD=VSS=5 VV_{DD}=V_{SS}=5\ \mathrm{V}、ID2=1 mAI_{D2}=1\ \mathrm{mA}。電晶體 M1M_1 與 M2M_2 具有相同的長度 LL，但其寬度比為 W2/W1=5W_2/W_1=5。電晶體參數為 kn′(W/L)1=1 mA/V2k_n'(W/L)_1=1\ \mathrm{mA/V^2}、Vt=0.8 VV_t=0.8\ \mathrm{V}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）求算 RR 值。

（二）當 M2M_2 操作於飽和區時，求算 vD2v_{D2} 的最小電壓。

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核心觀念

此題考 NMOS 電流鏡的電流比例、MOSFET 飽和區平方律，以及飽和區的最低汲極電壓。採用長通道平方律並忽略通道長度調變：

ID=12kn′(W/L)VOV2,VOV=VGS−VtI_D=\frac{1}{2}k_n'(W/L)V_{OV}^2,\qquad V_{OV}=V_{GS}-V_t

圖中電源軌為 +VDD=+5 V+V_{DD}=+5\ \mathrm{V} 與 −VSS=−5 V-V_{SS}=-5\ \mathrm{V}。

解題方法

M1M_1 的汲極與閘極相接，且 M1M_1、M2M_2 的閘極相連、源極相連，因此兩管的 VGSV_{GS} 相同。由於 W2/W1=5W_2/W_1=5，平方律下兩管的汲極電流比為 ID2/ID1=5I_{D2}/I_{D1}=5，所以

ID1=ID25=0.2 mAI_{D1}=\frac{I_{D2}}{5}=0.2\ \mathrm{mA}

（一）求 RR

由 M1M_1 的平方律求過驅電壓：

0.2=12(1)(VOV1)2⟹VOV1=0.4=0.6325 V0.2=\frac{1}{2}(1)(V_{OV1})^2 \quad\Longrightarrow\quad V_{OV1}=\sqrt{0.4}=0.6325\ \mathrm{V}

因此

VGS1=Vt+VOV1=0.8+0.6325=1.4325 VV_{GS1}=V_t+V_{OV1}=0.8+0.6325=1.4325\ \mathrm{V}

M1M_1 源極接在 −5 V-5\ \mathrm{V}，所以其閘極與汲極節點電壓為

VG1=VD1=−5+1.4325=−3.5675 VV_{G1}=V_{D1}=-5+1.4325=-3.5675\ \mathrm{V}

電阻 RR 的電流為 ID1=0.2 mAI_{D1}=0.2\ \mathrm{mA}，故

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第 二 題20 分

下圖電路中，R1=0.5 kΩR_1=0.5\ \mathrm{k\Omega}、R2=0.5 kΩR_2=0.5\ \mathrm{k\Omega}、RL=1 kΩR_L=1\ \mathrm{k\Omega}。

假設運算放大器為理想，二極體 D1D_1 的電壓－電流關係式為

i=IS(evD/VT−1),i=I_S\left(e^{v_D/V_T}-1\right),

其中 VT=25.3 mVV_T=25.3\ \mathrm{mV}，且當 1 mA1\ \mathrm{mA} 電流流過 D1D_1 時，其跨壓為 0.8 V0.8\ \mathrm{V}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）當 vI=2 Vv_I=2\ \mathrm{V} 時，求算 vAv_A。

（二）假設運算放大器增益為 5050，二極體跨壓為固定的 0.8 V0.8\ \mathrm{V}。當 vI=3 Vv_I=3\ \mathrm{V} 時，求算 vOv_O。

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核心觀念

本題考查運算放大器的閉迴路關係、電阻回授分壓，以及二極體的 Shockley 方程式。

圖中 D1D_1 的陽極接運算放大器輸出 vAv_A，陰極接輸出端 vOv_O，所以導通時：

vA=vO+vDv_A=v_O+v_D

反相端由 R2R_2、R1R_1 分壓，且 R1=R2R_1=R_2，因此：

v−=R1R1+R2vO=vO2v_-=\frac{R_1}{R_1+R_2}v_O=\frac{v_O}{2}

解題方法

（一）vI=2 Vv_I=2\ \mathrm{V} 時，求 vAv_A

運算放大器理想且有負回授，故 v−=v+=vI=2 Vv_-=v_+=v_I=2\ \mathrm{V}。由分壓關係：

vO2=2⇒vO=4 V\frac{v_O}{2}=2 \quad\Rightarrow\quad v_O=4\ \mathrm{V}

輸出端流經負載與回授電阻的電流分別為：

iRL=41 kΩ=4 mAi_{R_L}=\frac{4}{1\ \mathrm{k\Omega}}=4\ \mathrm{mA} iR2=4−20.5 kΩ=4 mAi_{R_2}=\frac{4-2}{0.5\ \mathrm{k\Omega}}=4\ \mathrm{mA}

因此二極體電流為：

iD=iRL+iR2=8 mAi_D=i_{R_L}+i_{R_2}=8\ \mathrm{mA}

由題目給定 1 mA1\ \mathrm{mA} 時二極體壓降為 0.8 V0.8\ \mathrm{V}，Shockley 方程式可寫成：

vD=VTln⁡[1+8(e0.8/VT−1)]≈0.8+VTln⁡8v_D =V_T\ln\left[1+8\left(e^{0.8/V_T}-1\right)\right] \approx 0.8+V_T\ln 8
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第 三 題20 分

下圖電路中，Rsig=125 kΩR_{\mathrm{sig}}=125\ \mathrm{k\Omega}、RG1=250 kΩR_{G1}=250\ \mathrm{k\Omega}、RG2=250 kΩR_{G2}=250\ \mathrm{k\Omega}、RD=4 kΩR_D=4\ \mathrm{k\Omega}、RS=2 kΩR_S=2\ \mathrm{k\Omega}、RL=4 kΩR_L=4\ \mathrm{k\Omega}、VDD=5 VV_{DD}=5\ \mathrm{V}。電晶體參數為 Vt=1 VV_t=1\ \mathrm{V}、VA=50 VV_A=50\ \mathrm{V}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）當電晶體 ID=0.5 mAI_D=0.5\ \mathrm{mA} 且 VOVV_{OV}（overdrive voltage）=0.5 V=0.5\ \mathrm{V}，求算增益

Gv=vovsigG_v=\frac{v_o}{v_{\mathrm{sig}}}

（僅直流分析時可忽略通道調變效應）。

（二）假設 vsigv_{\mathrm{sig}} 為弦波信號且電晶體操作於飽和區，求算 vsigv_{\mathrm{sig}} 可允許的最大峰值及其相對應的 vDv_D。

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核心觀念

本題考查共源 MOSFET 放大器的中頻小訊號增益，以及輸入振幅受飽和區限制時的最大擺幅。

交流分析時，耦合電容與旁路電容視為短路，VDDV_{DD} 為交流接地；直流分析時，電容視為開路。MOSFET 飽和區的小訊號跨導為

gm=2IDVOVg_m=\frac{2I_D}{V_{OV}}

通道長度調變造成的輸出電阻為 ro=VA/IDr_o=V_A/I_D。本題的直流工作點分析忽略通道長度調變。

（一）電壓增益

直流偏壓為

VG=5RG2RG1+RG2=2.5 V,VS=IDRS=1 VV_G=5\frac{R_{G2}}{R_{G1}+R_{G2}}=2.5\text{ V},\qquad V_S=I_D R_S=1\text{ V}

因此 VGS=1.5 VV_{GS}=1.5\text{ V}，與 Vt+VOV=1.5 VV_t+V_{OV}=1.5\text{ V} 相符。

中頻時 CSC_S 將源極交流接地，且 RG1R_{G1}、RG2R_{G2} 對交流而言都接地，所以輸入分壓為

vgvsig=RG1∥RG2Rsig+(RG1∥RG2)=125 kΩ125 kΩ+125 kΩ=12\frac{v_g}{v_{\mathrm{sig}}} =\frac{R_{G1}\parallel R_{G2}}{R_{\mathrm{sig}}+(R_{G1}\parallel R_{G2})} =\frac{125\text{ k}\Omega}{125\text{ k}\Omega+125\text{ k}\Omega} =\frac12

小訊號參數與汲極等效負載為

gm=2(0.5 mA)0.5 V=2 mS,ro=50 V0.5 mA=100 kΩg_m=\frac{2(0.5\text{ mA})}{0.5\text{ V}}=2\text{ mS}, \qquad r_o=\frac{50\text{ V}}{0.5\text{ mA}}=100\text{ k}\Omega RD∥RL∥ro=4 kΩ∥4 kΩ∥100 kΩ≈1.961 kΩR_D\parallel R_L\parallel r_o =4\text{ k}\Omega\parallel4\text{ k}\Omega\parallel100\text{ k}\Omega \approx1.961\text{ k}\Omega

共源級反相，因此

Gv=vovsig=−gm(RD∥RL∥ro)vgvsig≈−(2 mS)(1.961 kΩ)(12)=−1.96G_v=\frac{v_o}{v_{\mathrm{sig}}} =-g_m(R_D\parallel R_L\parallel r_o)\frac{v_g}{v_{\mathrm{sig}}} \approx-(2\text{ mS})(1.961\text{ k}\Omega)\left(\frac12\right) =-1.96

（二）飽和區限制下的最大輸入峰值

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第 四 題20 分

下圖電路中，RS=10 kΩR_S=10\ \mathrm{k\Omega}、R1=1 kΩR_1=1\ \mathrm{k\Omega}、R2=1 MΩR_2=1\ \mathrm{M\Omega}、RL=2 kΩR_L=2\ \mathrm{k\Omega}。運算放大器參數為：開路增益 Av=1000A_v=1000、輸入差動阻抗 Rid=100 kΩR_{id}=100\ \mathrm{k\Omega}、輸出阻抗 Ro=1 kΩR_o=1\ \mathrm{k\Omega}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）求算閉迴路增益 vo/viv_o/v_i。

（二）求算 RinR_{in}。

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核心觀念

本題考有限開迴路增益、差動輸入電阻及輸出電阻下的非反相放大器。不能直接套用理想運算放大器的「虛短」與「輸入電流為零」，而要依有限參數建立節點方程。

以 v+v_+、v−v_- 表示同相與反相輸入端電壓，運算放大器內部受控電壓源為 Av(v+−v−)A_v(v_+-v_-)，並串聯輸出電阻 RoR_o。題目所求 RinR_{in} 是從運算放大器同相輸入端往內看的輸入電阻，不包含訊號源串聯電阻 RSR_S。

解題方法

令 vi=1 Vv_i=1\ \mathrm{V}，以 kΩ\mathrm{k\Omega} 為電阻單位。輸入端的 KCL 為

vi−v+RS=v+−v−Rid\frac{v_i-v_+}{R_S}=\frac{v_+-v_-}{R_{id}}

代入 RS=10R_S=10、Rid=100R_{id}=100：

v+−v−=10(1−v+),v−=11v+−10v_+-v_-=10(1-v_+),\qquad v_-=11v_+-10

反相端 KCL：

v−R1+v−−voR2+v−−v+Rid=0\frac{v_-}{R_1}+\frac{v_--v_o}{R_2} +\frac{v_--v_+}{R_{id}}=0

代入各電阻值後可得

vo=1011v−−10v+=11111v+−10110v_o=1011v_--10v_+=11111v_+-10110

輸出端 KCL，包含 RoR_o、RLR_L 與回授電阻 R2R_2：

vo−Av(v+−v−)Ro+voRL+vo−v−R2=0\frac{v_o-A_v(v_+-v_-)}{R_o} +\frac{v_o}{R_L}+\frac{v_o-v_-}{R_2}=0

代入數值，並使用 v+−v−=10(1−v+)v_+-v_-=10(1-v_+)：

1.501vo−0.001v−=10000(1−v+)1.501v_o-0.001v_-=10000(1-v_+)

聯立以上方程，得到

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第 五 題20 分

（一）CMOS 邏輯包含上拉網路（pull-up network）與下拉網路（pull-down network），試畫出 CMOS 邏輯

Y=D+A⋅(B+C)Y=D+A\cdot(B+C)

之電路。

（二）下圖為一反相器電路的標準元件。若要使第（一）小題 CMOS 邏輯與此標準反相器具有相似的傳遞時間，請標示第（一）小題 CMOS 邏輯電路中每顆電晶體的寬長比（W/LW/L）。

標準反相器中，PMOS 電晶體的

WL=3 μm1 μm,\frac{W}{L}=\frac{3\ \mu\mathrm{m}}{1\ \mu\mathrm{m}},

NMOS 電晶體的

WL=1 μm1 μm。\frac{W}{L}=\frac{1\ \mu\mathrm{m}}{1\ \mu\mathrm{m}}。

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核心觀念

CMOS 靜態邏輯由上拉網路與下拉網路互補構成：

  • **下拉網路（PDN）**使用 NMOS，輸出 Y=0Y=0 時導通。
  • **上拉網路（PUN）**使用 PMOS，輸出 Y=1Y=1 時導通。
  • 串聯代表邏輯 AND，並聯代表邏輯 OR。由 PDN 的拓樸交換串、並聯，即可得到互補的 PUN。

本題函數為

Y=D+A(B+C)Y=D+A(B+C)

因此 PDN 對應 D+A(B+C)D+A(B+C)；PUN 則對應其反相條件：

Y‾=D+A(B+C)‾=D‾ (A‾+B‾ C‾)\overline{Y} =\overline{D+A(B+C)} =\overline D\,(\overline A+\overline B\,\overline C)

解題方法

**下拉網路 PDN：**輸出在 D=1D=1 時可直接接地；另一條接地路徑須滿足 A=1A=1，且 BB 或 CC 至少一個為 1。因此，DD 支路與 AA 串聯 (B∥C)(B\parallel C) 支路並聯。

 ┌── NMOS D ── GND
Y ──────────────────────┤
 └── NMOS A ──┬── NMOS B ── GND
 └── NMOS C ── GND

**上拉網路 PUN：**依照德摩根定律，PUN 在 D=0D=0，且 A=0A=0 或 B=C=0B=C=0 時導通。故 PMOS DD 與「PMOS AA 並聯 PMOS B、CB、C 串聯」的網路串聯。

VDD ── PMOS D ──┬── PMOS A ─────────┬── Y
 └── PMOS B ── PMOS C ┘

以上每顆電晶體的閘極分別接上其標示的輸入訊號。

寬長比計算

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