110 高普考高考三級 氣象 大氣物理學（包括大氣輻射與雲物理） 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・氣象
試題代碼 大氣物理學（包括大氣輻射與雲物理）

第 一 題15 分

地球系統的輻射平衡方程為 π(1−α)SR2=4πR2σTe4\pi(1-\alpha)SR^2=4\pi R^2\sigma T_e^4 由此可得地球有效平衡溫度 Te=[(1−α)S4σ]1/4T_e=\left[\frac{(1-\alpha)S}{4\sigma}\right]^{1/4} 其中，RR 為地球半徑，σ=5.67×10−8 W m−2 K−4\sigma=5.67\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}} 為 Stefan–Boltzmann constant。

(一) 說明 SS、α\alpha 的意義，以及此式成立的前提。（5 分）

(二) 以現今 SS、α\alpha 的數值計算，Te=254.6 KT_e=254.6\ \mathrm{K}；此數值遠低於目前的全球地表平均溫度（288 K288\ \mathrm{K}），主要原因為何？（5 分）

(三) 太陽表面溫度約為 5500 K5500\ \mathrm{K}，黑體電磁輻射光譜輻射度峰值波長 λmax⁡\lambda_{\max} 為 527 nm527\ \mathrm{nm}；則在外太空觀察地球的 λmax⁡\lambda_{\max} 為何？（5 分）

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核心觀念

本題考查地球頂層輻射平衡、地球有效平衡溫度，以及黑體輻射的 Wien 位移定律。地球吸收的太陽短波輻射若與向外放射的長波輻射達到平衡，即可由 Stefan–Boltzmann 定律求得有效平衡溫度：

πR2(1−α)S=4πR2σTe4\pi R^2(1-\alpha)S=4\pi R^2\sigma T_e^4

其中地球截面積 πR2\pi R^2 決定攔截的太陽能量，地球表面積 4πR24\pi R^2 則決定向外放射的能量。

（一）SS、α\alpha 的意義與成立前提

  • SS 為太陽常數，指地球與太陽平均距離處、垂直於太陽光線的單位面積所接收的太陽輻射通量，單位為 W m−2\mathrm{W\,m^{-2}}。
  • α\alpha 為地球行星反照率（planetary albedo），表示地球系統將入射太陽短波輻射反射回太空的比例；因此吸收比例為 1−α1-\alpha。

此平衡式成立的主要前提為：

  1. 地球系統處於長期平均輻射平衡，吸收的太陽短波能量等於向太空放射的長波能量。
  2. 地球攔截太陽輻射的有效面積為 πR2\pi R^2，而向外放射的面積為 4πR24\pi R^2。
  3. 地球可視為溫度均勻的黑體，放射通量服從 σTe4\sigma T_e^4；且 SS、α\alpha 代表適用於全球平均的數值。
  4. 忽略大氣、地表間的輻射細節及其他能量來源或儲存變化。所得 TeT_e 是地球向太空放射輻射所對應的有效溫度，不等同地表平均溫度。

（二）有效平衡溫度低於地表平均溫度的原因

Te=254.6 KT_e=254.6\ \mathrm{K} 是由地球向太空放射的長波輻射推得的有效放射溫度。地球表面平均溫度約為 288 K288\ \mathrm{K}，較高的主要原因是大氣溫室效應。

大氣中的水氣、二氧化碳等溫室氣體吸收地表放出的長波輻射，並向上、向下再放射。向下的長波輻射增加地表所接收的能量，使地表及近地面暖化；而地球向太空放射的有效輻射主要來自較高、溫度較低的大氣層。因此，以頂層輻射平衡反推的 TeT_e 低於地表平均溫度。

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第 二 題20 分

(一) 大氣粒子對電磁波的散射可分為雷利散射與米氏散射。此兩種散射的分野為何？（5 分）

(二) 說明以下過程屬於何種散射：

  1. 530 nm 光達掃描氣膠；
  2. 550 nm 光達掃描雲滴；
  3. C 波段（4–8 GHz）雷達掃描雨滴。

（15 分）

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核心觀念

本題考查以粒子尺寸相對於電磁波波長判斷散射型態。常用的無因次尺寸參數為

x=2πrλ=πDλx=\frac{2\pi r}{\lambda}=\frac{\pi D}{\lambda}

其中 rr 為粒子半徑、DD 為粒子直徑、λ\lambda 為電磁波波長。

  • 雷利散射（Rayleigh scattering）：當 x≪1x\ll 1，也就是粒子遠小於波長時，適用雷利近似。散射強度對波長有強烈依賴，常以與 λ−4\lambda^{-4} 成正比概括；散射光也具有明顯的角度與偏振特性。
  • 米氏散射（Mie scattering）：當粒子尺寸與波長相近或大於波長時，散射不能再用雷利近似描述。米氏理論是均勻球形粒子散射電磁波的完整解，適用範圍比雷利散射廣；大粒子散射通常以向前散射較強為特徵。

判斷時要比較的是粒子尺寸與波長的比例，不能只看光達或雷達名稱。對複雜形狀的氣膠與水滴，實際散射還受粒子形狀、折射率及波長影響；本題依氣象上常用的代表性粒徑判斷。

解題方法

先將各電磁波波長與粒子尺度放在同一尺度下比較，再套用尺寸參數 xx：

  • 若粒子遠小於波長，判為雷利散射。
  • 若粒子與波長相當或更大，判為米氏散射範圍。

1. 530 nm 光達掃描氣膠

氣膠粒徑分布很廣，但能見度與光學光達常見的氣膠粒子尺寸可與可見光波長相當。以半徑 r=0.1 μmr=0.1\,\mu\text{m} 的代表性細氣膠估算：

x=2π(0.1 μm)0.530 μm≈1.19x=\frac{2\pi(0.1\,\mu\text{m})}{0.530\,\mu\text{m}}\approx 1.19

尺寸參數已非遠小於 1，因此氣膠對 530 nm 光達的主要散射分類為米氏散射。極小的氣膠仍可落在雷利近似範圍，但不改變本題的典型分類。

2. 550 nm 光達掃描雲滴

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第 三 題5 分

如圖，根據輻射平衡（radiative equilibrium）之假設所算出的對流層溫度遞減率，明顯高於實際大氣（global average）的溫度遞減率；說明其原因。

圖中曲線與標示如下：

  • Radiative Equilibrium
  • Dry Adiabat（9.8 K km−19.8\ \mathrm{K\,km^{-1}}）
  • Global Average（6.5 K km−16.5\ \mathrm{K\,km^{-1}}）
  • Moist Adiabat

（5 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考的是輻射平衡與對流調整。定義環境溫度遞減率為

Γ=−dTdz\Gamma=-\frac{dT}{dz}

輻射平衡是假設大氣各層僅靠輻射收支達到平衡，沒有對流等非輻射熱傳輸。圖中輻射平衡曲線在對流層的遞減率明顯大於全球平均約 6.5 K km−16.5\ \mathrm{K\,km^{-1}}。

解題方法

比較輻射平衡遞減率與氣塊的絕熱遞減率，即可判斷大氣是否容易發生對流。未飽和氣塊上升時，近似依乾絕熱遞減率降溫：

Γd=gcp≈9.8 K km−1\Gamma_d=\frac{g}{c_p}\approx 9.8\ \mathrm{K\,km^{-1}}

飽和氣塊上升時，水氣凝結會釋放潛熱，抵銷部分膨脹冷卻，因此濕絕熱遞減率 Γm\Gamma_m 通常小於乾絕熱遞減率，且會隨溫度與水氣含量改變。

若環境遞減率大於氣塊上升時的絕熱遞減率，氣塊上升後仍比周圍暖，便具有浮力而繼續上升，形成對流。圖中的輻射平衡剖面因此呈現不穩定的陡峭遞減；

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第 四 題10 分

雲的反照率 α\alpha 與雲光學厚度 τ\tau 的關係可表示為 α≈ττ+7.7\alpha\approx\frac{\tau}{\tau+7.7}

雲光學厚度可表示為 τ=2πre2Nh=3L2reρl\tau=2\pi r_e^2Nh=\frac{3L}{2r_e\rho_l}

其中，rer_e 為雲滴平均粒徑，NN 為雲滴平均數量，hh 為雲厚度，LL 為單位面積上的雲水含量，ρl\rho_l 為液態水密度。

假設 LL 為定值，說明何謂 Twomey 效應？此效應在薄雲與厚雲的狀況有何差異？（10 分）

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核心觀念

本題考查 Twomey 效應（雲滴數目效應），以及雲反照率對雲滴粒徑與光學厚度的依賴。氣膠增加雲凝結核，使雲滴數目增加；在雲水含量固定時，雲滴平均半徑減小，雲反照率因而增加。

題目給定：

α≈ττ+7.7,τ=3L2reρl\alpha\approx\frac{\tau}{\tau+7.7}, \qquad \tau=\frac{3L}{2r_e\rho_l}

其中 α\alpha 為雲反照率、τ\tau 為光學厚度、rer_e 為雲滴有效半徑，LL 為單位面積雲水含量，ρl\rho_l 為液態水密度。

解題方法

在 LL 與 ρl\rho_l 固定時，

τ∝1re.\tau\propto\frac{1}{r_e}.

因此，雲滴半徑愈小，光學厚度愈大。又因為

∂α∂τ=7.7(τ+7.7)2>0,\frac{\partial\alpha}{\partial\tau} =\frac{7.7}{(\tau+7.7)^2}>0,

光學厚度增加會使反照率增加。

由 τ=2πre2Nh\tau=2\pi r_e^2Nh 可見，在雲厚度 hh 與雲水總量固定的前提下，較大的雲滴數目 NN 對應較小的平均半徑 rer_e。

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第 五 題10 分

假設空氣中雨水含量為 1 g m−31\ \mathrm{g\,m^{-3}}，雨滴大小一致，數量濃度為 1000 m−31000\ \mathrm{m^{-3}}。

(一) 雷達回波因子（單位為 mm6 m−3\mathrm{mm^6\,m^{-3}}）為多少 dBZ？（5 分）

(二) 若雨滴終端速度為 vt(D)=9.65−10.3e−0.6Dv_t(D)=9.65-10.3e^{-0.6D} 且 N0=4000N_0=4000，則降水強度為多少 mm h−1\mathrm{mm\,h^{-1}}？（5 分）

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核心觀念

雷達回波因子 ZZ 是各雨滴直徑六次方的總和；若雨滴大小一致，則 Z=ND6Z=ND^6，其中 DD 以 mm\mathrm{mm} 表示、NN 以 m−3\mathrm{m^{-3}} 表示。反射率以 10log⁡10Z10\log_{10}Z 表示為 dBZ。

降水強度是單位時間內通過單位水平面積的液態水體積，亦可由雨滴數量濃度、單滴體積與終端速度計算。題目說雨滴大小一致，因此每顆雨滴使用同一個直徑。

解題方法

先由液態水含量求單滴質量。每立方公尺空氣中的雨水質量為 1 g1\ \mathrm{g}，雨滴數量為 10001000 顆，因此每顆雨滴質量為

md=1 g m−31000 m−3=10−3 g=10−6 kg.m_d=\frac{1\ \mathrm{g\,m^{-3}}}{1000\ \mathrm{m^{-3}}} =10^{-3}\ \mathrm{g}=10^{-6}\ \mathrm{kg}.

取水的密度為 ρw=1000 kg m−3\rho_w=1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}，單滴體積為

Vd=mdρw=10−9 m3.V_d=\frac{m_d}{\rho_w}=10^{-9}\ \mathrm{m^3}.

假設雨滴為球形，則

Vd=π6D3,D=(6Vdπ)1/3=1.241×10−3 m=1.241 mm.V_d=\frac{\pi}{6}D^3, \qquad D=\left(\frac{6V_d}{\pi}\right)^{1/3} =1.241\times10^{-3}\ \mathrm{m} =1.241\ \mathrm{mm}.

（一）雷達回波因子

Z=ND6=1000(1.241)6≈3.64×103 mm6 m−3.Z=ND^6 =1000(1.241)^6 \approx 3.64\times10^3\ \mathrm{mm^6\,m^{-3}}.

因此

dBZ=10log⁡10Z=10log⁡10(3.64×103)≈35.6 dBZ.\mathrm{dBZ}=10\log_{10}Z =10\log_{10}(3.64\times10^3) \approx 35.6\ \mathrm{dBZ}.

（二）降水強度

依題給終端速度公式，將 DD 代入毫米單位：

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第 六 題10 分

說明雲內透過氣膠而進行「活化」（activation）與「核化」（nucleation）過程的物理意義，以及此二過程所牽涉到的氣膠類型有何不同。（10 分）

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核心觀念

本題比較雲微物理中的兩種氣膠作用：

  • 活化（activation）：氣膠吸水並長成雲滴，關鍵氣膠稱為雲凝結核（cloud condensation nuclei, CCN）。
  • 核化（nucleation）：氣膠促成冰晶形成，關鍵氣膠稱為冰核粒子（ice-nucleating particles, INP；亦稱冰核，ice nuclei）。

兩者都由氣膠提供凝結或相變的起始條件，但活化主要涉及水蒸氣凝結成液滴；核化在本題的雲物理脈絡中，主要指過冷雲滴或水氣形成冰晶的異質冰核化。

解題方法

先辨認兩個過程各自形成的雲粒子，再依形成機制對應氣膠類型：

  1. 活化：CCN 上形成雲滴 空氣上升冷卻時，相對濕度可超過 100%，水氣在可吸濕的氣膠上凝結。氣膠吸水後形成溶液滴；當環境過飽和度超過該粒子的臨界過飽和度，液滴越過 Köhler 曲線的臨界點，便能持續長大成雲滴。可概念化表示為 S>Sc⟹氣膠活化並形成雲滴S>S_c\quad\Longrightarrow\quad \text{氣膠活化並形成雲滴} 其中 SS 為環境過飽和度，ScS_c 為該粒子的臨界過飽和度。可溶、吸濕性高的粒子通常較容易成為 CCN，例如硫酸鹽、海鹽及部分有機氣膠；粒徑較大的粒子也通常較容易活化。

  2. 核化：INP 協助冰晶形成 在含過冷水滴的雲中，某些氣膠表面能降低水結冰的能障，使冰晶較容易形成。粒子可在水滴內促成浸沒凍結，也可在水滴表面或水氣相中促成其他異質冰核化途徑。典型 INP 包括礦物塵埃、部分生物性粒子及特定煙塵；

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第 七 題20 分

(一) 試述雲內冰晶主要、次要成長習性（growth habit）的環境控制因子。（10 分）

(二) 冰晶形狀偏離球型，對冰晶凝華成長與冰晶重力沉降有何影響？（10 分）

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核心觀念

冰晶的「習性」（habit）是指冰晶生長形成的外形，例如板狀、柱狀、針狀或枝狀。雲中冰晶主要由水氣凝華而成；不同晶面生長速率不同，便會形成不同形狀。控制冰晶習性的兩項主要環境因子是溫度與對冰過飽和度；其中溫度通常決定主要習性，過飽和度則會影響晶體的細部形貌與次要習性。

對冰過飽和度可寫為

Si=e−esi(T)esi(T)S_i=\frac{e-e_{si}(T)}{e_{si}(T)}

其中 ee 為環境水氣壓，esi(T)e_{si}(T) 為該溫度下冰面的飽和水氣壓。當 Si>0S_i>0，冰晶可由凝華增長；當 Si<0S_i<0，冰晶會昇華。冰面飽和水氣壓隨溫度改變，因此判讀習性時須同時考慮溫度和水氣供應，不能只看相對濕度數值。

解題方法：先判主要習性，再補充次要形貌

主要習性由冰晶不同晶面的相對生長速率控制。六方冰晶的底面（basal face）與柱面（prism face）若有不同生長速率，晶體便會沿不同方向伸長；溫度改變時，兩類晶面的表面生長特性也會改變。概括的典型溫度區間如下：

  • 約 −4∘C-4^\circ\mathrm{C} 至 0∘C0^\circ\mathrm{C}：常見薄板或六角板。
  • 約 −10∘C-10^\circ\mathrm{C} 附近：常見柱狀或針狀。
  • 約 −20∘C-20^\circ\mathrm{C} 附近：常見板狀及枝晶狀。
  • 更低溫時，形狀會依溫度與水氣條件呈現多樣變化，包括柱狀、板狀及多晶形態。

這些是常見的典型型態，不代表固定界線；實際形貌仍受過飽和度及雲內生長歷程影響。

次要習性則著重於主要外形上的細節，例如柱體中空、板晶扇形或枝狀、枝晶側枝發展，以及複雜的多晶外形。對冰過飽和度提高，通常會加快凝華供料並促進尖端、稜角及側枝發展；在較低過飽和度下，晶體常較緊密、平整，細部枝化較弱。過飽和度改變各晶面的生長速率，也會使同一溫度下的外形出現差異。

其他影響因素

除了溫度和對冰過飽和度，冰晶成長時的氣壓與水氣擴散、晶體通風、晶體濃度及相互競爭水氣、成核方式、晶體缺陷與雲滴凍結歷程，也會影響生長速率及外形。雲滴凍結形成的多晶冰粒，與由冰核直接成長的單晶，形貌可能不同。因此作答宜先寫明兩項主要控制因子，再列次要修飾因素。

（二）冰晶非球形對凝華成長及重力沉降的影響

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第 八 題10 分

由能量守恆的觀點，如何判定冰雹收集過冷水會以乾成長或濕成長的形式進行？（10 分）

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核心觀念

本題考的是冰雹收集過冷水時的熱量收支。過冷水滴撞上冰雹後會凍結並釋放凝結潛熱；冰雹則藉由與周圍空氣的熱傳，以及水滴本身升溫所吸收的熱量，移除這些熱。

  • 乾成長（dry growth）：釋出的熱能能及時移除，收集到的水滴幾乎全部凍結，冰雹表面維持在 0∘C0^\circ\mathrm C 以下。
  • 濕成長（wet growth）：熱量產生率超過散熱能力，冰雹表面升至約 0∘C0^\circ\mathrm C，部分收集水形成液態水膜，之後可被甩落或流失。

判斷核心是比較可移除的熱量與凍結產生的熱量。

解題方法：建立熱量收支

令冰雹收集過冷水的質量率為 m˙w\dot m_w，水滴的溫度為 Ta<0∘CT_a<0^\circ\mathrm C，冰雹表面溫度為 TsT_s。水滴凍結釋出的潛熱率為

Q˙latent=Lfm˙w,\dot Q_{\mathrm{latent}}=L_f\dot m_w,

其中 LfL_f 為水的凝結潛熱。水滴進入後若從 TaT_a 升溫至 0∘C0^\circ\mathrm C，還會吸收顯熱

Q˙sensible=cw(0−Ta)m˙w,\dot Q_{\mathrm{sensible}}=c_w(0-T_a)\dot m_w,

其中 cwc_w 為液態水的比熱。因而，凍結所造成、必須由冰雹移除的淨熱量率可寫為

Q˙net=[Lf−cw(0−Ta)]m˙w.\dot Q_{\mathrm{net}} = \left[L_f-c_w(0-T_a)\right]\dot m_w.

冰雹與環境的散熱率可概括寫成

Q˙out=hA(Ts−Ta)+Q˙vap,\dot Q_{\mathrm{out}} = hA(T_s-T_a)+\dot Q_{\mathrm{vap}},

其中 hh 為包含通風效應的熱傳係數，AA 為冰雹表面積；Q˙vap\dot Q_{\mathrm{vap}} 表示水汽擴散造成的熱量交換。若題目未要求細列水汽效應，可將散熱概括為冰雹向環境的熱傳。

判斷時比較兩者：

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氣象《大氣物理學（包括大氣輻射與雲物理）》其他年度

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