110 高普考高考三級 氣象 大氣動力學 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・氣象
試題代碼 大氣動力學

第 一 題20 分

請推導並說明何謂靜力平衡近似（hydrostatic approximation）及其適用的條件。

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核心觀念

本題考查大氣垂直動量方程的尺度分析，以及在何種尺度下可忽略垂直加速度。靜力平衡近似（hydrostatic approximation）表示：大氣垂直方向的壓力梯度力與重力近似平衡。

取 zz 軸向上，令垂直速度為 ww、空氣密度為 ρ\rho、氣壓為 pp、重力加速度為 gg。忽略黏滯力時，垂直動量方程可寫為

DwDt=−1ρ∂p∂z−g,\frac{Dw}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g,

其中 D/DtD/Dt 是隨氣流移動的物質導數。式中 −ρ−1∂p/∂z-\rho^{-1}\partial p/\partial z 為垂直壓力梯度加速度，−g-g 為重力加速度。

解題方法與推導

大氣尺度運動中，垂直速度通常遠小於水平速度，且垂直方向的特徵尺度遠小於水平特徵尺度。因而垂直加速度相對於重力通常很小，可近似令

DwDt≈0.\frac{Dw}{Dt}\approx 0.

代入垂直動量方程，得到

−1ρ∂p∂z−g≈0,-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g\approx 0,

亦即

∂p∂z≈−ρg.\boxed{\frac{\partial p}{\partial z}\approx-\rho g.}

此式即為靜力平衡方程。它表示氣壓隨高度增加而降低；某一高度以下的大氣重量，由該高度上下的壓力差支撐。若以位勢 Φ=gz\Phi=gz 表示，則靜力平衡也可寫成

∂p∂Φ≈−ρ.\frac{\partial p}{\partial \Phi}\approx-\rho.
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第 二 題20 分

在大氣中可用渦度描述氣流的旋轉，請解釋為什麼要定義出位渦這個物理量？在實驗室中用旋轉的圓形水槽做實驗時，如何根據位渦守恆定律，將小尺度運動類比到大尺度運動。

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核心觀念

渦度 ζ\zeta 描述流體局部的旋轉，但單看相對渦度，無法完整反映地球自轉造成的行星渦度 ff，也無法表現氣柱厚度改變時的伸縮效應。位渦把這些因素合併，使它成為描述大尺度旋轉流體的重要物理量。

對地球大氣中的三維、無摩擦且絕熱流動，Ertel 位渦可寫為

q=1ρωa⋅∇θ,ωa=ω+2Ω,q=\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\omega}_a\cdot\nabla\theta, \qquad \boldsymbol{\omega}_a=\boldsymbol{\omega}+2\boldsymbol{\Omega},

其中 ρ\rho 是密度、θ\theta 是位溫、ωa\boldsymbol{\omega}_a 是絕對渦度。在無摩擦、絕熱條件下，位渦隨氣塊守恆：

DqDt=0.\frac{Dq}{Dt}=0.

對淺水層或等效單層流體，常用的位渦形式是

q=ζ+fh,q=\frac{\zeta+f}{h},

其中 ζ\zeta 是相對渦度，f=2Ωsin⁡ϕf=2\Omega\sin\phi 是科氏參數，hh 是流體層厚度。這個式子顯示，當流體柱的厚度改變時，相對渦度會跟著調整，以維持位渦守恆。

解題方法

本題重點是把大氣中的「緯度造成的行星渦度變化」轉換成旋轉水槽中的「水深變化」，再用淺水位渦守恆說明兩者的動力相似。

在大氣中，若氣塊向北移動，ff 通常增加。若氣柱厚度變化不大，為維持位渦，氣塊的相對渦度會趨向減小，也就是產生反氣旋性渦度；向南移動則有相反的調整趨勢。這種因位渦背景梯度而產生的回復作用，是理解大尺度 Rossby 波的重要基礎。

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第 三 題20 分

中緯度 β\beta 平面之正壓羅士比波（barotropic Rossby wave）可用線性化之渦度方程描述如下：

∂∂t∇2ψ′+U‾∂∂x∇2ψ′+β∂ψ′∂x=0\frac{\partial}{\partial t}\nabla^2\psi' + \overline{U}\frac{\partial}{\partial x}\nabla^2\psi' + \beta\frac{\partial\psi'}{\partial x}=0

其中 ψ′\psi' 代表地轉流函數擾動場（perturbation geostrophic streamfunction），U‾\overline{U} 為平均緯向風（mean zonal wind），並假設平均經向風（mean meridional wind）為零。

(一) 請推導此波動之頻散關係。

(二) 請證明此波動相對於平均緯向風恆往西移。

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核心觀念

本題考查正壓羅士比波（barotropic Rossby wave）的頻散關係，以及波相對於平均緯向風的相速度方向。

給定線性化渦度方程：

∂∂t∇2ψ′+U‾∂∂x∇2ψ′+β∂ψ′∂x=0\frac{\partial}{\partial t}\nabla^2\psi' +\overline{U}\frac{\partial}{\partial x}\nabla^2\psi' +\beta\frac{\partial\psi'}{\partial x}=0

其中 β=∂f/∂y\beta=\partial f/\partial y。在中緯度北半球，β>0\beta>0。由於平均經向風為零，方程中的平均流平流項只包含 U‾ ∂/∂x\overline{U}\,\partial/\partial x。

解題方法：假設平面波解

對線性、係數為常數的波動方程，採用平面波擾動形式：

ψ′(x,y,t)=Re⁡{ψ^ei(kx+ly−ωt)}\psi'(x,y,t)=\operatorname{Re}\left\{\hat{\psi} e^{i(kx+ly-\omega t)}\right\}

其中 kk、ll 分別為緯向與經向波數，ω\omega 為角頻率。對此形式微分，相當於使用：

∂∂t→−iω,∂∂x→ik,∇2→−(k2+l2)\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow -i\omega,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\rightarrow ik,\qquad \nabla^2\rightarrow -(k^2+l^2)

令 K2=k2+l2K^2=k^2+l^2，代入渦度方程：

(−iω)(−K2)ψ^+U‾(ik)(−K2)ψ^+β(ik)ψ^=0(-i\omega)(-K^2)\hat{\psi} +\overline{U}(ik)(-K^2)\hat{\psi} +\beta(ik)\hat{\psi}=0

整理並除去共同因子 iψ^i\hat{\psi}：

ωK2−U‾kK2+βk=0\omega K^2-\overline{U}kK^2+\beta k=0

因此頻散關係為：

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第 四 題20 分

請解釋何謂大氣可預報度？有哪些過程可能造成數值模擬的誤差？何謂系集預報？如何透過系集預報提高預報品質？

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核心觀念

本題考查「大氣可預報度」、數值預報誤差的來源，以及系集預報如何處理初始狀態的不確定性並改善預報品質。大氣具有混沌特性，微小誤差可能隨時間增長，因此預報不是單一確定答案，而是對可能大氣演變及其不確定性的估計。

大氣可預報度是指在給定初始觀測、模式與預報時間下，大氣狀態能被預測的程度。可分為：

  • 內在可預報度：由大氣本身的動力特性決定；即使模式完美、初始狀態只有極小誤差，誤差仍會因非線性動力過程而成長。
  • 實際可預報度：考量實際觀測、資料同化、數值模式及計算資源後，預報所能達到的準確程度。實際可預報度通常低於內在可預報度。

在混沌系統中，初始誤差可能近似呈指數成長：

δ(t)≈δ0eλt\delta(t) \approx \delta_0 e^{\lambda t}

其中 δ0\delta_0 為初始誤差，λ\lambda 為誤差成長率。當 λ>0\lambda>0 時，初始狀態的小差異會隨預報時間擴大，形成有限的可預報時間尺度。

解題方法

作答時可依序說明三件事：先定義可預報度，再分類數值模擬誤差來源，最後說明系集如何透過多個合理情境提供機率資訊與降低預報風險。

一、數值模擬誤差的來源

數值模擬誤差可按「初始資料、模式表示、數值計算、邊界與外部強迫」整理：

  1. 初始條件誤差 大氣觀測的時空分布不完整，且儀器有誤差；資料同化也無法完全還原真實大氣狀態。初始風場、溫度、濕度等微小偏差，可能經由不穩定與非線性過程迅速增長。

  2. 模式結構與物理參數化誤差 網格無法解析所有尺度的運動，雲微物理、對流、邊界層湍流、輻射及地表通量等次網格過程，必須以參數化方案表示。參數化假設與實際過程不完全一致，會造成系統性或隨機誤差。模式所採用的方程、物理假設與各方案之間的交互作用，也可能無法充分描述真實大氣。

  3. 離散化與數值計算誤差 模式以有限網格及時間步長離散連續方程，會產生截斷誤差、相位誤差及數值擴散。數值格式若未妥善處理，也可能出現振盪或不穩定；計算精度與有限解析度亦會帶來誤差。

  4. 邊界條件與外部強迫誤差 區域模式的側邊界條件若不準確，誤差會傳入預報區域；海溫、土壤濕度、地形、海冰及外部輻射等下邊界或外部強迫的誤差，也會影響模擬結果。

這些誤差會彼此作用，並隨時間成長。即使初始資料相當準確，模式誤差與大氣本身的混沌性仍會限制預報可預報度。

二、系集預報的定義

系集預報是以同一預報時刻為基礎，執行多組數值預報；各組成員的初始條件、模式物理設定或模式本身略有差異，以代表觀測與模式的不確定性。每一組模擬稱為一個系集成員。

若以 Xi(t)X_i(t) 表示第 ii 個成員在時間 tt 的預報，系集平均為

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第 五 題20 分

中緯度準地轉擾動的能量流動如下圖所示，由平均可用位能（AZA_Z）流向擾動可用位能（AEA_E），最後流向擾動動能（KEK_E）。圖中 ψ′\psi' 代表擾動地轉流函數（perturbation geostrophic streamfunction），ω\omega 代表擾動氣壓垂直速度（perturbation pressure velocity），下標 11、22、33 分別表示高層、中間層及低層大氣。⟨ ⟩\langle\ \rangle 代表緯向平均。請從能量轉換的觀點，解釋為何中緯度準地轉系統的結構必須隨高度往西傾斜。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考準地轉擾動的斜壓能量轉換：平均可用位能 AZA_Z 經由擾動可用位能 AEA_E，再轉為擾動動能 KEK_E。中緯度大氣的平均溫度向北遞減、平均風具有垂直切變；要讓擾動從平均場取得能量，擾動必須造成有利的熱量輸送，並讓垂直運動把擾動可用位能轉成動能。

令高層與低層流函數差為

D=ψ1′−ψ3′,D=\psi'_1-\psi'_3,

流函數和為

S=ψ1′+ψ3′.S=\psi'_1+\psi'_3.

題圖的 AZ→AEA_Z\to A_E 轉換項為

CZ→E=⟨D∂S∂x⟩.C_{Z\to E} = \left\langle D\frac{\partial S}{\partial x} \right\rangle.

因地轉風的緯向平均關係為 v′=∂ψ′/∂xv'=\partial\psi'/\partial x，且 DD 表示與擾動溫度相關的垂直結構，這項可視為擾動的緯向平均熱量輸送與平均溫度梯度所造成的能量轉換。

解題方法

從能量路徑判斷垂直相位傾斜的方向：

  1. 平均可用位能轉入擾動可用位能。 CZ→E>0C_{Z\to E}>0 表示擾動熱量輸送的方向有利於從平均溫度場取得可用位能。對中緯度斜壓擾動而言，這要求擾動流場與高低層溫度差具有適當的相位差。若高低層完全同相，相關的緯向平均輸送為零，便無法有效從平均場取得擾動可用位能。

  2. 高低層的相位差決定傾斜方向。 以單一波數的簡諧擾動表示，令

ψ1′=Acos⁡(kx+ϕ1),ψ3′=Acos⁡(kx+ϕ3).\psi'_1=A\cos(kx+\phi_1),\qquad \psi'_3=A\cos(kx+\phi_3).

對一個波長取平均，可得

⟨(ψ1′−ψ3′)∂(ψ1′+ψ3′)∂x⟩=kA2sin⁡(ϕ1−ϕ3).\left\langle (\psi'_1-\psi'_3) \frac{\partial(\psi'_1+\psi'_3)}{\partial x} \right\rangle = kA^2\sin(\phi_1-\phi_3).
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