110 高普考高考三級 氣象 應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析） 考古題詳解

核心觀念

本題將日食視為兩個半徑皆為 $R$ 的圓盤逐漸重疊。每一瞬間被月亮遮住的太陽面積，就是該瞬間短收太陽能量的有效面積；因此短收能量須將重疊面積乘上單位面積、單位時間的能量強度 $S$，再對時間積分。

（一）兩圓重疊面積

令兩圓心距為 $d$。圖中的 $\theta$ 是重疊弦在圓心所張的角；圓心連線垂直平分重疊弦，因此

初虧時兩圓相切，圓心距為 $2R$；此後太陽以速度 $v=2R/T$ 等速移動，所以

重疊透鏡形面積是兩個圓弓形面積之和。每個圓弓形等於圓心角 $\theta$ 的扇形減去三角形，故

由圓心距與時間的關係，

因此

核心觀念

本題考傅立葉級數的收斂條件，以及將等時間間隔的離散觀測資料寫成有限傅立葉級數，再把同一頻率的正弦、餘弦項合併成振幅－相位形式。

令觀測涵蓋一個長度為 $T$ 的時間區間，基頻為 $1/T$。第 $n$ 個諧波的角頻率為 $\omega_n=2\pi n/T$。

（一）傅立葉級數的展開條件

常用的充分條件是 狄利克雷條件（Dirichlet conditions）。在一個週期內，$f(t)$ 須滿足：

1. 絕對可積分，即 $\int |f(t)|\,dt<\infty$。
2. 極值個數有限。
3. 不連續點個數有限，且每個不連續點皆為有限跳躍不連續。

滿足上述條件時，傅立葉級數在連續點收斂至 $f(t)$；在跳躍不連續點 $t_0$，收斂至左右極限的平均值：

這些是保證傅立葉級數收斂的常用充分條件，並非展開所需的唯一條件。

（二）$2N$ 個等間隔觀測值的傅立葉級數

設觀測值為 $f_j=f(t_j)$，共 $2N$ 點，等間隔涵蓋長度 $T$。離散傅立葉表示可寫成：

其中係數由離散觀測值計算：

核心觀念

地球面上兩點的最短距離是球面上的大圓弧長。先由兩點的緯度與經度求出地心夾角 $\theta$，再用弧長公式

其中 $\theta$ 必須以弧度表示。

解題方法

將 $A$、$B$ 與北極連成球面三角形。兩點的緯度分別為 $30^\circ$、$60^\circ$，所以與北極的角距為

兩點經度差為

依球面餘弦定理，令 $a=\theta$ 為 $A$、$B$ 的地心夾角：

代入角度：

核心觀念

特徵值 $\lambda$ 與非零特徵向量 $\mathbf{x}$ 滿足

因此，特徵值由特徵方程

求得；代入各特徵值後，解 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$，即可求出對應的特徵向量。

若矩陣有足夠多個線性獨立的特徵向量，便可將它對角化。令 $P$ 的欄向量為線性獨立的特徵向量，$D$ 為相對應特徵值組成的對角矩陣，則

解題方法

先計算特徵多項式找出特徵值，再逐一求對應特徵向量。最後將兩個線性獨立的特徵向量依序排入 $P$，並以相同順序排列 $D$ 中的特徵值。

（一）求特徵值及特徵向量

令 $I$ 為 $2\times2$ 單位矩陣，則

令特徵方程等於零，得到特徵值

當 $\lambda_1=3$ 時，

故 $-2x+2y=0$，即 $y=x$。取 $x=1$，可得一個特徵向量

其任意非零倍數也都是對應於 $\lambda_1=3$ 的特徵向量。

當 $\lambda_2=-1$ 時，

故 $x+y=0$，即 $y=-x$。取 $x=1$，可得一個特徵向量