109 高普考高考三級 氣象 大氣物理學（包括大氣輻射與雲物理） 考古題詳解

核心觀念

本題考水氣紅外線輻射計算中的相關－$k$ 分布法（correlated-$k$ distribution method）。逐線計算法逐一處理每條吸收譜線，準確但計算量大；相關－$k$ 法則把每個波段內的吸收係數依強弱排序，改用累積分布座標 $g$ 積分，減少需要計算的頻點。

附圖上半部的普朗克函數隨波數平滑變化，且 $290\ \mathrm{K}$ 曲線高於 $210\ \mathrm{K}$；下半部的水氣吸收截面則有許多尖銳譜線，強度跨越多個數量級。這種「普朗克函數平滑、吸收係數高度不均勻」的特性，正適合用 $k$ 分布法處理。

解題方法

先把紅外線範圍分成若干窄波段。在波段 $b$ 內，令吸收係數為 $k_{\tilde\nu}$，將所有波數位置依 $k_{\tilde\nu}$ 由小到大排序，定義累積分布座標

排序後得到單調的 $k(g)$：$g$ 小處代表弱吸收，$g$ 大處代表強吸收。原本在波數座標中密集起伏的吸收線，因此可改用少數幾個 $g$ 點代表。

若波段內普朗克函數變化不大，可用波段平均值近似；若變化不可忽略，則採用普朗克加權的 $g$ 分布，或增加波段數並使用適當的加權積分。以向下通量為例，波數積分可改寫為

其中每個代表點 $i$ 使用 $k(g_i)$ 計算該波段的光學厚度，例如均勻吸收層的光學厚度為 $\tau_i=k(g_i)u$，$u$ 為吸收物質的柱量。原先需要大量逐線計算的頻點，便可由較少的 $N_g$ 個積分點取代。

整層大氣計算時，還要保留不同高度間的吸收強弱排序關聯：同一個 $g$ 點在各層代表相近排名的吸收譜線。這項相關假設使分層光學厚度能一致地累積，避免各層各自排序後錯誤配對吸收線。

處理後的示意圖與附圖差異

原圖以波數為橫軸：普朗克曲線平滑，吸收截面則呈現大量尖峰。相關－$k$ 法將每個窄波段內的波數重新排序，以 $g$ 取代波數作為積分座標。以下是概念示意：

核心觀念

本題考的是大氣中各氣體對太陽短波與地球長波輻射的吸收、放射作用，以及輻射加熱率如何隨高度改變。圖中橫軸為溫度變化率，正值代表加熱，負值代表冷卻；細實線是短波輻射，細虛線是長波輻射，粗實線是各氣體輻射效應加總後的淨溫度變化率。

輻射加熱率可用淨輻射通量的垂直散度表示：

其中，$\rho$ 為空氣密度，$c_p$ 為定壓比熱，$F_{\mathrm{net}}$ 為淨輻射通量。氣體吸收輻射會使所在氣層增暖；氣層向外放射能量則會使其冷卻。

解題方法

先依各氣體的分布與吸收光譜辨認曲線：水氣主要集中在對流層，臭氧吸收太陽紫外線並主要分布於平流層，二氧化碳則分布較均勻且能吸收地球長波輻射。再以各氣體吸收或放射輻射的波段，對照圖中的加熱率高度分布。

圖例只標示長波、短波及淨輻射，沒有直接標出氣體名稱；依典型晴空大氣輻射剖面的形狀，可作以下判讀。

（一）各條曲線所代表的氣體

• 臭氧（O₃）：短波實線中，隨高度增加而顯著增大的正加熱曲線，主要來自臭氧吸收太陽紫外線。臭氧層位於平流層，因此其短波加熱在平流層較明顯。
• 水氣（H₂O）：長波虛線中，低層大氣冷卻較強、隨高度上升迅速減弱的曲線，主要來自水氣放射地球長波輻射。水氣大多集中在對流層低層，因此其輻射效應集中在低層。
• 二氧化碳（CO₂）：長波虛線中，隨高度變化較廣、在較高層仍有冷卻作用的曲線，主要來自二氧化碳放射長波輻射。二氧化碳能在地球長波波段吸收並放射，且在大氣中的分布較水氣均勻。
• 短波輻射中的水氣吸收：低層大氣的短波正加熱曲線，主要來自水氣吸收部分太陽近紅外輻射。
• 短波輻射中的二氧化碳效應：相較於臭氧及水氣，其短波加熱很小，曲線接近零。
• 粗實線：各氣體短波與長波輻射效應加總後的淨輻射溫度變化率。

（二）曲線隨高度變化的原因

1. 水氣含量隨高度快速減少：水氣主要集中在對流層低層，故其吸收太陽近紅外線及放射長波造成的加熱、冷卻都集中於低層，向上迅速減弱。
2. 臭氧在平流層有較高濃度：臭氧吸收紫外線，使平流層短波加熱明顯；臭氧濃度在不同高度的分布，也使該加熱率呈現高度差異。

核心觀念

判斷粒子屬於哪種典型散射，先比較粒子直徑 $D$ 與雷達波長 $\lambda$，也可用尺寸參數

其中 $a=D/2$。當 $x\ll1$，屬於 Rayleigh 散射；當 $x$ 與 1 同量級或更大，需用 Mie 散射描述。CloudSat CPR 使用 $94\ \mathrm{GHz}$ 雷達波，波長約為 $3.2\ \mathrm{mm}$。NASA CloudSat CPR 資料 NASA 大氣輻射教材

解題方法

由光速與頻率求波長：

接著分別計算兩種粒子的尺寸參數，再與 1 比較。

（一）直徑 $10\ \mathrm{\mu m}$ 的雲滴

雲滴遠小於雷達波長，因此主要屬於 Rayleigh 散射。

（二）直徑 $4\ \mathrm{mm}$ 的雨滴

尺寸參數與 1 同量級且大於 1，因此屬於 Mie 散射。

（三）兩種散射的特徵

Rayleigh 散射：

• 粒子尺寸遠小於波長，可視為入射電磁波激發的小型偶極子。
• 散射強度對波長高度敏感；在 Rayleigh 條件下，散射截面大致與粒子直徑六次方成正比、與波長四次方成反比：

核心觀念

本題考人為氣溶膠對地球輻射收支的直接效應與雲調整效應。判讀圖示時，可先分辨氣溶膠是直接改變輻射傳遞，還是先改變雲滴、降水或雲量，再間接改變輻射。

地球頂端的淨輻射收支可概念化表示為：

其中 $\alpha$ 是地球反照率，$S_0$ 是太陽常數，$\mathrm{OLR}$ 是向外長波輻射。氣溶膠若增加短波反射，通常使地球冷卻；若吸收短波、減少雲量或減少向外長波輻射，則可能使地球增暖。氣溶膠的淨氣候效應取決於粒子種類、大小、所在高度、雲況及地表條件。

解題方法

依圖由左至右，先看太陽直射光是否被氣溶膠散射或吸收，再看雲中粒子與降水的變化，最後判斷雲量與輻射收支如何改變。圖中未標出各作用的文字標籤，以下依其粒子、雲滴、降水及箭頭示意說明。

由左至右逐一說明

一、氣溶膠直接輻射效應：散射與吸收

左側顯示大氣中的氣溶膠直接作用於太陽短波輻射。

• 散射型氣溶膠（如硫酸鹽、部分有機氣溶膠）將太陽光散射回太空，降低地球吸收的短波能量，通常形成負輻射強迫，使地表與對流層冷卻。
• 吸收型氣溶膠（如黑碳）吸收太陽輻射，使大氣層增暖；到達地表的短波輻射則減少。其對地球頂端輻射收支的效應與粒子高度、地表反照率及周圍雲況有關，可能造成大氣增暖，甚至形成正輻射強迫。

因此，不能只用「氣溶膠增加」推定氣候效應方向；需同時辨認它的散射與吸收特性。

二、雲滴數目與雲反照率：雲滴反照率效應

氣溶膠可作為雲凝結核（CCN）。在液態水含量與雲厚大致相同時，CCN 增加通常形成數目較多、平均半徑較小的雲滴。

雲的光學厚度可概念表示為：

其中 $\mathrm{LWP}$ 是液態水路徑，$r_e$ 是雲滴有效半徑。雲滴變小時，雲的光學厚度通常增加，雲反射更多太陽短波輻射，雲下地表收到的短波減少，整體傾向冷卻。這稱為雲反照率效應，也常稱第一間接效應或 Twomey 效應。

三、雲滴變小對碰併與降水的影響：雲壽命效應

雲滴較小且數目較多時，雲滴間的碰撞與合併較不容易發生，暖雲降水形成可能受到抑制。圖中的降水線條與雲滴示意反映了這類雲微物理改變。

若降水減少，雲水較不易被移除，雲的壽命或雲中液態水量可能增加，雲覆蓋也可能擴大。雲若維持較久、反射更多短波輻射，會加強冷卻效應。這稱為雲壽命效應，也常稱第二間接效應或 Albrecht 效應。

核心觀念

雨滴蒸發可用凝結成長方程描述。以雨滴半徑平方 $r^2$ 為變數，當飽和比 $S$ 與常態化凝結成長參數 $\xi_1$ 不變時，

其中 $S=e/e_s$，$e$ 為水汽壓、$e_s$ 為該環境溫度下的飽和水汽壓。相對濕度以百分比表示時，$\mathrm{RH}=100S\%$。未飽和環境有 $S<1$，所以雨滴半徑平方隨時間減小。

解題方法

題目給定 $\xi_1=100\ \mathrm{\mu m^2\,s^{-1}}$，且下落過程中 $S$ 與 $\xi_1$ 維持不變，因此可直接積分：

雨滴經過 $500\ \mathrm{s}$ 完全蒸發，故末態半徑 $r(t)=0$。代入初始半徑 $r_0=200\ \mathrm{\mu m}$：